Вплоть до настоящего момента в этой главе все рассмотрение было локальным в том смысле, что в нашей интерпретации уравнения (5.52) описывали эволюцию точки $Q$ в бесконечномерном пространстве в бесконечномерном времени $\mathbf{t}\left(t_{1}, t_{2}, \ldots\right)$.

В этом разделе мы обратимся к более традиционному подходу, в котором одна из независимых переменных выделена. Если в качестве таковой мы возьмем $t_{1}$ и обозначим $t_{1}=x$, то в результате получим уравнения
\[
\begin{array}{l}
e_{1, t_{j}}=e_{1, t_{i}}\left(e_{1}, f_{1}, e_{1 x}, f_{1 x}, \ldots\right), \\
f_{1, t_{j}}=f_{1, t_{j}}\left(e_{1}, f_{1}, e_{1 x}, f_{1 x}, \ldots\right),
\end{array}
\]

называемые иерархией АКНС. Если же мы выберем $t_{2}$, то уравнения составят иерархию НУШП (нелинейное уравнение Шрёдингера с производной). Какую бы независимую переменную мы бы не выделили, в дальнейшеи ставится задача Коши с граничными условиями на $-\infty<x<\infty$ с заданными граничными условиями $e(x, 0), f(x, \mathbf{0})$, которые устроены так, чтобы все величины, входящие в метод обратной задачи, были подходящим образом определены. Может быть также поставлена периодическая задача на конечном интервале. Рассмотрим (5.94) на $-\infty<x<\infty$ и предположим, что $e_{1}\left(x, t_{j}\right), f_{1}\left(x, t_{j}\right) \rightarrow 0$ при $x \rightarrow \pm \infty$. Пусть $V$ – фундаментальное матричное решение для
\[
V_{x}=Q^{(1)} V,
\]

и так как $e_{1}, f_{1} \rightarrow 0$ при $x \rightarrow \pm \infty$, мы можем нормировать $V$ таким образом, чтобы
\[
V \rightarrow V_{0}=\left(\begin{array}{ll}
e^{-i \xi x} & 0 \\
0 & e^{i \zeta x}
\end{array}\right)
\]

при $x \rightarrow-\infty$. Так выбранное $V$ мы обозначим Ф со столбцами $\varphi=\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)^{T}$ и $\left.-\bar{\varphi}=\left(-\bar{\varphi}_{1},-\bar{\varphi}_{2}\right){ }^{1}\right)$ Эта нормировка приводит к изменению временной эволюции:
\[
\Phi_{t_{j}}=Q^{(j)} \Phi-\Phi\left(V_{0}^{-1} Q_{0}^{(j)} V_{0}\right), \quad j \geqslant 2,
\]

где $Q_{0}^{(j)}$ – это асимптотика $Q^{(j)}$ при $x \rightarrow \pm \infty$. Легко показать, что дополнительный член в правой части не изменит условий интегрируемости. При перекрестном дифференцировании (5.96) и (5.95) или же двух разных уравнений из (5.96) последние члены в (5.96) автоматически обращаются в нуль.

Далее, если $\Psi$ является фундаментальным матричным решением (5.95), таким что $\Psi \rightarrow V_{0}$ при $x \rightarrow+\infty$, то тогда $\Phi$ и $\Psi$ связаны постоянной (по $x$ ) матрицей
\[
A\left(\zeta, t_{j}\right)=\left(\begin{array}{cc}
a\left(\zeta, t_{j}\right) & -\bar{b}\left(\zeta, t_{j}\right) \\
b\left(\zeta, t_{j}\right) & \bar{a}\left(\zeta t_{j}\right)
\end{array}\right), \quad a \bar{a}+b \bar{b}=1,
\]

равной $\Psi^{-1} \Phi$. При $x \rightarrow+\infty$
\[
\Phi \rightarrow V_{0} A\left(\zeta, t_{j}\right) .
\]

Мы называем $A\left(\xi, t_{i}\right)$ матрицей рассеяния.
Здесь и далее я буду использовать обозначения из работы [23], и читателю следует заглянуть в нее, если ему интересны подробности. Строго говоря, матрица, называемая матрицей рассеяния, связывает состояния $\varphi(x, \zeta)$ (т. е. первый столбец Ф) и $\psi(x, \xi)$ (второй столбец $\Psi$ ) с состояниями – $\bar{\varphi}, \bar{\psi}$, т. е. соответственно со вторым и первым столбцами Ф и $\Psi$. Причина состоит в том, что первое состояние относится к испускаемому, а второе – к приходящему излучению. В качестве упражнения покажите, что
\[
(\bar{\psi},-\bar{\varphi})=(\varphi, \psi) S, \text { где } \quad S=\left(\begin{array}{cc}
\frac{1}{a} & \frac{\bar{b}}{a} \\
\frac{b}{a} & \frac{1}{\bar{a}}
\end{array}\right) .
\]

Временна́я зависимость $A\left(\xi, t_{j}\right)$ находится с помощью подстановки (5.97b) в (5.96):
\[
A_{t_{j}}=\left[V_{0}^{-1} Q_{0}^{(j)} V_{0}, A\right] \text {. }
\]

В этих иерархиях мы считаем, что
\[
V_{0}^{-1} Q_{0}^{(i)} V_{0}=-i \zeta^{i} H .
\]
1) $\bar{\varphi}_{1}$ не обозначает функции, комплексно сопряженной к $\varphi_{1}$.

В частности, (5.98) имеет лаксов вид, и диагональные элементы $a(\zeta)$ и $\bar{a}(\zeta)$ матрицы $A$ суть ингегралы движения. Далее можно показать, что при заданном интеграле $\int_{-\infty}^{\infty}\left(\left|e_{1}\right|,\left|f_{1}\right|\right) d x<\infty$ величины
\[
a(\zeta)=W(\varphi, \psi), \quad \bar{a}(\zeta)=W(\bar{\varphi}, \bar{\psi})
\]

можно аналитически продолжить соответственно в верхнюю и нижнюю полуплоскости $\zeta$. Но єсли $\operatorname{Im} \zeta>0$, то $\boldsymbol{\varphi}\left(\sim\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right) e^{-i \zeta x}\right)$ и $\psi\left(\sim\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right) e^{i \zeta x}\right)$ являются единственными решениями, затухающими в $-\infty$ и в $+\infty$ соответственно. Значит, если $\xi_{j}$ таково, что $\varphi\left(x, \zeta_{j}\right) \rightarrow 0$ в $x=+\infty$, то
\[
\varphi\left(x, \zeta_{j}\right)=q_{j} \psi\left(x, \zeta_{j}\right)
\]

и $a\left(\zeta_{j}\right)=0$. Аналогично, нули $\bar{\zeta}_{j}$ функции $\bar{a}(\zeta), \operatorname{Im} \bar{\zeta}_{j}<0$, порождают связанные состояния $\bar{\varphi}\left(x, \bar{\zeta}_{j}\right)$ и $\bar{\psi}\left(x, \bar{\zeta}_{j}\right) ; \bar{\varphi}\left(x, \zeta_{j}\right)=\bar{b}_{l} \bar{\psi}\left(x, \xi_{j}\right)$.

Поэтому спектр уравнения (5.95) сохраняется под действием любого потока этой иерархии. Қак и в изученном ранее случае КдФ, собственные значения $\zeta_{j}$, $\zeta_{j}$ связаны с солитонной частью решения. Я также отмечу факт, который много раз использовался при построении солитонных решений (как в разд. Зh или в следующем разделе о преобразованиях Бэклунда). Он состоит в том, что для собственных значений $\zeta_{j}$ столбцы $(\varphi, \psi)$ фундаментального матричного решения пропорциональны.

В тех случаях, когда $f_{1}=-e_{1}^{*}, f_{1}=-e_{1}\left(r=-q^{*},-q\right.$ в [23]), имеется некоторое упрощение. В частности, в первом случае $\bar{\zeta}_{j}=\zeta_{j}^{*}$, а в последнем $\bar{\zeta}_{j}=-\zeta_{j}$. В частности, если $f_{1}=-e_{1}$ вещественны, то собственные значения чисто мнимы $\left(\zeta_{j}=i \eta_{j}\right.$ ) (солитоны, кинки) или появляются парами ( $\zeta_{l},-\zeta_{f}^{*}$ ) (бризеры или бионы).

Обратная задача разрешается стандартно, и мы приведем здесь краткий обзор результатов. Подробности читатель найдет в [23]. Что мы хотим сделать- это восстановить $\Phi$ или $\Psi$ по данным рассеяния. Зная эти функции, мы получим $Q^{(j)}$, и в частности $Q_{1}=e_{1} E+f_{1} F$. Легче всего найти $Q_{1}$, вычисляя члены разложения $\Phi$ и $\Psi$ или $1 / \zeta$ вблизи $\zeta=\infty$ (см. предыдущий раздел).

Рассмотрим функцию $(\varphi(\xi) / a(\xi)) e^{i \xi x}$, мероморфную при $\operatorname{Im} \xi>0$, с асимптотикой $\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)$ при $\xi \rightarrow \infty$. С функцией $\psi(\xi) e^{i \xi x}$, аналитической при $\operatorname{Im} \xi<0$ и имеющей асимптотику $\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)$ при

$|\xi| \rightarrow \infty$, она связана посредством $(b(\xi) / a(\xi)) \psi(\xi) e^{i \xi x}$ (попросту выпишите уравнение для первого столбца $\Phi=\Psi A$ ) на вещественной оси. Поэтому мы хотим решить задачу РиманаГильберта: найти функцию, аналитическую при всех $\xi$, имеющую лишь конечное число полюсов, с заданным поведением при $\xi \rightarrow \infty$ и заданным скачком на вещественной оси. Для решения этой задачи мы рассматриваем при $\operatorname{Im} \zeta<0$
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\varphi(\xi) e^{i \xi x}}{a(\xi)(\xi-\zeta)} d \xi
\]

и вычисляем этот интеграл дважды, сначала замыкая контур полуокружностью $\xi=\infty, \operatorname{Im} \xi>0$, а затем заменяя $\varphi$ на $a \bar{\psi}+$ $+b \psi$ и вычисляя первый интеграл, замыкая путь интегрирования в нижней полуплоскости. Получается
\[
\bar{\psi}(\xi, x) e^{i \zeta x}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)+\sum_{1}^{N} \frac{1}{\zeta-\zeta_{!}} \gamma_{j} \psi_{j} e^{i \zeta_{j} x}+\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{b \psi e^{i \xi x}}{a(\xi-\zeta)} d \xi,
\]

где $\psi_{j}=\psi\left(\zeta_{j}\right), \gamma_{f}=b_{j}\left(a_{f}^{\prime}\right)^{-1}, a_{j}^{\prime}=(d a / d \zeta)$ в $\zeta=\zeta_{j}, j=1, \ldots, N$, $N$ – число нулей функции $a(\zeta)$. Следуя аналогичному рецепту, мы можем найти линейное по $\bar{\psi}$ уравнение для $\psi(\zeta, x) e^{-i \zeta x}$ $(\operatorname{Im} \xi>0)$. Именно тот факт, что скачки при переходе через вещественную ось $\zeta$ линейны по $\psi$ и $\psi$, и позволяет линеаризовать обратную задачу.

Если мы имеем дело с безотражательными потенциалами, то $b=\overline{0} \equiv 0$ и уравнения на $\psi, \bar{\psi}, \varphi, \bar{\varphi}$ таковы:
\[
\begin{array}{l}
\bar{\psi}(\zeta, x) e^{i \zeta x}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)+\sum_{1}^{N} \frac{\gamma_{j} \psi_{j} e^{i \zeta_{j} x}}{\zeta-\zeta_{j}}, \quad \operatorname{Im} \zeta<0, \\
\psi(\zeta x) e^{-i \zeta x}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right)-\sum_{1}^{N} \frac{\bar{\gamma}_{j} \bar{\varphi}_{j} e^{-i \xi_{j} x}}{\zeta-\bar{\zeta}_{j}}, \quad \operatorname{Im} \zeta>0, \\
\bar{\varphi}\left(\zeta,{ }^{\Sigma} x\right) e^{-i \zeta x}=\left(\begin{array}{r}
0 \\
-1
\end{array}\right)-\sum_{1}^{N} \frac{\beta_{j} \varphi_{j} e^{-i \xi_{j} x}}{\zeta-\zeta_{j}}, \quad \operatorname{Im} \zeta<0, \\
\varphi(\zeta, x) e^{i \zeta x}\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)+\sum_{1}^{N} \frac{\bar{\beta}_{j} \bar{\Phi}_{j} e^{i \xi_{j} x}}{\zeta-\bar{\zeta}_{j}}, \quad \operatorname{Im} \zeta>0,
\end{array}
\]

где $\beta_{j}=\bar{b}_{j}\left(a_{j}^{\prime}\right)^{-1}, \bar{\beta}_{j}=b_{j}\left(\bar{a}_{j}^{\prime}\right)$. Пусть $\zeta=\bar{\zeta}_{k}$ в $\left(5.99 \mathrm{a}\right.$, с) и $\zeta=\zeta_{k}$ в $(5.99 b, d)$; тогда полученные линейные уравнения на $\psi_{i}, \bar{\psi}_{j}$

легко решаются. Определитель матрицы коэффициентов (с точностью до экспоненциального множителя с линейной по $t_{k}$ фазой) есть $\tau$-функция.

Читателю следует разобрать односолитонный случай, который соответствует паре $\zeta_{1}, \bar{\zeta}_{1}$. Если $r=-q^{*}$, то $\bar{\zeta}_{1}=\zeta_{1}^{*}$, и решения таковы:
\[
e_{1}=2 \eta \operatorname{sech} \theta \exp i \varphi, \quad f_{1}=-e_{1}^{*} \text {, }
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\theta=i \sum\left(\zeta_{1}^{k}-\zeta_{1}^{* k}\right) t_{k}+2 \eta x_{0}, \\
\varphi=-\sum\left(\zeta_{1}^{k}+\zeta_{1}^{* k}\right) t_{k}+\varphi_{0}
\end{array}
\]

и задающие начальное положение параметры $x_{0}$, 甲 $_{0}$ связаны с коэффициентами $b_{j}, \bar{b}_{j}=b_{j}^{*}$.

А теперь мне хочется, чтобы вы запомнили структуру фундаментальной матрицы решений. Заметьте, что каждый столбец $\bar{\psi}$ и $\psi$ имеет конечное число не зависящих от $x, t_{k}, k=2, \ldots$ полюсов. Мы вольны переопределить фундаментальную солитонную матрицу, умножая решение $\bar{\psi}$ на $\zeta^{-N} \prod_{1}^{N}\left(\zeta-\zeta_{f}\right)$, и в этом случае $\psi e^{i \zeta x}$ имеет вид
\[
\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)+\sum_{1}^{n} \frac{1}{\zeta^{k}} \mathbf{C}_{k} .
\]

Подобным образом можно переопределить произведение $\psi e^{-i t x}$, чтобы оно превратилось в многочлен степени $\vec{N}$ по обратным степеням $\zeta$. Такая нормировка достигается умножением $V$ справа на $\left(\begin{array}{cc}F_{1}(\xi) & 0 \\ 0 & F_{2}(\xi)\end{array}\right)$.

Наоборот, как это делалось в гл. 3, можно показать, что если мы возьмем
\[
V=\left(\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}\right)^{T}
\]
c
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{u}_{1}=\left(\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)+\sum_{1}^{N} \frac{1}{\zeta^{k}} \mathbf{C}_{1 k}\right) \exp \left(-i \sum \zeta^{k} t_{k}\right) \\
\mathbf{u}_{2}=\left(\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right)+\sum_{1}^{\bar{N}} \frac{1}{\zeta^{k}} \mathbf{C}_{2 k}\right) \exp \left(i \sum \zeta^{k} t_{k}\right) \\
\mathbf{u}_{1}(\alpha)=b \mathbf{u}_{2}(\alpha)
\end{array}
\]

для $\alpha=\left(\zeta_{1}, \ldots, \zeta_{N}, \bar{\zeta}_{1}, \ldots, \bar{\zeta}_{\bar{N}}\right), b=\left(b_{1}, \ldots, b_{N}, \bar{b}_{1}, \ldots, \vec{b}_{\bar{N}}\right)$, то столбцы матрицы $V$ удовлетворяют соотношению
\[
V_{t_{j}}=Q^{(j)} V .
\]

Элементы матриц $Q^{(j)}$ связаны с $\mathbf{C}_{1 k}, \mathbf{C}_{2 k}$ и различными их производными. Например,
\[
\mathrm{C}_{21}=\left(-\frac{i}{2} e_{1},-\frac{i}{2} \int^{x} e_{1} f_{1}\right), \quad \mathbf{c}_{11}=\left(\frac{i}{2} \int^{x} e_{1} f_{1}, \frac{i}{2} f_{1}\right)
\]
(см. разд. 5е). Интегрируемость (5.101) гарантирует, что $e_{1}$ и $f_{1}$ удовлетворяют иерархии АКНС.

Доказательство предположения, что из $(5.100 \mathrm{a}, \mathrm{b})$ следует (5.101), вытекает из соображений единственности, которые были описаны в разд. Зһ в связи с семейством КдФ. Во-первых, заметьте, что $2(N+\vec{N})$ уравнений (5.101b) единственным образом определяют $\mathbf{C}_{1 k}, \mathbf{C}_{2 k}$ как функции $x, t_{j}, j \geqslant 2$. Затем рассмотрите векторные величины
\[
\mathbf{u}_{j}=\left(v_{j 1 x}+i \zeta v_{j 1}-e_{1} v_{j 2}, \quad v_{j 2 x}-i \zeta v_{j 2}-f_{1} v_{j 1}\right)^{T}
\]
c $\mathbf{v}_{j}=\left(v_{j 1}, v_{j 2}\right)^{T}, j=1,2$. Несложные вычисления показывают, что эти функции имеют асимптотические разложения
\[
\sum_{1}^{N} \frac{1}{\zeta^{k}} d_{k}, \quad \sum_{1}^{\bar{N}} \frac{1}{\zeta^{k}} d_{k}
\]

и, кроме того, $\mathbf{u}_{1}(\alpha)=b \mathbf{u}_{2}(\alpha)$. Итак, вектора $\mathbf{v}_{1}+\mathbf{u}_{1}, \mathbf{v}_{2}+\mathbf{u}_{2}$ удовлетворяют всем условиям (5.100), (5.101). Но вектора, удовлетворяющие этим условиям, единственны (мы можем в явном виде вычислить $\mathbf{C}_{1 k}, \mathbf{C}_{2 k}$ ) и, следовательно, $\mathbf{u}_{1}=\mathbf{u}_{2}=0$. Поэтому вектора $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$ удовлетворяют (5.101) для $j=1$. Доказательство для других $t_{j}$ аналогично.
(ii) Деформации, сохраняющие римановы поверхности. В разд. Зһ я показал, каким образом конечнозонные решения семейства КдФ связаны с независящими от времени римановыми поверхностями, поэтому достаточно краткого напоминания. Рассматривается связь
\[
\sum_{\mathrm{i}}^{n} u_{i} V_{t_{j}}=y V
\]

добавленная к перечню (5.76). Она может быть записана как
\[
\left(\sum_{1}^{n} u_{j} Q^{(j)}-y\right) V=0,
\]

так что нетривиальное решение существует только когда
\[
\operatorname{det}\left(\sum_{i}^{n} u_{i} Q^{(j)}-y I\right)=0 .
\]

Уравнение (5.104) задает алгебраическую кривую (для sì $(2, C$ ) гиперэллиптическую)
\[
y^{2}=\operatorname{det}\left(\sum_{1}^{n} u_{j} Q^{(j)}\right)
\]

Перекрестное дифференцирование (5.96) и (5.103) показывает, что $P=\sum_{1}^{n} u_{i} Q^{(j)}$ удовлетворяет уравнению
\[
P_{t_{j}}=\left[Q^{(j)}, P\right],
\]

которое означает, что $P$ можно записать в виде
\[
P=V P_{0} V^{-i}, \quad P_{0 t_{j}}=0 .
\]

Следовательно, характеристический многочлен для $P$ равен $\operatorname{det}\left(P_{0}-y I\right)$ и поэтому он не зависит ни от какого времени. Кроме того, из совместности (5.102) и (5.76) получим (достаточно перекрестно продифференцировать по $t_{k}$ и использовать $\left.Q_{t_{k}}^{(j)}+\left[Q^{(j)}, Q^{(b)}\right]=Q_{t_{j}}^{(k)}\right)$
\[
\sum_{i=1}^{n} u_{j} Q_{t_{j}}^{(k)}=0, \quad k=1,2, \ldots .
\]

Таким образом, (i) означает, что каждое $Q^{(k)}$ – это функция лишь ( $n-1$ ) линейных комбинаций $t_{1}, \ldots, t_{n}$, а (ii) означает, что, в частности, $Q^{(1)}$ удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению по $t_{1}=x$, потому что $e_{1, t_{j}}$ и $f_{1} t_{j}$ можно записать как функции $e_{1}, f_{1}$ и их производных по $t_{1}$. Конечномерное многообразие решений зтого уравнения левоинвариантно относительно всех потоков во всей иерархии $Q_{t_{j}}=\left[Q^{(j)}, Q\right]$. Это означает, что решение уравнения
\[
\sum_{i}^{n} u_{j} Q_{i}^{(1)}=0
\]

в момент времени, равный нулю, если ему позволить эволюционировать в силу любого временного потока, останется решением (5.109). Уравнение (5.109) часто называют уравнением Лакса Новикова. Решения (5.109), как и их эволюция по временам, можно построить в явном виде, и мы показали один из способов сделать это в разд. Зһ. Эта задача решается в абелевых

функциях. Метод построения, использующий теорию римановых поверхностей и единственность обладающих определенными свойствами функций, заданных на этих поверхностях, был дан И. М. Кричевером. Я не буду здесь объяснять его идеи и вместо этого рекомендую читателю работу [28].
(iii) Изомонодромные деформации. Предположим теперь, что вместо связи (5.102) связь
\[
\zeta V_{t}=\sum_{i}^{n} j t_{l} V_{t_{j}}
\]

наложена на набор уравнений
\[
V_{t_{j}}=Q^{(j)} V, \quad j=1, \ldots, n .
\]

Условие интегрируемости теперь таково:
\[
\sum_{1}^{n} j t_{j} Q_{t_{j}}^{(k)}=\zeta Q_{\zeta}^{(k)}-k Q^{(k)},
\]

что можно переписать в виде
\[
\sum_{1}^{n} j t_{j} P_{i f}=\zeta P_{b},
\]

где
\[
P=\frac{Q^{(k)}}{\zeta^{k}}=\sum_{0}^{k} Q_{r} \zeta^{-r}, \quad Q_{r}=h_{r} H+e_{r} E+f_{r} F .
\]

Коэффициент при $1 / \zeta$ дает
\[
\left(x Q_{1}\right)_{x}+\sum_{2}^{n} j t_{j} Q_{1, t_{j}}=0,
\]

что есть аналог (5.109). Это означает, что $Q_{1}$ – функция вида
\[
\frac{1}{x} \vec{Q}_{1}\left(\frac{x}{\left(2 t_{2}\right)^{1 / 2}}, \ldots, \frac{x}{\left(n t_{n}\right)^{1 / n}}\right)
\]

с $n-1$ фазой.
Теперь поясним, почему мы выбрали связь (5.110). Идея состоит в том, что такая связь отражает масштабную инвариантность, которой обладают некоторые уравнения в этой иерархии, – в точности так же, как выбор конечнозонной связи отражает трансляционную инвариантность уравнения (может быть, вам захочется вернуться к разд. 3h). Для большей конкретности я сосредоточу внимание на иерархии мКдФ-подмножестве иерархии уравнений
\[
Q_{t_{k}}=\left[Q^{(k)}, Q\right],
\]

котөрое получается, если положить $f_{1}=e_{1}=q$ и заморозить все потоки по четным временам $t_{2 n}$.
Первые три члена последовательности суть
\[
\begin{array}{l}
q_{t_{1}}=q_{x} \\
q_{t_{3}}=-\frac{1}{4}\left(q_{x x}-6 q^{2} q_{x}\right)_{x} \\
q_{t_{5}}=\frac{1}{16}\left(q_{x x x x}-10 q^{2} q_{x x}-10 q q_{x}^{2}+6 q^{5}\right)_{x}
\end{array}
\]

они соответствуют
\[
\begin{array}{c}
Q^{(1)}=\left(\begin{array}{rr}
-i \zeta & q \\
q & i \zeta
\end{array}\right), \\
Q^{(3)}=\left(\begin{array}{cc}
-i \zeta^{3}-\frac{i q^{2} \zeta}{2} & \zeta^{2} q+\frac{i \zeta q_{x}}{2}-\frac{1}{4}\left(q_{x x}-2 q^{3}\right) \\
\zeta^{2} q-\frac{i \zeta q_{x}}{2}-\frac{1}{4}\left(q_{x x}-2 q^{3}\right) & i \zeta^{3}+\frac{i q^{2} \zeta}{2}
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Вычисление $Q^{(5)}$ я оставляю читателю в качестве упражнения. Заметьте, что (5.117) обладает масштабной инвариантностью, т. е. если $q(x, t)$ является решением (5.117), то $\beta q\left(\beta x, b^{3} t_{3}\right)$ тоже является решением. Решение $\tilde{q}(x, t)$, инвариантное относительно масштабного преобразования, называется автомодельным, и это значит, что
\[
\left.\frac{\partial}{\partial \beta} \beta q\left(\beta x, \beta^{3} t_{3}\right)\right|_{\beta=1}=0,
\]

или
\[
q+x q_{x}+3 t_{3} q_{t_{3}}=0,
\]

что совпадает с (5.113) при $n=3$. Итак, $q\left(x, t_{3}\right)$ имеет вид
\[
q\left(x, t_{3}\right)=\frac{1}{\left(3 t_{3}\right)^{1 / 3}} f\left(X=\frac{x}{\left(3 t_{3}\right)^{1 / 3}}\right) .
\]

Удобно заменить переменные в
\[
V_{x}=Q^{(1)} V, \quad V_{t_{3}}=Q^{(3)} V
\]

на переменные
\[
X=\frac{x}{\left(3 t_{3}\right)^{1 / 3}}, \quad T=t_{3},
\]

чтобы отразить структуру коэффициентов $Q^{(1)}$ и $Q^{(3)}$. Мы видим, что $V\left(x, t_{3} ; \zeta\right)$ преобразуется при изменении масштаба как

$W(X, \xi)$, где $\xi=\zeta\left(3 t_{3}\right)^{1 / 3}$, и что уравнения (5.122) превращаются в
\[
\begin{array}{c}
W_{X}=\left(\begin{array}{cc}
-i \xi & f \\
f & i \xi
\end{array}\right) W \\
\xi W_{\xi}=\left(\begin{array}{rr}
-i \xi^{3}-i f^{2} \frac{\xi}{2}-i X \xi & \xi^{2} f+i \xi f_{X} / 2+v \\
\xi^{2} f-i \xi f_{X} / 2+v & i \xi^{3}+i f^{2} \frac{\xi}{2}+i X \xi
\end{array}\right) W .
\end{array}
\]

Условие интегрируемости для (5.124), (5.125) – это
\[
f_{X X}=4 X f+2 f^{3}-v ;
\]

если $q$ задано выражением (5.121), это совпадает с проинтегрированным по $X$ уравнением (5.117), при этом $v$ – константа интегрирования.

Выражение (5.126), описывающее автомодельное решение , уравнения (5.117), есть уравнение Пенлеве второго рода (см. [35], [36] и разд. 4е). Это нелинейное неавтономное уравнение, левоинвариантное относительно потока. Например, выберете функцию $f(x)$, удовлетворяющую (5.126). Возьмем $t_{3}=1 / 3$. Позвольте решению $q\left(x, t_{3}\right.$ ) вида (5.121) эволюционировать в силу (5.117) на интервале $1 / 3<t_{3}<t$. Тогда $q(x, t)$ при $t_{3}=t$ будет иметь вид (5.121), где $f(X)$ снова является решением (5.126), только $X$-это теперь $x /(3 t)^{1 / 3}$.

Мы делаем более общее утверждение: класс совместных со связью (5.110) решений имеет многофазную автомодельную структуру и удовлетворяет автономному нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению по $x$, именно (5.113), с коэффициентами, зависящими от $x, t_{2}, \ldots, t_{n}$. Далее, многообразие решений левоинвариантно относительно потоков $Q_{1, t_{l}}$, $j=1, \ldots, n$ в том смысле, что решение (5.113) в момент $t_{2}^{(0)}, \ldots, t_{n}^{(0)}$ при эволюции в силу потоков $Q_{1, t_{j}}, j=2, \ldots, n$ до времен $t_{2}, \ldots, t_{n}$ снова будет удовлетворять (5.113), только $t_{2}^{(0)}, \ldots, t_{n}^{(0)}$ надо заменить текущими временами $t_{2}, \ldots, t_{n}$. Однако в отличие от конечнозонных решений, эти решения не являются, я это подчеркиваю, левоинвариантными относительно высших потоков $Q_{1, t_{j}}, j>n$, данной иерархии.

Теперь про то, как можно решить задачу Коши для (5.126) при заданных $f$ и $f_{x}$ в точке $X=X_{0}$. В методе обратной задачи, как вы помните, мы сконцентрировали внимание на задаче на собственные значения
\[
V_{x}=Q^{(1)} V
\]

и использовали второе уравнение (5.122), чтобы определить временну́ю эволюцию данных рассеяния. Для решения обыкновенных нелинейных автономных уравнений, связанных с конечнозонными решениями, мы сосредоточили внимание на связи
\[
\left(\sum u_{j} Q^{(j)}-y I\right) V=0
\]

и использовали задачу на собственные значения и другие уравнения $V_{t_{j}}=Q^{(j)} V$ в качестве вспомогательных уравнений для определения зависимости $\mu$ от $x$ и $t_{j}$ (см. разд. $3 \mathrm{~h}$ ).

Здесь мы снова сосредоточимся на связи (5.125) и используем (5.124) в качестве вспомогательного уравнения. Уравнение (5.125) выглядит сложно, но если его рассматривать как функцию от $\xi$, оно в действительности очень простое, ибо все коэффициенты рациональны по $\xi$. Есть две особые точки, одна регулярная ( $\xi=0$ ), другая – нерегулярная точка третьего порядка $(\xi=\infty)$. Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что структура фундаментальной матрицы решений полностью определяется своим поведением вблизи особых точек. В частности, это поведение характеризуется матрицами монодромии, описывающими, как меняется фундаментальная матрица решений при обходе вокруг особой точки.
Около $\xi=0$ уравнение (5.125) имеет решение вида
\[
\Phi .(\xi ; X)=\widehat{\Phi}(\xi ; X)\left(\begin{array}{cc}
\xi^{-
u} & 0 \\
0 & \xi^{
u}
\end{array}\right),
\]

где $\Phi$ аналитична по $\xi$ (для полуцелых $v$ в решении общего вида, как правило, вдобавок появляются логарифмы). Матрица монодромии $J$, соответствующая $\xi=0$, есть
\[
\Phi\left(\xi e^{2 \pi l}\right)=\Phi(\xi) J,
\]

и $J$ имеет вид
\[
J=\left(\begin{array}{cc}
e^{-2 \pi l v} & 0 \\
2 \pi J_{1} e^{2 \pi l v} & e^{2 \pi l v}
\end{array}\right),
\]

где $J_{1}$ присутствует лишь если $v$ полуцелое. Для $v=1 / 2, J_{1}=$ $=2\left(f_{x}+f^{2}+2 X\right) e^{-2 u}, u_{x}=f$. Заметьте, что $J_{1 X}=0$.

Вблизи $\xi=\infty$ (5.125) имеет формальное фундаментальное решение
\[
\tilde{\Psi}(\xi ; X)=\hat{\Psi}(\xi ; X)\left(\begin{array}{ll}
e^{-\theta} & 0 \\
0 & e^{\theta}
\end{array}\right),
\]

где $\theta=i \xi X+i \xi^{3} / 3$ и $\hat{\Psi}=\sum_{0}^{\infty} c_{f} \zeta^{-j}-$ формальный ряд Лорана.

В каждом секторе $S_{j},(\pi / 3)(j-1) \leqslant \operatorname{Arg} \xi \leqslant(\pi / 3) j$, существует настоящее решение $\Psi_{j}$, для которого (5.130) является асимптотическим разложением в $S_{j}$. Однако при обходе вокруг $\infty$ мы сталкиваемся с явлением Стокса. А именно, при переходе от $S_{1}$ к $S_{2}$, когда $\operatorname{Arg} \xi=\pi / 3$, аналитическое продолжение асимптотического разложения в $S_{1}$ не является более асимптотическим разложением аналитического продолжения настоящего решения. Приходится умножать настоящее решение $\Psi$ на «матрицы Стокса» вида
\[
A_{1}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
a_{1} & 1
\end{array}\right),
\]

чтобы получить новое решение $\Psi_{2}$, асимптотическое разложение которого в $S_{2}$ есть (5.130). Происходит следующее: «рецессивное» решение в $S_{1}$ (т. е. решение, пропорциональное $e^{\theta}$, которое убывает экспоненциально) становится доминантным решением в $S_{2}$, но определенное количество ( $a_{1}$, множитель Стокса) рецессивного в $S_{1}$ решения следует добавить к доминантному в этой области, чтобы их комбинация была рецессивна в следующем секторе. Фундаментальные решения $\Psi_{i}$ с асимптотическим разложением (5.130) в шести секторах вблизи бесконечности связаны соотношениями
\[
\Psi_{j+1}={ }_{i j} A_{j},
\]

где ненулевые недиагональные элементы в $A_{j}$ (множители Стокса) чередуются от угла к углу. Детали проработаны в [36].

Набор матриц $J, A_{1}, \ldots, A_{6}$ вместе со связующей матрицей $A$, которая устанавливает связь между фундаментальным решением $\Phi$, определенным образом нормированным в $\xi=0$, и $\Psi_{1}$, $\Phi=\Psi_{1} A$, задают данные монодромии. (Вследствие симметрий при заданном $v$ среди всех этих данных есть только два независимых параметра, соответствующие неизвестным $f$ и $f_{x}$.)

Теперь мы можем сформулировать замечательный результат. Коль скоро $f(X)$ меняется согласно (5.126), все эти матрицы не зависят от $X$. Отсюда термин изомондромная деформация. Решение (5.126) можно получить так. При заданных $f, f_{x}$ в $X=X_{0}$ вычислим данные монодромии. Затем при некотором другом $X$ при заданных этих данных и $\theta=i \xi X+i \xi{ }^{3} / 3$ можно восстановить $\Psi_{1}$ и, следовательно, коэффициенты ее формального асимптотического разложения, которые зависят от $f(X)$ и $f_{x}(X)$. Поэтому можно найти $f$ при всех $X$. Детали процедуры обращения и некоторые сведения о решении даны в [36].

Я закончу этот раздел замечанием, что оператор $\xi d / d \xi$ очень важен во всей теории в целом, а не только в связи с автомо-

дельными решениями. Некоторые замечания о его роли будут даны в следующем разделе.