1. Пользуясь определением (3.25), покажите, что эта скобка Пуассона удовлетворяет тождеству Якоби $\{\{F,G\},H\}+$ $+\{\{H,F\},G\}+\{\{G,H\},F\}=0$.
2. Вспомните, что в (1.18) мы определяли $w+3/{\epsilon }^2=$ $=(6i/\epsilon )v_x/v$ и получали $v_{xx}+(q+1/4{\epsilon }^2)v=0$. Отождествите $\zeta \mathrm{c}-1/2\epsilon$ и покажите, что $w=-12i\zeta (\left(v_x/v\right)-i\zeta )=-12i\zeta {\mathrm{\Phi }}_x$. Поэтому сохраняющиеся плотности уравнения КдФ, введенные в гл. 1, имеют вид ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{R}_{n}dx$ и пропорциональны гамильтонианам. Другие члены иерархии КдФ приводит нас к тем же сохраняющимся величинам.
3. На первый взгляд это упражнение может показаться бессмысленным. Но поверьте мне на слово, смысл есть. Мы вернемся к используемым в нем идеям в гл. 4. Положите
$$q(x,t_3,\dots )=2\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\ln \tau (x,t_3,t_5,\dots )$$
и покажите, что с точностью до $O\left(1/{\zeta }^5\right)$
$$\begin{array}{rl}{e}^{\mathrm{\Phi }}=& \exp (\ln \tau (x-\frac{1}{i\zeta },i_3-\frac{1}{3i{\zeta }^3},t_5-\frac{1}{3i{\zeta }^5},\dots )-\\ & -\ln \tau (x,t_3,t_5,\dots ))\end{array}$$
и что асимптотически
$$v(x,\mathbf{t})\sim e^{i\zeta x+i{\zeta }^3{t}_3+i{\zeta }^5{t}_5}\frac{\tau (x-1/i\zeta ,t_3-1/3{\zeta }^3,\dots )}{\tau (x,t_3,t_5,\dots )}.$$

Указание: нужно записать
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{R}_{3}dx\text{ как }-\frac{1}{3}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^x(q_{xx}+3q^2)-{\int }_{-\mathrm{\infty }}^x\frac{2}{3}{q}_{xx}$$
и воспользоваться тем, что
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{q}_{t_3}=2\frac{\partial }{\partial t_3}\ln \tau .$$
4. Покажите, что из (3.1), (3.3) с $A=\frac{1}{2}{B}_x,B=-\lambda +\frac{1}{2}q$ получается
$$v_t=-v_{xxx}-\frac{3}{2}q{v}_x-\frac{3}{4}{q}_{x}v.$$
5. Произведите следующие формальные выкладки. Пусть
$$L=D+a_1{D}^{-1}+a_2{D}^{-2}+\dots ,$$

где $D=\partial /\partial x$ и $D^{-1}-$ формальный интегральный оператор ${\int }^{x}dx$. Определим $B_n={\left(L^n\right)}_{+}$, что обозначает дифференциальную часть $L^n$. Например, $(L{)}_{+}=D,{\left(L^2\right)}_{+}=D^2+2a_1,{\left(L^3\right)}_{+}=D^3+$ $+3a_{1}D+3D{a}_1+3a_2$. Рассмотрим иерархию уравнений
$$v_{x_n}=B_{n}v,n=2,3,4,5,\dots$$

Условие их разрешимости есть
$${\left(B_n\right)}_{x_m}-{\left(B_m\right)}_{x_n}+[B_n,B_m]=0.$$

Случай (i). Предположим, что коэффициенты $a_1,a_2$ не зависят от $x_2$, и в таком случае можно положить $v\to e^{\lambda x_2}\cdot v$ и заменить $v_{x_2}=B_{2}v$ на $\lambda v=B_{2}v$. Покажите, что тогда (A) дает $a_2=$ $=-(1/2)a_{1x}$ и
$${\left(2a_1\right)}_{x_3}-\frac{3}{2}\left(2a_1\right){\left(2a_1\right)}_x-\frac{1}{4}{\left(2a_1\right)}_{xxx}=0.$$

Заметьте, что если мы обозначим $x_3=-t$, то $v_{x_3}=B_{3}v$ в точности является формой уравнения $v_t=Bv$ в последнем упражнении.
Случай (ii). Пусть $a_1,a_2$ не зависят от $x_3$. Тогда
$$\begin{array}{c}{a}_2=-\frac{1}{2}{a}_{1x}+\frac{1}{2}{\int }^x{a}_{x_2}+C,-\frac{3}{2}{a}_{1x_1{x}_2}-\\ -\frac{1}{2}{a}_{1xxxx}-6{\left(a_1{a}_{1x}\right)}_x=0.\end{array}$$

Положим $a_1=\frac{1}{2}(q-c^2/2)$ и придем к уравнению Буссинеска $(2.26)$
$$q_{x_2{x}_2}-c^2{q}_{xx}=-\frac{1}{3}{q}_{xxxx}-2{\left(q{q}_x\right)}_x.$$

Случай (iii). Наконец, пусть $a_1,a_2$ зависят от $x,x_2$ и $x_3$. Tеперь вы должны получить
$$2a_{1x_3}-\frac{1}{2}{a}_{1xxx}-6{\left(a_1{a}_{1x}\right)}_x-\frac{3}{2}{a}_{1x_2{x}_2}=0,$$
что после надлежащих преобразований превращается в уравнение КП (2.27).

Замечание 1. Система $v_{x_n}=B_{n}v,n=2,3,\dots$ порождает иерархию уравнений КП. Интересующийся читатель может найти обсуждение алгебраической структуры $\tau$-функции этого семейства в [39].

Замечание 2. Для случая КдФ(і) начальная краевая задача решается в основном исходя из задачи на собственные значения $\lambda v=B_{2}v$, и уравнение $v_{x_3}=B_{3}v$ используется для определения зависимости данных рассеяния от $x_3$. В случае уравнения Буссинеска (ii) задача на собственные значения $\lambda v=B_{3}v$ имеет третий порядок. Эволюция данных рассеяния этой задачи по $x_2$ находится из $v_{x_2}=B_{2}v$. В случае (iii) все оказывается совсем не так просто. В этом случае вообще нет задачи на собственные значения! Вместо этого нужно решать двумерную задачу рассеяния $v_{x_2}=v_{xx}+q(x,x_2;x_3)$ v. Читатель может обратиться к трудам Киевской конференции 1983 г. [124], в особенности к работам Абловица, Фокаша и Захарова, Манакова, в которых имеются необходимые ссылки.