1. Пользуясь определением (3.25), покажите, что эта скобка Пуассона удовлетворяет тождеству Якоби $\{\{F, G\}, H\}+$ $+\{\{H, F\}, G\}+\{\{G, H\}, F\}=0$.
2. Вспомните, что в (1.18) мы определяли $w+3 / \varepsilon^{2}=$ $=(6 i / \varepsilon) v_{x} / v$ и получали $v_{x x}+\left(q+1 / 4 \varepsilon^{2}\right) v=0$. Отождествите $\zeta \mathrm{c}-1 / 2 \varepsilon$ и покажите, что $w=-12 i \zeta\left(\left(v_{x} / v\right)-i \zeta\right)=-12 i \zeta \Phi_{x}$. Поэтому сохраняющиеся плотности уравнения КдФ, введенные в гл. 1, имеют вид $\int_{-\infty}^{\infty} R_{n} d x$ и пропорциональны гамильтонианам. Другие члены иерархии КдФ приводит нас к тем же сохраняющимся величинам.
3. На первый взгляд это упражнение может показаться бессмысленным. Но поверьте мне на слово, смысл есть. Мы вернемся к используемым в нем идеям в гл. 4. Положите
\[
q\left(x, t_{3}, \ldots\right)=2 \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \ln \tau\left(x, t_{3}, t_{5}, \ldots\right)
\]
и покажите, что с точностью до $O\left(1 / \zeta^{5}\right)$
\[
\begin{aligned}
e^{\Phi}= & \exp \left(\ln \tau\left(x-\frac{1}{i \zeta}, i_{3}-\frac{1}{3 i \zeta^{3}}, t_{5}-\frac{1}{3 i \zeta^{5}}, \ldots\right)-\right. \\
& \left.-\ln \tau\left(x, t_{3}, t_{5}, \ldots\right)\right)
\end{aligned}
\]
и что асимптотически
\[
v(x, \mathbf{t}) \sim e^{i \zeta x+i \zeta^{3} t_{3}+i \zeta^{5} t_{5}} \frac{\tau\left(x-1 / i \zeta, t_{3}-1 / 3 \zeta^{3}, \ldots\right)}{\tau\left(x, t_{3}, t_{5}, \ldots\right)} .
\]

Указание: нужно записать
\[
\int_{-\infty}^{x} R_{3} d x \text { как }-\frac{1}{3} \int_{-\infty}^{x}\left(q_{x x}+3 q^{2}\right)-\int_{-\infty}^{x} \frac{2}{3} q_{x x}
\]
и воспользоваться тем, что
\[
\int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{x} q_{t_{3}}=2 \frac{\partial}{\partial t_{3}} \ln \tau .
\]
4. Покажите, что из (3.1), (3.3) с $A=\frac{1}{2} B_{x}, B=-\lambda+\frac{1}{2} q$ получается
\[
v_{t}=-v_{x x x}-\frac{3}{2} q v_{x}-\frac{3}{4} q_{x} v .
\]
5. Произведите следующие формальные выкладки. Пусть
\[
L=D+a_{1} D^{-1}+a_{2} D^{-2}+\ldots,
\]

где $D=\partial / \partial x$ и $D^{-1}-$ формальный интегральный оператор $\int^{x} d x$. Определим $B_{n}=\left(L^{n}\right)_{+}$, что обозначает дифференциальную часть $L^{n}$. Например, $(L)_{+}=D,\left(L^{2}\right)_{+}=D^{2}+2 a_{1},\left(L^{3}\right)_{+}=D^{3}+$ $+3 a_{1} D+3 D a_{1}+3 a_{2}$. Рассмотрим иерархию уравнений
\[
v_{x_{n}}=B_{n} v, \quad n=2,3,4,5, \ldots
\]

Условие их разрешимости есть
\[
\left(B_{n}\right)_{x_{m}}-\left(B_{m}\right)_{x_{n}}+\left[B_{n}, B_{m}\right]=0 .
\]

Случай (i). Предположим, что коэффициенты $a_{1}, a_{2}$ не зависят от $x_{2}$, и в таком случае можно положить $v \rightarrow e^{\lambda x_{2}} \cdot v$ и заменить $v_{x_{2}}=B_{2} v$ на $\lambda v=B_{2} v$. Покажите, что тогда (A) дает $a_{2}=$ $=-(1 / 2) a_{1 x}$ и
\[
\left(2 a_{1}\right)_{x_{3}}-\frac{3}{2}\left(2 a_{1}\right)\left(2 a_{1}\right)_{x}-\frac{1}{4}\left(2 a_{1}\right)_{x x x}=0 .
\]

Заметьте, что если мы обозначим $x_{3}=-t$, то $v_{x_{3}}=B_{3} v$ в точности является формой уравнения $v_{t}=B v$ в последнем упражнении.
Случай (ii). Пусть $a_{1}, a_{2}$ не зависят от $x_{3}$. Тогда
\[
\begin{array}{c}
a_{2}=-\frac{1}{2} a_{1 x}+\frac{1}{2} \int^{x} a_{x_{2}}+C,-\frac{3}{2} a_{1 x_{1} x_{2}}- \\
-\frac{1}{2} a_{1 x x x x}-6\left(a_{1} a_{1 x}\right)_{x}=0 .
\end{array}
\]

Положим $a_{1}=\frac{1}{2}\left(q-c^{2} / 2\right)$ и придем к уравнению Буссинеска $(2.26)$
\[
q_{x_{2} x_{2}}-c^{2} q_{x x}=-\frac{1}{3} q_{x x x x}-2\left(q q_{x}\right)_{x} .
\]

Случай (iii). Наконец, пусть $a_{1}, a_{2}$ зависят от $x, x_{2}$ и $x_{3}$. Tеперь вы должны получить
\[
2 a_{1 x_{3}}-\frac{1}{2} a_{1 x x x}-6\left(a_{1} a_{1 x}\right)_{x}-\frac{3}{2} a_{1 x_{2} x_{2}}=0,
\]
что после надлежащих преобразований превращается в уравнение КП (2.27).

Замечание 1. Система $v_{x_{n}}=B_{n} v, n=2,3, \ldots$ порождает иерархию уравнений КП. Интересующийся читатель может найти обсуждение алгебраической структуры $\tau$-функции этого семейства в [39].

Замечание 2. Для случая КдФ(і) начальная краевая задача решается в основном исходя из задачи на собственные значения $\lambda v=B_{2} v$, и уравнение $v_{x_{3}}=B_{3} v$ используется для определения зависимости данных рассеяния от $x_{3}$. В случае уравнения Буссинеска (ii) задача на собственные значения $\lambda v=B_{3} v$ имеет третий порядок. Эволюция данных рассеяния этой задачи по $x_{2}$ находится из $v_{x_{2}}=B_{2} v$. В случае (iii) все оказывается совсем не так просто. В этом случае вообще нет задачи на собственные значения! Вместо этого нужно решать двумерную задачу рассеяния $v_{x_{2}}=v_{x x}+q\left(x, x_{2} ; x_{3}\right)$ v. Читатель может обратиться к трудам Киевской конференции 1983 г. [124], в особенности к работам Абловица, Фокаша и Захарова, Манакова, в которых имеются необходимые ссылки.