Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Позвольте сначала напомнить основные идеи этой главы. Мы берем алгебру петель $G=$ $=\left\{X=\sum_{+\infty}^{-N} X_{j} \zeta^{-1}, X_{j} \in \operatorname{sl}(2, C)\right\}$ алгебры $\tilde{\mathrm{sl}}(2, C)$, на которой мы определяем форму Киллинга $\langle X, Y\rangle_{0}=\sum_{j+k=0} \operatorname{Tr} X_{j} Y_{k} . G$ разлагается на две подалгебры, $G=K+N$, и с помощью введенной на $G$ формы Киллинга двойственное к $N$ пространство $N^{*}$ отождествляется с ортогональным дополнением $K^{\perp}$ к $K . K^{\perp}$ имеет естественную пуассонову структуру, и можно выписать гамильтоновы векторные поля, порожденные функцией Ф на $K^{\perp}$. Существует специальный класс функций, аd-инвариантные функции $\Phi_{k}$, которые являются коэффициентами при $\zeta^{-k}$ в разложении — $(1 / 2) \operatorname{Tr} X^{2}$, играющие особую роль. Из-за свойства аd-инвариантности гамильтоновы векторные поля приобретают форму Лакса В разделах 5i,j мы сочли удобным расширить фазовое пространство $K^{\perp}$ до $\varepsilon+K^{\perp}$, где $\varepsilon \in K^{*}=N^{\perp}$ — это выделенный элемент в алгебре, двойственной к алгебре группы симметрии $\vec{K}$. Пространство $\varepsilon+K^{\perp}$ также имеет скобку Пуассона при любом $\varepsilon \in G$, и для тех $\varepsilon$, которые принадлежат ортогональным дополнениям коммутаторов $[K, K]$ и $[N, N]$ (последнее очевидно вследствие того, что $\varepsilon Любой элемент вида $(a H+b E+c F) \zeta$ можно взять в качестве $\varepsilon$; в случае однородной градуировки мы выбираем $\varepsilon=-i H \zeta$. Теперь читателю следует проверить, что (5.269) в точности то же самое, что (5.268), если мы выбираем $h_{0}=-i, e_{0}=f_{0}=0$ в (5.268) и считаем, что $Q$ в (5.269) — это $\sum_{1}^{\infty} Q_{r} \zeta^{r-1}, Q_{r}=h_{r} H+$ $+e_{r} E+f_{r} F$. Для другой градуировки, которую мы использовали в третьем примере в разд. 5 с, мы берем элемент $\varepsilon=-F \zeta+E$ (который имеет вес 1 ). Почему вообще необходимо включать какие-то новые элементы в алгебру? $\mathrm{K}$ несчастью, в настоящее время я этого не знаю. Очевидно, однако, что теория в чем-то не завершена. Не найдено естественного способа введения $\tau$-функции в рамках теории Ли. Более того, некоторые формулы, например (5.63) для тензора тока, по-видимому, требуют введения оператора $\zeta d / d \zeta$. Далее, так как полная интегрируемость уравнений Лакса означает, что мы с помощью канонических преобразований можем свести сильно взаимодействующую систему (5.268) к невзаимодействующим гармоническим осцилляторам, то следует ожидать появления алгебры Гейзенберга. Но не существует подалгебры $\widetilde{\mathrm{sl}}(2, C)$, которая является алгеброй Гейзенберга. Требуется дополнительный элемент — центр $Z$. Нам нужно задать правила коммутирования и взятия внутреннего произведения, связанные с включением новых элементов. Они таковы $(X, Y \in G)$ : В $(5.271 \mathrm{c})[X, Y]^{\sim}$ обозначает коммутатор по старым правилам $\tilde{\text { sl }}(2, C)$; например, $[H, E]^{\sim}=2 E$. Новый член — это $\langle D X, Y\rangle_{0} Z$. Новое нетривиальное правило внутреннего умножения есть оно необходимо, чтобы выполнялся закон объема параллелепипеда для $\hat{X}, \hat{Y}, \hat{Z} \in \hat{G}$. Проверте его, например, для $\hat{X}=D, \hat{\mathrm{Y}}=$ $=\hat{Z}=Y \in G$. Давайте рассмотрим несколько примеров. Пусть $X \in G$; вычислим $\left[ членов, пропорциональных центру в (5.271c), коммутатор не нуль. Поэтому функции $\Phi_{k}(X)$ больше не являются ad-инвариантными, и мы теряем одну из отправных точек исходной теории. Тем не менее можно проверить, проследив за всеми деталями, что если то уравнения Лакса $Q_{t_{k}}=\left[Q^{(k)}, Q\right]^{\sim}$ останутся справедливыми и $c$ и $d$ — константы. Далее вычислим коммутатор градиентов от $\boldsymbol{\Phi}_{k-1}, \Phi_{j-1}$, т. е. гамильтонианов для потоков $t_{k}$ и $t_{j}$ на $\widetilde{\operatorname{sl}}(2, C)$. Мы вычисляем градиенты в выделенной точке $\varepsilon=-i H \zeta$ пространства $K^{*}$, т. е. $ Поэтому последовательность $\left\{ Читателю также следует проверить, что последовательность $\left\{ В [70] показано, что по отношению к скобке оказывается, что $\left\{p_{i}, q_{j}\right\}=\delta_{i j}, \quad\left\{p_{i}, p_{j}\right\}=\left\{q_{i}, q_{j}\right\}=0$, и для вещественных $\quad \xi, \xi^{\prime}\left\{p(\xi), q\left(\xi^{\prime}\right)\right\}=\delta\left(\xi-\xi^{\prime}\right), \quad\left\{p(\xi), p\left(\xi^{\prime}\right)\right\}=0$, $\left\{q(\xi), q\left(\xi^{\prime}\right)\right\}=0$. Я еще не знаю, как отождествить эту подалгебру Гейзенберга с той, которая порождается последовательностью $\left\{-i H \zeta^{k}\right\}_{-\infty}^{\infty}$, но верю, что одна является проявлением другой. В дополнение я хочу обратить ваше внимание на ряд ситуаций, когда важен элемент с производной $\zeta d / d \zeta$. Мы знаем, что при третьем определении $\tau$-функции формула (5.91b) имеет вид Мы также отмечали, что формулу для тензора тока $F_{j k}$ лучше всего записывать в виде где $Q=\sum_{0}^{\infty} Q_{r} \zeta^{-r}, Q_{0}=-i H$ и $D=\zeta d / d \zeta$. Читатель узнает этот коэффициент как дополнительный член, пропорциональный центру $Z$, который появляется в коммутаторе и который описывал бы временную эволюцию элемента $\zeta^{j} Q$ под действием потока $t_{k}$, если бы $\zeta^{j} Q$ принадлежал $K^{\perp}$. В общем случае, конечно, это не так. Однако на чисто формальном уровне, если записать временную зависимость для $\zeta^{j} Q+c_{j} Z+d_{j} D$, тогда Это означало бы, что $d_{j}$ является константой и что $c_{j}$ — это градиент $\ln \tau$, т. е. $\partial \ln \tau / \partial t_{j}$. Заметьте, в частности, что в случае $j=0$, когда формула (5.274) действительно выполняется, $\partial \ln \tau / \partial t_{0}=0$. Это оттого, что зависимость всех величин $e_{r}, f_{r}$ от $t_{0}$ экспоненциальна; $e_{1}\left(t_{0}, t_{1}, \ldots\right)=e_{1}\left(t_{1}, \ldots\right) e^{-2 l t_{0}}, f_{1}\left(t_{0}, t_{1}, \ldots\right.$ $\ldots)=f_{1}\left(t_{1}, \ldots\right) e^{2 l t_{0}}$. Тогда из-за того, что $h_{r}$ вычисляется из $\zeta^{-r_{-}}$ компоненты уравнения $h^{2}+e f=-1$, все функции $h_{r}$ (и, следовательно, $\tau$ ) не зависят от $t_{0}$. Наконец, я хочу, чтобы вы обратили внимание, как важен оператор $\zeta d / d \zeta$ вместе с его произведениями на степени $\zeta$ для построения точно решаемых неавтономных уравнений. Эти уравнения также являются естественной иерархией для $\hat{A}_{1}^{(1)}$, но совершенно отличны от тех, что мы уже видели. В некоторых предельных случаях это те уравнения, которые получились бы при поиске обладающих масштабной инвариантностью решений предыдущей иерархии. Читателю следует вспомнить обсуждение в разд. $5 \mathrm{f}(\mathrm{iii})$. Мы найдем один из простейших примеров этих новых потоков, если рассмотрим условие интегрируемости пары уравнений В результате перекрестного дифференцирования получаем где $[\cdot, \cdot]^{\sim}$ есть старый матричный коммутатор алгебры $\tilde{\mathrm{sl}}(2, C)$. Член $\zeta(d / d \xi) Q^{(1)}$ сокращается с членом $1 \cdot Q_{0}$ из $\left(x Q^{1}\right)_{x}$, и остается Это уравнение удовлетворяется в точности при нашем первоначальном выборе $Q^{(3)}=-i H \zeta^{3}+Q_{1} \zeta^{2}+Q_{2} \zeta+Q_{3}, \quad Q_{r}=h_{r} H+$ $+e_{r} E+f_{r} F$. Приравнивая коэфффициенты при $\zeta^{0}$, мы получаем эволюционные уравнения У этих уравнений есть несколько черт, на которые стоит обратить внимание. Во-первых, как уже упоминалось, они отражают масштабные симметрии, присущие иерархии АКНС, некоторые детали которых обсуждались в разд. $5 \mathrm{f}$ (iii). Легко проверить, что если бы мы написали правую часть (5.275b) в виде $3 t_{3} Q^{(3)}$ вместо $Q^{(3)}$, то третий член в $(5.276 \mathrm{a}, \mathrm{b})$ превратился бы в $-3 t_{3} q_{t_{3}}$ и $-3 t_{3} r_{t_{3}}$ соответственно, и из уравнений следовало бы, что $q$ и $r$ суть функции от $X=\left(x /\left(3 t_{3}\right)_{i}^{1 / 3}\right)$ и $T=x e^{t}$. Если мы потребуем, чтобы $q$ и $r$ были независимы от $t$, мы снова придем к автомодельным решениям того же типа, что и обсуждавшиеся в разд. $5 \mathrm{f}$ (iii). Вторая интересная черта — это природа законов сохранения. Без членов $(x q)_{x}$ и $(x r)_{x}$ они задаются выражениями например, Но что такое $-r(x q)_{x}-q(x r)_{x}$ ? Это просто производная от $(-x q r+\partial \ln \tau / \partial x)$ по $x$, и, таким образом, или Опять появляется градиент от $\ln \tau$. Давайте исследовать дальше. Рассмотрим $F_{12}=-2 i h_{3}=i / 2\left(r q_{x}-r_{x} q\right)$. Но если мы собираемся вводить время $t_{2}$ и считать его независимой переменной, мы должны быть уверены, что поток $t_{2}$ коммутирует с потоком $t$. Чтобы обеспечить это, нам нужно прибавить член $2 t_{2} Q^{(2)}$ к правой части (5.274), который не портит совместность (5.275а, b); он просто эквивалентен выбору $h^{2}+e f=$ $=-1+c_{1} \xi^{-1}+\ldots$ при подходящем выборе $c_{1}$. Рассмотрим Перекрестно дифференцируем (5.277a, с) и находим после несложных вычислений где мы использовали совместность Напомним, что $Q_{t_{p}}^{(1)}=Q_{t_{1}}^{(2)}-\left[Q^{(1)}, Q^{(2)}\right]$ и $Q_{t_{2}}^{(3)}+\left[Q^{(3)}, Q^{(2)}\right]=Q_{t_{3}}^{(2)}$. Тогда имеем Вычисляя коэффициенты при степенях $\zeta$, получаем Читателю следует проверить, что последние уравнения действительно совместны. играет важную роль во всей теории. Замечание. Я не хочу, чтобы после прочтения разд. 5b у читателя осталось впечатление, будто метод Уолквиста-Эстабрука дает несложный способ находить лаксово представление для интегрируемых систем. Многое зависит от способности установить зависимость $P$ в (5.3) от координат $q, q_{x}, q_{x x}, \ldots$ на фазовом пространстве. В самом деле, я знаю несколько примеров конечномерных интегрируемых систем, для которых известны все интегралы движения, но для которых не найдена лаксова пара. Например, я предлагаю читателю рассмотреть стацнонарное уравнение для потока $t_{5}$ семейства КдФ $q_{x x x x}+5 q_{x}^{2}+$ $+10 q q_{x x}+10 q^{3}=0$, про которое нам известно, что оно гамильтоново с каноническими координатами с гамильтонианом и вторым интегралом движения в инволюции. $H$ порождает поток $x, G$ — поток $t_{3}$. Зная уравнение и сообщенную выше информацию, можете ли вы, используя метод Уолквиста — Эстабрука, показать, что уравнение Лакса есть $Q_{x}=\left[Q^{(1)}, Q\right]$, т. е. условие совместности для $y V=Q V$, $V_{x}=Q^{(1)} V$, где Другой пример (в котором я еще не знаю ответа) порождается со вторым интегралом движения Трудность в том, что у нас нет хорошего рецепта для вычисления зависимости $Q, Q^{(1)}$ от координат, в которых задана исходная задача. Однако я не хочу, чтобы мое замечание звучало слишком пессимистично, потому что иногда эта схема действительно работает (особенно если использовать данный метод вместе с информацией, полученной из теста Пенлеве), и тогда она имеет то крупное преимущество, что указывает координаты, в которых интегралы движения разделяются. Например, в первом приведенном выше примере возьмем и найдем что разделяется следующим образом: а это совпадает с (3.168) и, как мы показали, интегрируется с помощью отображения Абеля. Поэтому уместно задаться вопросом: имеет ли гамильтонова система, интегрируемая по Лиувиллю ( $N$ интегралов движения в инволюции), эквивалентную формулировку с помощью лаксовой пары, и если имеет, то как ее построить?
|
1 |
Оглавление
|