Позвольте сначала напомнить основные идеи этой главы. Мы берем алгебру петель $G=$ $=\left\{X=\sum_{+\infty}^{-N} X_{j} \zeta^{-1}, X_{j} \in \operatorname{sl}(2, C)\right\}$ алгебры $\tilde{\mathrm{sl}}(2, C)$, на которой мы определяем форму Киллинга $\langle X, Y\rangle_{0}=\sum_{j+k=0} \operatorname{Tr} X_{j} Y_{k} . G$ разлагается на две подалгебры, $G=K+N$, и с помощью введенной на $G$ формы Киллинга двойственное к $N$ пространство $N^{*}$ отождествляется с ортогональным дополнением $K^{\perp}$ к $K . K^{\perp}$ имеет естественную пуассонову структуру, и можно выписать гамильтоновы векторные поля, порожденные функцией Ф на $K^{\perp}$. Существует специальный класс функций, аd-инвариантные функции $\Phi_{k}$, которые являются коэффициентами при $\zeta^{-k}$ в разложении – $(1 / 2) \operatorname{Tr} X^{2}$, играющие особую роль. Из-за свойства аd-инвариантности гамильтоновы векторные поля
\[
Q_{t_{k}}=-\pi_{K^{\perp}}\left[\pi_{N}
abla \Phi_{k}(Q), Q\right], \quad Q \in K^{\perp}
\]

приобретают форму Лакса
\[
Q_{t_{k}}=-\left[\pi_{N}
abla \Phi_{k}(Q), Q\right], \quad Q \in K^{\perp} .
\]

В разделах 5i,j мы сочли удобным расширить фазовое пространство $K^{\perp}$ до $\varepsilon+K^{\perp}$, где $\varepsilon \in K^{*}=N^{\perp}$ – это выделенный элемент в алгебре, двойственной к алгебре группы симметрии $\vec{K}$. Пространство $\varepsilon+K^{\perp}$ также имеет скобку Пуассона при любом $\varepsilon \in G$, и для тех $\varepsilon$, которые принадлежат ортогональным дополнениям коммутаторов $[K, K]$ и $[N, N]$ (последнее очевидно вследствие того, что $\varepsilon
otin K^{\perp}$ и поэтому $\varepsilon \in N^{\perp}$ ), мы имеем набор коммутирующих потоков
\[
(\varepsilon+Q)_{t_{k}}=-\left[\pi_{N}
abla \Phi_{k-1}(\varepsilon+Q), \varepsilon+Q\right] .
\]

Любой элемент вида $(a H+b E+c F) \zeta$ можно взять в качестве $\varepsilon$; в случае однородной градуировки мы выбираем $\varepsilon=-i H \zeta$. Теперь читателю следует проверить, что (5.269) в точности то же самое, что (5.268), если мы выбираем $h_{0}=-i, e_{0}=f_{0}=0$ в (5.268) и считаем, что $Q$ в (5.269) – это $\sum_{1}^{\infty} Q_{r} \zeta^{r-1}, Q_{r}=h_{r} H+$ $+e_{r} E+f_{r} F$. Для другой градуировки, которую мы использовали

в третьем примере в разд. 5 с, мы берем элемент $\varepsilon=-F \zeta+E$ (который имеет вес 1 ).

Почему вообще необходимо включать какие-то новые элементы в алгебру? $\mathrm{K}$ несчастью, в настоящее время я этого не знаю. Очевидно, однако, что теория в чем-то не завершена. Не найдено естественного способа введения $\tau$-функции в рамках теории Ли. Более того, некоторые формулы, например (5.63) для тензора тока, по-видимому, требуют введения оператора $\zeta d / d \zeta$. Далее, так как полная интегрируемость уравнений Лакса означает, что мы с помощью канонических преобразований можем свести сильно взаимодействующую систему (5.268) к невзаимодействующим гармоническим осцилляторам, то следует ожидать появления алгебры Гейзенберга. Но не существует подалгебры $\widetilde{\mathrm{sl}}(2, C)$, которая является алгеброй Гейзенберга. Требуется дополнительный элемент – центр $Z$.
Рассмотрим поэтому расширенную алгебру
\[
\widehat{G}=G+c Z+d D, \quad D=\zeta \frac{d}{d \zeta} .
\]

Нам нужно задать правила коммутирования и взятия внутреннего произведения, связанные с включением новых элементов. Они таковы $(X, Y \in G)$ :
\[
\begin{array}{c}
{[Z, \text { все что угодно }]=0,} \\
{[D, X]=\zeta \frac{d X}{d \zeta}=\sum_{\infty}^{-N}-j X_{j} \zeta^{-j},} \\
{[X, Y]=[X, Y]^{\sim}+\langle[D, X], Y\rangle_{0} Z .}
\end{array}
\]

В $(5.271 \mathrm{c})[X, Y]^{\sim}$ обозначает коммутатор по старым правилам $\tilde{\text { sl }}(2, C)$; например, $[H, E]^{\sim}=2 E$. Новый член – это $\langle D X, Y\rangle_{0} Z$. Новое нетривиальное правило внутреннего умножения есть
\[
\langle Z, D\rangle=1 ;
\]

оно необходимо, чтобы выполнялся закон объема параллелепипеда
\[
\langle\hat{X},[\hat{Y}, \hat{Z}]\rangle=\langle\hat{Z},[\hat{X}, \hat{Y}]\rangle=\langle\hat{Y},[\hat{Z}, \hat{X}]\rangle
\]

для $\hat{X}, \hat{Y}, \hat{Z} \in \hat{G}$. Проверте его, например, для $\hat{X}=D, \hat{\mathrm{Y}}=$ $=\hat{Z}=Y \in G$.

Давайте рассмотрим несколько примеров. Пусть $X \in G$; вычислим $\left[
abla \Phi_{k}(X), X\right]$. Опять $
abla \Phi_{k}(X)=-S^{k} X=-\sum_{\infty}^{N} X_{-j} j^{j+k}$, $X_{-1} \in \mathrm{sl}(2, C)$, но обратите внимание, что из-за дополнительных

членов, пропорциональных центру в (5.271c), коммутатор не нуль. Поэтому функции $\Phi_{k}(X)$ больше не являются ad-инвариантными, и мы теряем одну из отправных точек исходной теории. Тем не менее можно проверить, проследив за всеми деталями, что если
\[
\hat{Q}=\sum_{0}^{\infty}\left(h_{r} H+e_{r} E+f_{r} F\right) \zeta^{-r}+c Z+d D,
\]

то уравнения Лакса $Q_{t_{k}}=\left[Q^{(k)}, Q\right]^{\sim}$ останутся справедливыми и $c$ и $d$ – константы.

Далее вычислим коммутатор градиентов от $\boldsymbol{\Phi}_{k-1}, \Phi_{j-1}$, т. е. гамильтонианов для потоков $t_{k}$ и $t_{j}$ на $\widetilde{\operatorname{sl}}(2, C)$. Мы вычисляем градиенты в выделенной точке $\varepsilon=-i H \zeta$ пространства $K^{*}$, т. е. $
abla \Phi_{k-1}(-i H \zeta)=-i H \zeta^{k}$. Мы находим
\[
\left[
abla \Phi_{k-1}(-i H \zeta),
abla \Phi_{j-1}(-i H \zeta)\right]=\left[-i H \zeta^{k},-i H \zeta^{j}\right]=-2 k \delta_{j+k, 0} Z .
\]

Поэтому последовательность $\left\{
abla \Phi_{k-1}(-i H \zeta)\right\}_{k=-\infty}^{\infty}$ порождает подалгебру Гейзенберга в $A_{1}^{(1)}$, и мы можем ввести представление
\[
\begin{array}{ll}
-i H \zeta^{k} \rightarrow \frac{\partial}{\partial t_{k}}, & k>0, \\
-i H \zeta^{i} \rightarrow 2 j t_{-j}, & j<0 .
\end{array}
\]

Читателю также следует проверить, что последовательность $\left\{
abla \Phi_{k-1}(\varepsilon)\right\}$, где $\varepsilon$ – это выделенный элемент $\varepsilon=-F \zeta+E$ в альтернативной градуировке, также порождает подалгебру Гейзенберга. Тот факт, что всем управляющая алгебра $A_{1}^{(1)}$ имеет подалгебру Гейзенберга, убедителен, ибо мы знаем, что алгебра скобок Пуассона между данными рассеяния – это алгебра Гейзенберга. Читатель помнит, что основная идея метода обратной задачи состоит в переходе от старых координат $q, r, q_{x}, r_{x}, \ldots$ и т. д. (в нашем обсуждении мы считаем $x$ выделенным временем) к новым координатам типа действие-угол, которые при $r=-q^{*}$ суть
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{p}=\left(\frac{1}{\pi} \ln a a^{*}(\xi), \xi \text { вещественно, } 2 i \zeta_{k}, 2 i \zeta_{k}^{*}, k=1, \ldots, N\right), \\
\mathbf{q}=\left(\ln b(\xi), \ln b_{k}, \ln b_{k}^{*}\right) .
\end{array}
\]

В [70] показано, что по отношению к скобке
\[
\{F, G\}=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\delta F}{\delta q} \frac{\delta G}{\delta r}-\frac{\delta F}{\delta r} \frac{\delta G}{\delta q}\right) d x
\]

оказывается, что $\left\{p_{i}, q_{j}\right\}=\delta_{i j}, \quad\left\{p_{i}, p_{j}\right\}=\left\{q_{i}, q_{j}\right\}=0$, и для вещественных $\quad \xi, \xi^{\prime}\left\{p(\xi), q\left(\xi^{\prime}\right)\right\}=\delta\left(\xi-\xi^{\prime}\right), \quad\left\{p(\xi), p\left(\xi^{\prime}\right)\right\}=0$, $\left\{q(\xi), q\left(\xi^{\prime}\right)\right\}=0$. Я еще не знаю, как отождествить эту подалгебру Гейзенберга с той, которая порождается последовательностью $\left\{-i H \zeta^{k}\right\}_{-\infty}^{\infty}$, но верю, что одна является проявлением другой.

В дополнение я хочу обратить ваше внимание на ряд ситуаций, когда важен элемент с производной $\zeta d / d \zeta$. Мы знаем, что при третьем определении $\tau$-функции формула (5.91b) имеет вид
\[
\left\langle\hat{V}^{-1} D \hat{V},-i \zeta^{j} H\right\rangle_{0}=\frac{\partial}{\partial t_{j}} \ln \tau .
\]

Мы также отмечали, что формулу для тензора тока $F_{j k}$ лучше всего записывать в виде
\[
F_{l k}=\left\langle\left[D, \pi_{N}
abla \Phi_{k}(Q)\right], \zeta^{j} Q\right\rangle_{0}
\]

где $Q=\sum_{0}^{\infty} Q_{r} \zeta^{-r}, Q_{0}=-i H$ и $D=\zeta d / d \zeta$. Читатель узнает этот коэффициент как дополнительный член, пропорциональный центру $Z$, который появляется в коммутаторе
\[
\left[\pi_{N}
abla \Phi_{k}(Q), \zeta^{i} Q\right]
\]

и который описывал бы временную эволюцию элемента $\zeta^{j} Q$ под действием потока $t_{k}$, если бы $\zeta^{j} Q$ принадлежал $K^{\perp}$. В общем случае, конечно, это не так. Однако на чисто формальном уровне, если записать временную зависимость для $\zeta^{j} Q+c_{j} Z+d_{j} D$, тогда
\[
\frac{\partial}{\partial t_{k}}\left(\zeta^{i} Q+c_{j} Z+d_{j} D\right)=\left[Q^{(k)}, \zeta^{j} Q\right]^{\sim}+F_{j k} Z .
\]

Это означало бы, что $d_{j}$ является константой и что $c_{j}$ – это градиент $\ln \tau$, т. е. $\partial \ln \tau / \partial t_{j}$. Заметьте, в частности, что в случае $j=0$, когда формула (5.274) действительно выполняется, $\partial \ln \tau / \partial t_{0}=0$. Это оттого, что зависимость всех величин $e_{r}, f_{r}$ от $t_{0}$ экспоненциальна; $e_{1}\left(t_{0}, t_{1}, \ldots\right)=e_{1}\left(t_{1}, \ldots\right) e^{-2 l t_{0}}, f_{1}\left(t_{0}, t_{1}, \ldots\right.$ $\ldots)=f_{1}\left(t_{1}, \ldots\right) e^{2 l t_{0}}$. Тогда из-за того, что $h_{r}$ вычисляется из $\zeta^{-r_{-}}$ компоненты уравнения $h^{2}+e f=-1$, все функции $h_{r}$ (и, следовательно, $\tau$ ) не зависят от $t_{0}$.

Наконец, я хочу, чтобы вы обратили внимание, как важен оператор $\zeta d / d \zeta$ вместе с его произведениями на степени $\zeta$ для построения точно решаемых неавтономных уравнений. Эти уравнения также являются естественной иерархией для $\hat{A}_{1}^{(1)}$, но совершенно отличны от тех, что мы уже видели. В некоторых предельных случаях это те уравнения, которые получились бы

при поиске обладающих масштабной инвариантностью решений предыдущей иерархии. Читателю следует вспомнить обсуждение в разд. $5 \mathrm{f}(\mathrm{iii})$. Мы найдем один из простейших примеров этих новых потоков, если рассмотрим условие интегрируемости пары уравнений
\[
\begin{array}{c}
V_{x}=Q^{(1)} V, \\
V_{t}+\zeta V_{\zeta}=\left(Q^{(3)}+x Q^{(1)}\right) V .
\end{array}
\]

В результате перекрестного дифференцирования получаем
\[
Q_{t}^{(1)}+\zeta \frac{d}{d \zeta} Q^{(1)}-Q_{x}^{(3)}-\left(x Q^{(\mathrm{I})}\right)_{x}+\left[Q^{(1)}, Q^{(3)}\right]^{\sim}=0,
\]

где $[\cdot, \cdot]^{\sim}$ есть старый матричный коммутатор алгебры $\tilde{\mathrm{sl}}(2, C)$. Член $\zeta(d / d \xi) Q^{(1)}$ сокращается с членом $1 \cdot Q_{0}$ из $\left(x Q^{1}\right)_{x}$, и остается
\[
Q_{1 t}-\left(x Q_{1}\right)_{x}-Q_{x}^{(3)}+\left[-i \zeta H+Q_{1}, Q^{(3)}\right]=0 .
\]

Это уравнение удовлетворяется в точности при нашем первоначальном выборе $Q^{(3)}=-i H \zeta^{3}+Q_{1} \zeta^{2}+Q_{2} \zeta+Q_{3}, \quad Q_{r}=h_{r} H+$ $+e_{r} E+f_{r} F$. Приравнивая коэфффициенты при $\zeta^{0}$, мы получаем эволюционные уравнения
\[
\begin{array}{l}
q_{t}-\left(x q_{x}\right)+\frac{1}{4}\left(q_{x x x}-6 q r q_{x}\right)=0, \\
r_{t}-(x r)_{x}+\frac{1}{4}\left(r_{x x x}-6 q r r_{x}\right)=0 .
\end{array}
\]

У этих уравнений есть несколько черт, на которые стоит обратить внимание. Во-первых, как уже упоминалось, они отражают масштабные симметрии, присущие иерархии АКНС, некоторые детали которых обсуждались в разд. $5 \mathrm{f}$ (iii). Легко проверить, что если бы мы написали правую часть (5.275b) в виде $3 t_{3} Q^{(3)}$ вместо $Q^{(3)}$, то третий член в $(5.276 \mathrm{a}, \mathrm{b})$ превратился бы в $-3 t_{3} q_{t_{3}}$ и $-3 t_{3} r_{t_{3}}$ соответственно, и из уравнений следовало бы, что $q$ и $r$ суть функции от $X=\left(x /\left(3 t_{3}\right)_{i}^{1 / 3}\right)$ и $T=x e^{t}$. Если мы потребуем, чтобы $q$ и $r$ были независимы от $t$, мы снова придем к автомодельным решениям того же типа, что и обсуждавшиеся в разд. $5 \mathrm{f}$ (iii). Вторая интересная черта – это природа законов сохранения. Без членов $(x q)_{x}$ и $(x r)_{x}$ они задаются выражениями
\[
\frac{\partial}{\partial t} F_{1 j}=\frac{\partial}{\partial t_{1}} F_{3 j}, \quad j=1,2, \ldots ;
\]

например,
\[
\frac{\partial}{\partial t} F_{11}=-\frac{\partial}{\partial t} q r=\frac{\partial}{\partial x} F_{31}=\frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{4}\left(r q_{x x}+q r_{x x}-r_{x} q_{x}-3 q^{2} r^{2}\right) .
\]

Но что такое $-r(x q)_{x}-q(x r)_{x}$ ? Это просто производная от $(-x q r+\partial \ln \tau / \partial x)$ по $x$, и, таким образом,
\[
-\frac{\partial q r}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\left\{\frac{1}{4}\left(r q_{x x}+q r_{x x}-r_{x} q_{x}-3 q^{2} r^{2}\right)-x q r+\frac{\partial}{\partial x} \ln \tau\right\},
\]

или
\[
-\frac{\partial F_{11}}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\left(F_{13}+x F_{11}+\frac{\partial \ln \tau}{\partial x}\right) .
\]

Опять появляется градиент от $\ln \tau$. Давайте исследовать дальше. Рассмотрим $F_{12}=-2 i h_{3}=i / 2\left(r q_{x}-r_{x} q\right)$.
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial F_{12}}{\partial t} & =\frac{\partial F_{32}}{\partial x}+\frac{i}{2}\left(r(x q)_{x x}+q_{x}(x r)_{x}-q\left(x r_{x x}\right)-r_{x}(x q)_{x}\right)= \\
& =\frac{\partial F_{32}}{\partial x}+\frac{i}{2}\left(x\left(r q_{x}-r_{x} q\right)_{x}+3\left(r q_{x}-r_{x} q\right)\right)= \\
& =\frac{\partial F_{32}}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial x} x F_{12}+2 \frac{\partial^{2} \ln \tau}{\partial x \partial t_{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\left(F_{32}+x F_{12}+2 \frac{\partial \ln \tau}{\partial t_{2}}\right) .
\end{aligned}
\]

Но если мы собираемся вводить время $t_{2}$ и считать его независимой переменной, мы должны быть уверены, что поток $t_{2}$ коммутирует с потоком $t$. Чтобы обеспечить это, нам нужно прибавить член $2 t_{2} Q^{(2)}$ к правой части (5.274), который не портит совместность (5.275а, b); он просто эквивалентен выбору $h^{2}+e f=$ $=-1+c_{1} \xi^{-1}+\ldots$ при подходящем выборе $c_{1}$. Рассмотрим
\[
\begin{array}{l}
V_{x}=Q^{(1)} V, \\
V_{t_{2}}=Q^{(2)} V, \\
V_{t}+\zeta V_{\zeta}=\left(Q^{(3)}+2 t_{2} Q^{(2)}+x Q^{(1)}\right) V .
\end{array}
\]

Перекрестно дифференцируем (5.277a, с) и находим после несложных вычислений
\[
Q_{1 t}-\left(x Q_{1}\right)_{x}-2 t_{2} Q_{1 t_{2}}+\left[Q_{1}, Q_{3}\right]=0,
\]

где мы использовали совместность
\[
Q_{t_{2}}^{(1)}-Q_{t_{1}}^{(2)}+\left[Q^{(1)}, Q^{(2)}\right]=0
\]
$(5.277 \mathrm{a}, \mathrm{b})$. Из $(5.277 \mathrm{~b}, \mathrm{c})$ мы имеем
\[
\begin{array}{c}
Q_{t}^{(2)}-i H \zeta^{2}+Q_{1} \zeta-Q_{t_{2}}^{(3)}-2 t_{2} Q_{t_{2}}^{(2)}-2 Q^{(2)}-x Q_{t_{2}}^{(1)}+ \\
+\left[Q^{(2)}, Q^{(3)}+x Q^{(1)}\right]=0 .
\end{array}
\]

Напомним, что $Q_{t_{p}}^{(1)}=Q_{t_{1}}^{(2)}-\left[Q^{(1)}, Q^{(2)}\right]$ и $Q_{t_{2}}^{(3)}+\left[Q^{(3)}, Q^{(2)}\right]=Q_{t_{3}}^{(2)}$. Тогда имеем
\[
Q_{t}^{(2)}-Q_{1} \zeta-2 t_{2} Q_{t_{2}}^{(2)}-x Q_{x}^{(2)}-Q_{t_{3}}^{(2)}=0 .
\]

Вычисляя коэффициенты при степенях $\zeta$, получаем
\[
\begin{array}{cl}
\zeta: & Q_{1 t}-\left(x Q_{1}\right)_{x}-2 t_{2} Q_{1 t_{2}}-Q_{1 t_{3}}=0, \\
\zeta^{0}: & Q_{2 t}-x Q_{2 x}-2\left(t_{2} Q_{2}\right)_{t_{2}}-Q_{2 t_{3}}=0 .
\end{array}
\]

Читателю следует проверить, что последние уравнения действительно совместны.
Подводя итоги, мы отмечаеи:
(i) Включение новых базисных элементов $\xi d / d \xi$ и $Z$ в фазовое пространство приводит к новому классу потоков, и эти потоки неавтономны.
(ii) Может оказаться, что в дополнение к переменным фазового пространства ( $h_{r}, e_{r}, f_{r}$ ) следует также ввести в качестве зависимых переменных $t_{j}$ и $\partial \ln \tau / \partial t_{j}, j=1,2, \ldots$, последнюю в качестве коэффициента при центре.
(iii) Новые потоки имеют также бесконечный набор локальных законов сохранения и симметрий, если считать $\partial \ln \tau / \partial t_{j}$ новыми локальными переменными. Например, так как $\partial \ln \tau / \partial t_{j}=-2 i \int^{x=t_{1}} h_{f+1} d x$, мы можем считать новую переменную нижним пределом интегрирования. Похоже, что эти симметрии совпадают с симметриями, предложенными Ченем, Ли и Лином [122], хотя я не проверял этого. Я отмечаю, что алгебра, которой удовлетворяют эти симметрии $\sigma_{n}$, определяется соотношениями $\left[\sigma_{m}, \sigma_{n}\right]=(m-n) \sigma_{m+n-1}$. Обратите внимание, что это в точности алгебра Вирасоро, которой удовлетворяет последовательность $\sigma_{n}=-\zeta^{n} d / d \zeta$.
(iv) Моя гипотеза: элемент
\[
\pi_{N} \zeta^{i} Q+\frac{\partial \ln \tau}{\partial t_{j}} Z+\left(-\zeta^{j} \frac{d}{d \zeta}\right)
\]

играет важную роль во всей теории.
Итак, я оставляю вам множество открытых вопросов. Я надеюсь, что намеки и предложения этого раздела раздразнят вас, как и меня, и, более того, вы сделаете что-нибудь на эту тему. Желаю удачи ${ }^{1}$ ).
1) Примечание переводчиков. Наверно, как раз, когда писались эти строки, мы (А. О. и Е. Ш.) сделали первую работу $\left[5^{*}, 6^{*}\right]$ из серии работ, посвященных некоммутативным симмегриям интегрируемых систем. Далее в $\left[7^{*}\right]$ для неодномерных $(2+1) D$ уравнений были найдены симметрии, описываемые операторами $\xi^{n}(d / d \zeta)^{m}$ и соответствующие им $L-A$ пары. В [8*], в частности, было анонсировано, как зти симметрии описываются в терминах д-задачи и с помощью вершинного сператора. Подробности, свойства (гамильтоновость, законы сохранения) и изложение с других точек зрения (свободные фермионы, грассманианы и проч.), а также краткое изложение суперслучая см. в [9*]. Все ссылки относятся к списку дополнительной литературы к гл. 3.

Замечание. Я не хочу, чтобы после прочтения разд. 5b у читателя осталось впечатление, будто метод Уолквиста-Эстабрука дает несложный способ находить лаксово представление для интегрируемых систем. Многое зависит от способности установить зависимость $P$ в (5.3) от координат $q, q_{x}, q_{x x}, \ldots$ на фазовом пространстве. В самом деле, я знаю несколько примеров конечномерных интегрируемых систем, для которых известны все интегралы движения, но для которых не найдена лаксова пара. Например, я предлагаю читателю рассмотреть стацнонарное уравнение для потока $t_{5}$ семейства КдФ $q_{x x x x}+5 q_{x}^{2}+$ $+10 q q_{x x}+10 q^{3}=0$, про которое нам известно, что оно гамильтоново с каноническими координатами
\[
p_{1}=q_{x}, \quad q_{1}=\frac{1}{4}\left(q_{x x}+3 q^{2}\right), \quad p_{2}=\frac{1}{2} q_{x x x}+q q_{x}, \quad q_{2}=q,
\]

с гамильтонианом
\[
H=p_{1} p_{2}+\frac{1}{4} p_{1}^{2}-2 q_{1}^{2} q_{2}+\frac{1}{2} q_{1} q_{2}^{4}
\]

и вторым интегралом движения
\[
G=-\frac{1}{2}\left(p_{2}+\frac{1}{2} p_{1} q_{2}\right)^{2}+\frac{1}{4} q_{1} p_{1}^{2}-2 q_{1}^{2} q_{2}+\frac{1}{2} q_{1} q_{2}^{3}
\]

в инволюции. $H$ порождает поток $x, G$ – поток $t_{3}$. Зная уравнение и сообщенную выше информацию, можете ли вы, используя метод Уолквиста – Эстабрука, показать, что уравнение Лакса есть $Q_{x}=\left[Q^{(1)}, Q\right]$, т. е. условие совместности для $y V=Q V$, $V_{x}=Q^{(1)} V$, где
\[
\begin{array}{c}
Q^{(1)}=-i \zeta H+q E-F, \\
Q=\left(i \zeta B-\frac{1}{2} B_{x}\right) H+\left(-\frac{1}{2} B_{x x}+i \zeta B_{x}-q B\right) E+B F, \\
B=-\zeta^{4}+\frac{q}{2} \zeta^{2}-\frac{1}{8}\left(q_{x x}+3 q^{2}\right) ?
\end{array}
\]

Другой пример (в котором я еще не знаю ответа) порождается
\[
H=\frac{1}{2} p_{1}^{2}+\frac{1}{2} p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+2 q_{2}^{3}
\]

со вторым интегралом движения
\[
G=q_{1}^{4}+4 q_{1}^{2} q_{2}^{2}-4 p_{1}^{2} q_{2}+4 p_{1} p_{2} q_{1} .
\]

Трудность в том, что у нас нет хорошего рецепта для вычисления зависимости $Q, Q^{(1)}$ от координат, в которых задана исходная задача.

Однако я не хочу, чтобы мое замечание звучало слишком пессимистично, потому что иногда эта схема действительно работает (особенно если использовать данный метод вместе с информацией, полученной из теста Пенлеве), и тогда она имеет то крупное преимущество, что указывает координаты, в которых интегралы движения разделяются. Например, в первом приведенном выше примере возьмем

и найдем
\[
B=-\left(\zeta^{2}-\mu_{1}\right)\left(\zeta^{2}-\mu_{2}\right)
\]
\[
H=-8 \frac{\mu_{1}^{5}-\mu_{2}^{5}}{\mu_{1}-\mu_{2}}+2\left(\mu_{1 x}^{2}-\mu_{2 x}^{2}\right)\left(\mu_{2}-\mu_{1}\right),
\]

что разделяется следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
-\mu_{1}^{5}-\frac{H}{8} \mu_{1} \frac{1}{4}\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right)^{2} \mu_{1 x}^{2}=: \\
=-\mu_{2}^{5}-\frac{H}{8} \mu_{2}-\frac{1}{4}\left(\mu_{2}-\mu_{1}\right)^{2} \mu_{2 x}^{2}=\frac{G}{8},
\end{array}
\]

а это совпадает с (3.168) и, как мы показали, интегрируется с помощью отображения Абеля.

Поэтому уместно задаться вопросом: имеет ли гамильтонова система, интегрируемая по Лиувиллю ( $N$ интегралов движения в инволюции), эквивалентную формулировку с помощью лаксовой пары, и если имеет, то как ее построить?