По причинам, указанным в гл. 1, кажется естественным связать уравнение Шрёдингера
\[
v_{x x}+\left(\zeta^{2}+q(x, t)\right) v=0
\]
с решениями уравнения КдФ. В разд. Зb мы обнаружили, что если $q(x, t)$ эволюционирует по параметру $t$ согласно уравнению
\[
q_{t}+6 q q_{x}+q_{x x x}=0
\]
то $B=-4 \zeta^{2}+2 q, A=q_{x}+C, C-$ свободная константа и
\[
v_{t}=\left(q_{x}+C\right) v+\left(4 \zeta^{2}-2 q\right) v_{x} .
\]
(См. (3.15) и соответствующее ему $B=B^{(1)}$. Заметьте, что мы положили $t_{3}=4 t$.) «Ну и что?»- можете вы спросить. «Чем это может нам помочь?» Преобразование от $q(x, t)$ к $v(x, t ; \zeta)$ не приводит к какому-то простому, легко решаемому уравнению для $v(x, t ; \zeta)$. Например, оно не линеаризует КдФ, как это происходит для уравнения Бюргерса (см. упражнение 1d). К счастью, группа, сделавшая открытие (Гарднер, Грин, Крускал, Миура), была хорошо знакома с квантовой физикой, и когда возникло уравнение Шрёдингера, им показалось естественным вычислить для него данные рассеяния. Более того, как я уже упоминал в гл. 1, оказалось, что это преобразование от потенциала $q(x, t)$ к данным рассеяния (или их подмножеству) и есть правильное преобразование, позволяющее перевести систему с бесконечным числом связанных степеней свободы (3.52) в разрешимую систему с разделенными степенями свободы.

Основные идеи теории рассеяния. Слово «рассеяние» подразумевает наличие времени, состояния «до» и «после» и наводит на мысль о некотором распространяющемся импульсе или волне,
который частично (в одномерном случае) отражается, а частично проходит сквозь некую неоднородность, представленную потенциалом $q(x, t)$. Первое, что нужно сказать, 一 это что время, на которое указывает понятие «рассеяние», и параметр $t$ (время) в уравнении КдФ не имеют между собой ничего общего. Первое из этих времен мы назовем $\tau$, а второе временно зафиксируем. Рассмотрим, например, модель Скотта, состоящую из непрерывно распределенных маятников, подвешенных на торсионной проволоке, и представим себе, что при $x \rightarrow \pm \infty$ или исчезает сила тяжести, или становится бесконечной длина маятников. Тогда (2.28) можно записать как
\[
u_{\tau \tau}-c^{2} u_{x x}+\omega_{p}^{2} u=0,
\]

где коэффициенты $c^{2}$ и $\omega_{p}^{2}$ — функции $x$, такие что $c^{2} \rightarrow c_{0}^{2}$, $\omega_{p}^{2} \rightarrow 0$ при $x \rightarrow \pm \infty$. Для простоты примем $c^{2}=1$ при всех $x$. Уравнение (3.54) будет описывать распространение волн по струне, погруженной в части своей длины в упругую среду. Во всяком случае, поскольку $\omega_{p}^{2}$ не зависит от $\tau$, можно искать решения уравнения (3.54) в виде $u(x, \tau)=\int_{-\infty}^{\infty} v(x, \zeta) e^{-i \zeta \tau} d \zeta$, где $v(x, \xi)$ удовлетворяет (3.51) с $-\omega_{p}^{2}(x)=q(x, t)$. Вообразим, что $t$ в $q(x, t)$ представляет собой параметр, с помощью которого можно непрерывно изменять $q(x, t)$. Но я опять подчеркиваю, что когда речь идет о теории рассеяния, $t$ считается константой.

Поскольку $q(x)$ обращается в нуль при $x \rightarrow \pm \infty$, асимптотическое поведение $v(x, \zeta)$ задается линейной комбинацией экспонент $e^{ \pm i \zeta x}$ с коэффициентами, эависящими от $\zeta$. Решения $e^{ \pm i \zeta x}$ представляют собой в $u(x, \tau)$ члены, зависящие от $x \pm \tau$ и поэтому двигающиеся влево (вправо). Следовательно, если из $x=+\infty$ по направлению к потенциалу впускается импульс в виде $\delta$-функции Дирака, то часть его отразится от потенциала, и поэтому $v(x, \zeta)$ будет иметь асимптотику на $x \rightarrow+\infty$ вида
\[
v_{\infty}(x, \xi)=e^{-i \xi x}+R(\zeta) e^{i \zeta x}
\]

где $R(\zeta)$ называется коэффициентом отражения. Часть же импульса пройдет, и поэтому асимптотика $v(x, \xi)$ при $x=-\infty$ имеет вид
\[
v_{-\infty}(x, \zeta)=T(\zeta) e^{-i \zeta x}
\]

и $T(\zeta)$ называется коэффициентом прохождения. Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений и из простых интуитивных соображений следует (мы вкратце скажем, почему), что
\[
|R|^{2}+|T|^{2}=1 .
\]

В этом примере (уравнение sin-Гордон) мы выбрали $q(x)=-\omega_{p}^{2}$, т. е. величину, отрицательную всюду. Однако в квантовой физике потенциал $-q(x)$, в котором движется электрон, может местами быть и отрицательным, и у (3.51) возможны решения не волнового типа. Это так называемые связанные состояния, и они возникают при отрицательных значениях энергии $\lambda=E=$ $=\zeta^{2}$ с чисто мнимыми $\zeta$. В отличие от волноподобных решений, осуществимых при всех вещественных $\zeta$ (положительных $E$ ), существует лишь дискретное и конечное число собственных значений $\zeta_{k}\left(=i \eta_{k}\right)$, которым соответствуют интегрируемые в квадрате собственные функции на интервале $(-\infty, \infty)$. В этом можно убедиться таким образом. Представим себе решение, ведущее себя при $x \rightarrow-\infty$ как $v_{-\infty}(x, \zeta)=e^{-i \zeta x}$ и экспоненциально убывающее в этой области при $\xi=i \eta, \eta>0$. В общем случае можно ожидать, что после взаимодействия с потенциалом при $x \rightarrow+\infty$ возникнут компоненты, пропорциональные $e^{-i \xi x}$ и $e^{i \zeta x}$. В то время как вторая компонента ведет себя как $e^{-\eta x}, \eta>0$ и вполне допустима, первая, очевидно, нет, поскольку она нарушает квадратичную интегрируемость. Следовательно, возможны только некие специальные значения $\zeta$, при которых асимптотика $v(x, \xi)$ при $x \rightarrow+\infty$ содержит только член $e^{i \zeta x}$.

Именно по этой причине изучаемые нами решения задачи (3.51) удобно нормировать следующим образом. Для вещественных $\zeta$ определим решения $\varphi(x, \zeta), \psi(x, \zeta)$ так, чтобы они имели асимптотики
\[
\begin{array}{l}
\varphi(x, \zeta) \sim e^{-i \zeta x}, \quad x \rightarrow-\infty, \\
\Psi(x, \zeta) \sim e^{i \zeta x}, \quad x \rightarrow+\infty .
\end{array}
\]

В качестве линейно независимых решений мы будем брать пары $\varphi, \bar{\varphi}$ и $\psi, \bar{\psi}$. Функция $\bar{\varphi}$ асимптотически ведет себя как $e^{i \zeta x}$ при $x \rightarrow-\infty$, а $\bar{\psi} \sim e^{-i \xi x}$ при $x \rightarrow+\infty$. Для вещественных $q(x)$ и $\zeta$ верны соотношения $\bar{\varphi}(x, \xi)=\varphi(x,-\zeta)=\varphi^{*}(x, \xi)$ и $\bar{\psi}(x, \xi)=$ $=\psi(x,-\zeta)=\psi^{*}(x, \zeta)$. Звездочка обозначает комплексное сопряжение. Эти два набора линейно независимых решений связаны:
\[
\varphi(x, \zeta)=a(\zeta) \psi(x,-\zeta)+b(\zeta) \psi(x, \zeta) ;
\]

из вышеприведенных условий симметрии легко увидеть, что $a^{*}(\zeta)=a(-\zeta)$ и $b^{*}(\zeta)=b(-\xi)$. Кроме того, уравнение второго порядка (3.51) не содержит первой производной (в системе (3.2) это выражено нулевым следом матрицы коэффициентов), и поэтому вронскианы функций $(\varphi, \bar{\varphi})$ и ( $\psi, \bar{\psi})$ не зависят от $x$. Поскольку $W(\varphi, \bar{\varphi})=\varphi \bar{\varphi}_{x}-\varphi_{x} \bar{\varphi}=2 i \zeta$ и $W(\bar{\psi}, \psi)=2 i \zeta$, имеем (вы-

полните это вычисление!)
\[
a a^{*}-b b^{*}=1 .
\]

Теперь сравним (3.59) и (3.55), (3.56). Для того чтобы получить единицу перед $e^{-i \zeta x}$ при $x \rightarrow+\infty$, поделим (3.59) на $a(\zeta)$. Теперь очевидно, что
\[
T(\zeta)=\frac{1}{a(\zeta)}, \quad R(\zeta)=\frac{b(\zeta)}{a(\zeta)}
\]

и что (3.60) — это просто (3.57).
Замечание. «Линейный» предел. Сейчас самое время посмотреть, как связан коэффициент отражения $R(\zeta)$ с простым преобразованием Фурье от $q(x)$
\[
\hat{q}(k)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} q(x) e^{-i k x} d x .
\]

Для этого используем формулировку (3.2) и запишем два интегральных уравнения для $\psi_{1}=-\psi_{x}+i \zeta \psi$ и $\psi_{2}=\psi$, где $\psi(x, \xi)-$ решение уравнения (3.1) с асимптотическим поведением (3.58b),
\[
\begin{aligned}
\psi_{1} e^{i \zeta x} & =\int_{-\infty}^{x} q(y) \psi_{2} e^{i \zeta y} d y, \\
\psi_{2} e^{-i \zeta x} & =1-\int_{-\infty}^{x} \psi_{1} e^{-i \zeta y} d y .
\end{aligned}
\]

Теперь будем решать эти уравнения итерациями, находя последовательно члены со все более высокими степенями $q$. По существу именно эти разложения используются для доказательства утверждений (3.64), приведенных ниже. Сейчас, однако, мы будем считать $q$ малым и сохраним только линейные по $q$ члены.
Мы получим, что $\psi_{1} e^{i \zeta x}$ приблизительно равно $\int_{-\infty}^{x} q(y) e^{2 i \zeta y} d y$.
Однако из соотношения, обратного к (3.59),
\[
\psi(x, \zeta)=a(\zeta) \varphi(x,-\zeta)-b(-\zeta) \varphi(x, \zeta),
\]

мы видим, что $\psi_{1} e^{i \zeta_{6} x}=\left(-\psi_{x}+i \zeta \psi\right) e^{i \zeta x}$ стремится $\mathrm{K}-2 i \zeta b(-\zeta)$ при $x \rightarrow-\infty$. Таким образом,
\[
-2 i \zeta b(-\zeta)=\int_{-\infty}^{\infty} q(y) e^{2 t \zeta y} d y
\]

и поэтому
\[
\hat{q}(k)=-\frac{i k}{2 \pi} b\left(\frac{k}{2}\right) .
\]

Кроме того, в этом предельном случае $a \equiv 1$, и поэтому данные рассеяния — это преобразование Фурье.

Я хочу подчеркнуть, что это вычисление — лишь пример, показывающий без излишних сложностей, что обратное преобразование рассеяния является нєлинейным аналогом преобразования Фурье. В действительности то, что понимается под пределом малых $q$, требует большой аккуратности. Есть много потенциалов, которые, будучи малыми при всех $x$, тем не менее имеют связанные состояния. Например, в упражнении $3 \mathrm{~d}(3)$ амплитуда $Q$ может быть сколь угодно мала, и тем не менее всегда есть одно связанное состояние. В этом смысле предел $a \rightarrow 1$ при всех $\zeta, \operatorname{Im} \xi>0$, не является равномерным.

Данные рассеяния и их свойства. До сих пор мы имели дело с решениями при вещественных $\xi$. Оказывается, что если $q(x)$ удовлетворяет условию
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\left(1+x^{2}\right)|q(x)| d x<\infty,
\]

то справедливы следующие результаты.
(i) $\varphi(x, \zeta) e^{i \xi x}, \psi(x, \xi) e^{-i \xi x}$ и $a(\zeta)$ (определенное как $(1 / 2) i \zeta W(\varphi, \psi))$ аналитичны по $\zeta$ при $\operatorname{Im} \zeta>0$. (3.64a)
(ii) $\varphi(x, \zeta) e^{i \xi x}, \psi(x, \zeta) e^{-i \xi x}$ и их производные по $\zeta$ существуют и непрерывны в области $\operatorname{Im} \xi \geqslant 0$ везде, включая $\zeta=0$.
За деталями читатель может обратиться к работе Дейфта и Трубовица [80]. Математические проблемы, возникающие в обратной задаче рассеяния, сводятся к тому, чтобы охарактеризовать данные рассеяния, возникающие из потенциалов заданного класса. Первоначально Фаддеев исследовал класс $q(x)$, для которых $\int_{-\infty}^{\infty}(1+|x|) q(x) d x<\infty$, но Дейфт и Трубовиц указали, что для контроля над прсизводной по $\zeta$ от $\psi(x, \xi) e^{-i \zeta x}$ при $\zeta=0$ необходимо несколько более сильное условие (3.63).

Далее, рассмотрим (3.29) с $v=\psi$. Вспоминая, что $\psi_{1}=$ $=-\psi_{x}+i \zeta \psi$, и пользуясь (3.62), получаем, что величина

$\left(\psi+(1 / 2 i \zeta)\left(\psi_{x}-i \zeta \psi\right)\right) e^{-i \zeta x}$ стремится к $a(\zeta)$ при $x \rightarrow-\infty$. Поэтому (3.29) дает
\[
\ln a(\zeta) \sim-\sum_{1} \frac{1}{(2 i \zeta)^{n}} \int_{-\infty}^{\infty} R_{n} d x .
\]

Записывая (3.65), мы, естественно, предполагаем, что все интегралы в правой части существуют, а это гораздо более сильное условие, чем (3.63). Если бы мы располагали только (3.63), то мы могли бы только утверждать, что $a(\zeta) \rightarrow 1$ при $\zeta \rightarrow \infty, \operatorname{Im} \zeta \geqslant$ $\geqslant 0$. Пока, однако, это все, что нам нужно. Мы знаем, что а (६) аналитична при $\operatorname{Im} \zeta>0$, существует при $\operatorname{Im} \zeta=0$ и стремится к единице при $\xi \rightarrow \infty, \operatorname{Im} \zeta \geqslant 0$. Поэтому $a(\xi)$ может иметь лишь конечное число нулей, $N$, в области $\operatorname{Im} \xi>0$, поскольку в противоположном случае она имела бы точку сгущения нулей и из соображений аналитичности должна была бы быть тождественным нулем. (Если точкой сгущєния служит $\zeta=0$, то требуются более тонкие аргументы.) Из (3.59) мы видим, что $a(\zeta)$ пропорционально вронскиану решений $\varphi(x, \zeta), \psi(x, \zeta)$
\[
a(\zeta)=\frac{W(\varphi, \psi)}{2 i \zeta}=\frac{1}{2 i \zeta}\left(\varphi \psi_{x}-\varphi_{x} \psi\right),
\]

а поэтому в каждом нуле $\zeta_{k}, \dot{k}=1, \ldots, N$ функции $a\left(\zeta_{k}\right)=0$
\[
\varphi\left(x, \zeta_{k}\right)=b_{k} \psi\left(x, \zeta_{k}\right), \quad k=1, \ldots, N .
\]

Заметьте, что $a(\zeta)$ может иметь полюс при $\zeta=0$. И это действительно, как правило, осуществляется. Исключения бывают при $|R(0)|<1$. Читатель может подумать на эту тему после того, как сделает упражнения (ii), (iii), (iv) и (v) в конце этого раздела.
Набор величин
\[
S=\left\{R(\zeta)=\frac{b(\zeta)}{a(\zeta)},\left(\zeta_{k}, b_{k} / a_{k}^{\prime}\right)_{k=1}^{N}\right\}
\]

называется данными рассеяния ( $\left.a_{k}^{\prime}=\partial a /\left.\partial \zeta\right|_{\zeta_{k}}\right)$. По нему можно восстановить $a(\xi)$ следующим образом. Функция
\[
f(\zeta)=\prod_{1}^{N} \frac{\zeta+i \eta_{k}}{\zeta-i \eta_{k}} a(\zeta)
\]

аналитична при $\operatorname{Im} \zeta>0$, стремится к 1 при $\zeta=\infty, \operatorname{Im} \zeta \geqslant 0$, и поэтому по теореме Коши
\[
\begin{array}{c}
\ln f(\zeta)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\ln f(\zeta)}{\xi-\zeta} d \xi, \\
0=\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\ln f(\xi)}{\xi+\zeta} d \xi, \quad \operatorname{Im} \zeta>0 .
\end{array}
\]

Заменяя $\xi \rightarrow-\xi$ в последнем уравнении, замечая, что при вещественных $\xi f(\xi) f(-\xi)=a(\xi) a(-\xi)=|a(\xi)|^{2}$, и складывая оба уравнения, получаем
\[
\ln a(\zeta)=\sum_{k=1}^{N} \ln \frac{\zeta-i \eta_{k}}{\zeta+i \eta_{k}}-\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\ln \left(1-|R|^{2}\right)}{\xi-\zeta} d \xi,
\]

откуда уже тривиально следует, что
\[
\ln a(\zeta)=\sum_{k=1}^{N} \ln \frac{\zeta-i \eta_{k}}{\zeta+i \eta_{k}}-\frac{\zeta}{\pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\ln \left(1-|R|^{2}\right)}{\xi^{2}-\zeta^{2}} d \xi .
\]
(Легко видеть, что возможный простой полюс $a(\zeta)$ при $\zeta=0$ не влияет на результат.) Асимптотнческое разложение обеих частей (3.68) при $\zeta \rightarrow \infty$ дает
\[
\begin{array}{c}
H_{2 n-1}=\frac{4 i}{(2 i)^{2 n+1}} \int_{-\infty}^{\infty} R_{2 n+1} d x=\frac{8 i^{2 n+2}}{2 n+1} \sum_{k=1}^{N} \eta_{k}^{2 n+1}- \\
-\frac{4}{\pi} \int_{0}^{\infty} \xi^{2 n} \ln \left(1-|R|^{2}\right) d \xi .
\end{array}
\]

Уравнения (3.69) — это формулы следов, определяющие функционалы Гамильтона $H_{2 n-1}, n=1,2, \ldots$ (формула справедлива и при $n=0$, однако $H_{-1}$ не является разумным гамильтонианом $)^{1}$ ) как функции от собственных значений $\left\{\eta_{k}\right\}_{k=1}^{N}$ и модуля коэффициента отражения $|R(\zeta)|$, § вещественно и положительно. Они поэтому выражают константы движения в старых переменных $\left(q, q_{x}, q_{x x}, \ldots\right)$ как функции констант движения в новых переменных (данных рассеяния) и, в частности, показывают, как отображаются гамильтонианы при переходе от $q(x, t)$ к $S(t)$.
1) $H_{-1}$ приводит к потоку $q_{t}=0$.

Имеет смысл выписать в явном виде несколько первых равенств:
\[
\begin{array}{c}
\int_{-\infty}^{\infty} q d x=4 \sum_{1}^{N} \eta_{k}+\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty} \ln \left(1-|R|^{2}\right) d \xi, \\
\int_{-\infty}^{\infty} q^{2} d x=\frac{16}{3} \sum_{1}^{N} \eta_{k}^{3}-\frac{8}{\pi} \int_{0}^{\infty} \xi^{2} \ln \left(1-|R|^{2}\right) d \xi, \\
\int_{-\infty}^{\infty}\left(q_{x}^{2}-2 q^{3}\right) d x=\frac{64}{5} \sum_{1}^{N} \eta_{k}^{5}-\frac{32}{\pi} \int_{0}^{\infty} \xi^{4} \ln \left(1-|R|^{2}\right) d \xi .
\end{array}
\]

Стоит проверить эти формулы в случае, когда $q(x)$ — односолитонный безотражательный потенциал. Под безотражательностью мы понимаем тождественное равенство $R(\zeta)$ нулю. При этом нетривиальные данные рассеяния — это просто связанные состояния $\left\{\zeta_{k}=i \eta_{k}, b_{k}\right\}_{1}^{N}$. В частности, при $N=1 \quad q(x)=$ $=2 \eta \operatorname{sech}^{2} \eta(x-\bar{x})$, где $\eta_{1}=\eta, \quad b_{1}=e^{2 \eta \bar{x}}$. Отметим, что при $N>1$ энергия $N$-солитонного состояния просто равна сумме энергий входящих в решение солитонных компонент. Это неудивительно, поскольку энергия сохраняется, и в пределе больших времен $N$-солитонное состояние представляет собой линейную сумму $N$ отдельных солитонов (см. (3.108)). Полезно отметить также, что из (3.70a) следует, что масса, содержащаяся в солитонах, $\sum_{1}^{N} 4 \eta_{k}$, всегда больше действительно содержащейся в решении $q(x)$ массы $\int_{-\infty}^{\infty} q d x$, поскольку $0<|R|^{2}<1$. Поэтому вклад непрерывного спектра в массу всегда отрицателен. Этот результат имеет важные ответвления при рассмотрении возмущений уравнения КдФ. Сейчас же самое время детально разобрать несколько примеров.