1. Покажите, что последовательное применение «одевания» Захарова — Шабата является групповой процедурой.
Ответ. Пусть $V_{1}=\left\{\left(V_{0} g V_{0}^{-1}\right)_{-}\right\}^{-1} V_{0} ;$ рассмотрите
\[
\begin{aligned}
V_{2} & =\left\{\left(V_{1} h V_{1}^{-1}\right)_{-}\right\} V_{1}= \\
& =\left\{\left(V_{0} g V_{0}^{-1}\right)_{-}^{-1} V_{0} h V_{0}^{-1}\left(V_{0} g V_{0}^{-1}\right)_{-}\right\}_{-}^{-1}\left(V_{0} g V_{0}^{-1}\right)_{-}^{-1} V_{0} .
\end{aligned}
\]

Первый множитель слева в фигурной скобке уже принадлежит $\vec{R}$ и поэтому может быть слева отброшен; после взятия обратной степени он оказывается справа и сокращается с $\left(V_{0} g V_{0}^{-1}\right)_{-}^{-1}$. Тогда мы имеем
\[
V_{2}=\left\{V_{0} h V_{0}^{-1}\left(V_{0} g V_{0}^{-1}\right)_{-}\right\}_{-}^{-1} V_{0} .
\]

Но из-за $\left(k^{-1} n\right)_{-}=\left(k^{-1} n n^{\prime}\right)_{-}$мы можем умножить под вторым индексом минус на $\left(V_{0} g V_{0}^{-1}\right)_{+}$. Поэтому
\[
\left\{V_{0} h V_{0}^{-1}\left(V_{0} g V_{0}^{-1}\right)_{-}\right\}_{-}^{-1}=\left(V_{0} h g V_{0}^{-1}\right)_{-}^{-1} .
\]
2. Вспомним, что в (5.90) мы выражали элемент фазового пространства $Q=\lim _{k \rightarrow \infty} Q^{(k)} / \lambda^{k}$ с матрицей $Q^{(k)}$, заданной в (5.57) в упражнении $5 \mathrm{c}(3)$, как
\[
\lambda Q=\hat{V}(-i H \varrho) \hat{V}^{-1}=\hat{U} X \lambda \widehat{U}^{-1} .
\]

В частности, заметим, что в главной градуировке разд. 5h, которая порождает разложение, использованное в упражнении $5 с(3)$, матрица $X \lambda$ принадлежит $K^{*}$, а $\hat{O}$, которая имеет асимптотическое разложение $I+$ члены веса ( -1 ) или меньше, является экспонентой от элемента $K$. Матрица $O$ может быть выражена в терминах $\tau$-функции КдФ:
\[
\hat{U}=\frac{1}{2 \tau}\left(\begin{array}{cc}
\tau_{+}+\tau_{-} & \frac{i}{\zeta}\left(\tau_{-}-\tau_{+}\right) \\
-i \zeta\left(\tau_{-}-\tau_{+}\right)+\frac{\partial}{\partial x}\left(\tau_{+}+\tau_{-}\right) & \tau_{+}+\tau_{-}+\frac{i}{\zeta} \frac{\partial}{\partial x}\left(\tau_{-}-\tau_{+}\right)
\end{array}\right),
\]

где $\tau_{ \pm}=\tau\left(t_{k} \pm i /(2 k-1) \zeta^{2 k-1}\right), k=1,2 \ldots$. Теперь интерпретируем уравнение (5.233) (которое естественно возникает, когда мы рассматриваем алгебру как фазовое пространство, а потоки как кривые в этом пространстве) в качестве уравнения, из которого мы узнаем, что происходит с $\tau$-функцией. Во-первых, по аналогии с последним подразделом разд. 5е покажите, что (5.233) содержит уравнения Хироты для семейства КдФ. Во-вторых, используя (5.233) и объясненную ранее схему одевания Захарова — Шабата, покажите, что формула добавления одного солитона к вакуумному состоянию может быть записана как $\tau \rightarrow \exp \beta Y(\zeta) \cdot \tau$, где $\beta=\exp \left(-2 \eta x_{0}\right), \zeta=$ і и $Y(\zeta)$ это вершинный оператор (4.124).