Сейчас мы начнем с другой задачи на собственные значения, обобщающей задачу, введенную Захаровым и Шабатом [21] при изучении НУШ:
\[
V_{x}=P V=\left(\begin{array}{cc}
-i \zeta & q(x, t) \\
r(x, t) & i \zeta
\end{array}\right) V, \quad V=\left(\begin{array}{l}
v_{1} \\
v_{2}
\end{array}\right) .
\]

Какие эволюционные системы уравнений могут быть решены с использованием (3.31)? Если $q$ и $r$ зависят от $t$, то пусть
\[
V_{t}=Q V, \quad Q=\left(\begin{array}{cc}
h & e \\
f & -h
\end{array}\right) .
\]

Условие разрешимости (3.31) и (3.32) имеет вид
\[
P_{t}-Q_{x}+[P, Q]=0,
\]
где $[P, Q]$ – это матричный коммутатор $P Q-Q P$. Записывая (3.33) поэлементно, получаем
\[
\begin{array}{c}
h_{x}=q f-r e, \quad e_{x}+2 i \zeta e=q_{t}-2 h q, \\
f_{x}-2 i \zeta f=r_{t}+2 h r .
\end{array}
\]

Мы будем искать $Q$ в виде полинома степени $n$ (и обозначать такое $Q$ как $Q^{(n)}$, а соответствующее время – как $t_{n}$ ). Для удобства вычислений введем матрицы
\[
H=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right), \quad E=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right), \quad F=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right),
\]
удовлетворяющие коммутационным соотношениям алгебры $\left.\mathrm{sl}(2)^{1}\right)$
\[
[H, E]=2 E, \quad[H, F]=-2 F, \quad[E, F]=H .
\]

Здесь эта алгебра просто удобна нам для вычислений, но в гл. 5 мы увидим, что она играет центральную роль во всей теории. Мы ищем решения (3.33) в виде
\[
Q^{(n)}=-i H \zeta^{n}+Q_{1} \zeta^{n-1}+\ldots+Q_{n},
\]

где $P=Q^{(1)}=-i H \zeta+q E+r F, Q_{k}=h_{k} H+e_{k} E+f_{k} F$. Компоненты $e_{k}$ и $f_{k}$ перед $E$ и $F$ в $Q_{k}$ определяются из членов при $\zeta^{n-k+1}$, а диагональная компонента $h_{k}$ находится из членов при $\xi^{n-k}$. Приведем несколько первичных матриц. Имеем
\[
\begin{aligned}
Q_{0} & =-i H, \\
Q_{1} & =\left(\begin{array}{cc}
0 & q \\
r & 0
\end{array}\right), \\
Q_{2} & =\left(\begin{array}{cc}
-\frac{i}{2} q r & \frac{i}{2} q_{x} \\
-\frac{i}{2} r_{x} & \frac{i}{2} q r
\end{array}\right), \\
Q_{3} & =\left(\begin{array}{cc}
-\frac{1}{4}\left(q r_{x}-q_{x} r\right) & -\frac{1}{4}\left(q_{x x}-2 q^{2} r\right) \\
-\frac{1}{4}\left(r_{x x}-2 q r^{2}\right) & \frac{1}{4}\left(q r_{x}-q_{x} r\right)
\end{array}\right) .
\end{aligned}
\]

Уравнение
\[
P_{t_{n}}-Q_{n x}+\left[\left(\begin{array}{ll}
0 & q \\
r & 0
\end{array}\right), Q_{n}\right]=0
\]
1) Эти матрицы называются базисом Вейля алгебры sl(2). – Прим. перев.

является эволюционным относительно $q$ и $r$. Потоки, соответствующие $n=0,1,2,3$, имеют вид
\[
q_{t_{0}}=-2 i q, \quad r_{t_{0}}=2 i r
\]
c
\[
\begin{array}{c}
Q^{(0)}=-i H ; \\
q_{t_{1}}=q_{x}, \quad r_{t_{1}}=r_{x}
\end{array}
\]
c
\[
\begin{array}{c}
Q^{(1)}=-i H \zeta+q E+r F \\
q_{t_{2}}=\frac{i}{2}\left(q_{x x}-2 q^{2} r\right), \quad r_{t_{2}}=-\frac{i}{2}\left(r_{x x}-2 q r^{2}\right)
\end{array}
\]
c
\[
\begin{aligned}
Q^{(2)} & =-i H \zeta^{2}+\zeta(q E+r F)-\frac{i q r}{2} H+\frac{i}{2} q_{x} E-\frac{i}{2} r_{x} F \\
q_{t_{3}} & =-\frac{1}{4}\left(q_{x x x}-6 q r q_{x}\right), \quad r_{t_{3}}=-\frac{1}{4}\left(r_{x x x}-6 q r r_{x}\right)
\end{aligned}
\]
c
\[
\begin{array}{c}
Q^{(3)}=-i H \zeta^{3}+\zeta^{2}(q E+r F)+\zeta\left(-\frac{i q r}{2} H+\frac{i}{2} q_{x} E-\frac{i}{2} r_{x} F\right)- \\
-\frac{1}{4}\left(q r_{x}-q_{x} r\right) H-\frac{1}{4}\left(q_{x x}-2 q^{2} r\right) E-\frac{1}{4}\left(r_{x x}-2 q r^{2}\right) F .
\end{array}
\]

Нулевой поток ( $t_{0}$ ) соответствует такому преобразованию координат, при котором остается неизменным $q r$; следующий $\left(t_{1}\right.$ ) поток – это перенос; второй $\left(t_{2}\right)$, с самосогласованной редукцией $r= \pm q^{*}$, 一 это НУШ, третий $\left(t_{3}\right)$, с самосогласованной редукцией $r= \pm q$, 一 это мКдФ. Отметим, что $Q^{(k)}$ для всех потоков $t_{k}$ с $k \leqslant n$ конгруэнтны в том смысле, что $Q^{(k+1)}=\zeta Q^{(k)}+Q_{k+1}$, $k=0,1, \ldots,(n-1)$.

Справедливы следующие результаты, которые, однако, в таком формализме доказать непросто.
(i) Bce уравнения $P_{t_{n}}=Q_{x}^{(n)}+\left[Q^{(n)}, P\right]$ коммутируют, т. е. $P_{t_{n} t_{m}}=P_{t_{m} t_{n}}$.
(ii) Все эти уравнения гамильтоновы. Существуют некие функционалы $\left\{F_{n}\right\}_{0}^{\infty}$, такие что
\[
q_{t_{n}}=\frac{\delta F_{n}}{\delta r}, \quad r_{t_{n}}=-\frac{\delta F_{n}}{\delta q}
\]

например, для $n=2, F_{2}=-(i / 2) \int_{-\infty}^{\infty}\left(q_{x} r_{x}+q^{2} r^{2}\right) d x$.

(iii) Bсе $F_{n}$ являются интегралами от неких полиномов $\mathscr{F}_{n}$ от $q, r$ и их производных по $x ; \tilde{F}_{n}$ удовлетворяют соотношениям вида
\[
\frac{\partial \tilde{F}_{n}}{\partial t_{j}}=\frac{\partial G_{n j}}{\partial x}, \quad n=0,1,2, \ldots
\]

которые называются законами сохранения. $\mathscr{F}_{n}$ называется сохраняющейся плотностью, а $G_{n j}$ – потоком. Все $F_{n}$, как и для иерархии КдФ, обычно находятся асимптотическим по $\zeta$ разложением нескольких функционалов. В гл. 5 я получу для $\overparen{G}_{n j}$ выражения, локальные по $q, r$ и их производным.

Сейчас я хочу сделать несколько замечаний. Во-первых, все эти результаты мы получим с единой точки зрения в гл. 5. Вовторых, для уравнений Гамильтона более общепринятой является запись $\dot{Z}=J
abla H$, где $Z=\left(\begin{array}{l}q \\ r\end{array}\right)$ и $J=\left(\begin{array}{rr}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right)$. В таких системах $q$ и $r$ являются сопряженными переменными, а сохраняющаяся два-форма имеет вид $\int_{-\infty}^{\infty} \delta r \wedge \delta q d x$, где использовано обозначение $\delta r \wedge \delta q$ для $\delta_{1} r \delta_{2} q-\delta_{2} r \delta_{1} q$, и $\delta_{1}$ и $\delta_{2}$ обозначают независимые вариации. В-третьих, это особая роль переменной $x$ в вышеприведенных формулах: например, все коэффициенты в $Q_{r}$ являются производными по $x$. Заметьте, однако, что в $Q_{3}$ коэффициент перед $E$ может быть записан как производная по $t_{2}$ вида $(i / 2) q_{t_{2}}$. Кроме того, все законы сохранения имеют вид
\[
\frac{\partial}{\partial t_{j}} \text { (сохраняющая плотность) }=\frac{\partial}{\partial x} \text { (поток). }
\]

В действительности, есть много других соотношений вида
\[
\frac{\partial}{\partial t_{j}} F_{k l}=\frac{\partial}{\partial t_{k}} F_{t_{j}} .
\]

Читатель может возразить, что особая роль $x$ связана с тем, что область интегрирования, входящая в определение $F_{n}$, расположена на оси $x$, в то время как эволюция по всем временам локальна. Все это верно, однако вспомните, что $\delta F_{n} / \delta q$ – это всего лишь символ, обозначающий $\sum_{0}^{\infty}(-d / d x)^{r}\left(\partial F / \partial q^{(r)}\right)$, где $q^{(r)}=d^{r} q / d x^{r}$, и все возникающие при этом члены чисто локальны.

В-четвертых (и это замечание позволит нам по-новому взглянуть на вещи), должны выполняться равенства
\[
Q_{t_{j}}^{(k)}-Q_{t_{k}}^{(j)}+\left[Q^{(k)}, Q^{(i)}\right]=0,
\]

являющиеся условиями совместности всех уравнений
\[
V_{t_{k}}=Q^{(k)} V .
\]

Теперь вспомним, что $Q^{(j)}$ – это полином по $\zeta$ степени $j$. Разделим (3.46) на $\zeta^{\prime}$ и в получившемся уравнении сделаем предельный переход $j \rightarrow \infty$. Если мы обозначим
\[
Q=\lim _{j \rightarrow \infty} \frac{Q^{(1)}}{\zeta^{j}}=\sum_{0}^{\infty} \frac{Q_{r}}{\zeta^{r}},
\]

то из (3.46) получим $\left(\lim _{j \rightarrow \infty}\left(Q_{t_{j}}^{(k)} / \zeta^{j}\right)=0\right.$, поскольку $\zeta$ предполагается большим)
\[
Q_{t_{k}}=\left[Q^{(k)}, Q\right] \text {. }
\]

Теперь уравнения для всех потоков приобрели гораздо более алгебраическую структуру и одновременно форму Лакса (хотя здесь $Q$ представляет собой ряд Лорана по Ђ, а не дифференциальный по $x$ оператор). Уравнение (3.49) допускает решение
\[
Q=V \tilde{Q}_{0} V^{-1},
\]

где $V$ удовлетворяет (3.47), а $Q_{0}$ – произвольная постоянная матрица, не зависящая от $t_{k}$. Часто принимают такую нормировку $V$, в которой $\tilde{Q}_{0}=-i H$. В других случаях $\tilde{Q}_{0}$ записывают как $Q(0)$ – значение $Q$ при каких-то значениях $x$ и $t_{k}$ (напомним, что $x$ и $t_{1}$ можно поменять ролями).