Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
При всем том объеме знаний, который был накоплен к 1967 г., кажется довольно удивительным, что потребовалось пять лет, чтобы добавить к КДФ новое интегрируемое уравнение. Многие воспринимали результаты по интегрируемости КдФ как трюк, изощренное преобразование типа преобразования Хопфа — Коула (см. также Форсайт, т. 6 , с. 100 , где линеаризация уравнения Бюргерса дана в качестве упражнения). Однако в 1971 г. Захаров и Шабат [21] нашли пару Лакса для нелинейного уравнения Шрёдингера, еще одного универсального уравнения, о котором говорится в основном в гл. 2. Результат Захарова — Шабата, Потсдамская конференция 1972 г. и лекции Крускала о уравнении $\sin -Г$ ордон вызвали мощную волну интереса к этим проблемам. Вадати [22] нашел постановку, в рамках которой можно проинтегрировать модифицированное уравнение Кортевега де Фриза (мКдФ). Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сегур (АКНС) [23], руководствуясь несколькими ключевыми наблюдениями Крускала, решили уравнение $\sin -$ Гордон (независимо решенное Лэмом и, несколько позднее, Фаддеевым и Тахтаджяном) и вслед за этим показали, как выписывать полный набор уравнений (АКНС-иерархия), решаемых с помощью задачи Захарова — Шабата на собственные значения K этому времени стало ясным, как обращаться с любой задачей на собственные значения и выписывать эволюционные уравнения, оставляющие неизменным ее спектр. По всему миру начался солитонный бум. Появились результаты по более трудным задачам. Было показано (Флашка, Хенон), что цепочка Тоды (см. [24]) является интегрируемой моделью. Она оказала такое же плодотворное воздействие в области нелинейных дифференциальноразностных уравнений, как и КдФ в области уравнений с частными производными. Периодическая задача для КдФ была решена в несколько этапов несколькими авторами в течение и после 1976 г. Первым открытием было так называемое конечнозонное решение, для которого спектр периодической и антипериодической задач для оператора (1.29) с периодическим потенциалом $q(x)$ (уравнение Хилла) состоит из $(2 n+1)$ простых собственных значений $\lambda_{0}, \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{2 n}$, а все остальные сдвоены (Макин и Ван Мёрбеке [25], Новиков [26], Итс и Матвеев [27], Кричевер [28]). Бесконечнозонный предел был рассмотрен Макином и Трубовицем [29]. Многие результаты оказались переоткрытием более ранних работ Бейкера, Драха, Бёрчнелла и Чонди [30]. Пары Лакса были также найдены для неодномерных уравнений. В частности, мы будем обсуждать некоторые результаты, касающиеся уравнения Кадомцева — Петвиашвили (ҚП) фельд, Манин [33]). Была также показана интегрируемость нескольких других полевых уравнений, важных в нелинейной физике. Перед тем как завершить этот раздел, я хочу рассказать об одном колоссе, В. Е. Захарове. В скольких областях внес он свой вклад — уравнение Захарова в физике плазмы, его статьи с А. Б. Шабатом, в которых впервые был дан общий метод построения пар Лакса для уравнений с более чем одним пространственным измерением, его работа по самофокусировке и его статья в сборнике, изданном Буллафом и Кодри [113] (см. ссылки на «метод одевания»-построения иерархий решений). Вы будете здесь часто встречать его имя.
|
1 |
Оглавление
|