При всем том объеме знаний, который был накоплен к 1967 г., кажется довольно удивительным, что потребовалось пять лет, чтобы добавить к КДФ новое интегрируемое уравнение. Многие воспринимали результаты по интегрируемости КдФ как трюк, изощренное преобразование типа преобразования Хопфа – Коула (см. также Форсайт, т. 6 , с. 100 , где линеаризация уравнения Бюргерса дана в качестве упражнения). Однако в 1971 г. Захаров и Шабат [21] нашли пару Лакса для нелинейного уравнения Шрёдингера, еще одного универсального уравнения, о котором говорится в основном в гл. 2. Результат Захарова – Шабата, Потсдамская конференция 1972 г. и лекции Крускала о уравнении $\sin -Г$ ордон вызвали мощную волну интереса к этим проблемам. Вадати [22] нашел постановку, в рамках которой можно проинтегрировать модифицированное уравнение Кортевега де Фриза (мКдФ). Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сегур (АКНС)

[23], руководствуясь несколькими ключевыми наблюдениями Крускала, решили уравнение $\sin -$ Гордон (независимо решенное Лэмом и, несколько позднее, Фаддеевым и Тахтаджяном) и вслед за этим показали, как выписывать полный набор уравнений (АКНС-иерархия), решаемых с помощью задачи Захарова — Шабата на собственные значения
\[
\begin{array}{l}
v_{1 x}+i \zeta v_{1}=q(x, t) v_{2}, \\
v_{2 x}-i \zeta v_{2}=r(x, t) v_{1} .
\end{array}
\]

K этому времени стало ясным, как обращаться с любой задачей на собственные значения и выписывать эволюционные уравнения, оставляющие неизменным ее спектр. По всему миру начался солитонный бум.

Появились результаты по более трудным задачам. Было показано (Флашка, Хенон), что цепочка Тоды (см. [24])
\[
u_{n t}=e^{u_{n+1}-u_{n}}-e^{u_{n}-u_{n-1}}
\]

является интегрируемой моделью. Она оказала такое же плодотворное воздействие в области нелинейных дифференциальноразностных уравнений, как и КдФ в области уравнений с частными производными.

Периодическая задача для КдФ была решена в несколько этапов несколькими авторами в течение и после 1976 г. Первым открытием было так называемое конечнозонное решение, для которого спектр периодической и антипериодической задач для оператора (1.29) с периодическим потенциалом $q(x)$ (уравнение Хилла) состоит из $(2 n+1)$ простых собственных значений $\lambda_{0}, \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{2 n}$, а все остальные сдвоены (Макин и Ван Мёрбеке [25], Новиков [26], Итс и Матвеев [27], Кричевер [28]). Бесконечнозонный предел был рассмотрен Макином и Трубовицем [29]. Многие результаты оказались переоткрытием более ранних работ Бейкера, Драха, Бёрчнелла и Чонди [30]. Пары Лакса были также найдены для неодномерных уравнений. В частности, мы будем обсуждать некоторые результаты, касающиеся уравнения Кадомцева – Петвиашвили (ҚП)
\[
\pm q_{y y}+\left(q_{t}+6 q q_{x}+q_{x x x}\right)_{x}=0
\]
(слабодвумерное уравнение Кортевега-де Фриза). Задача с начальными данными для этого уравнения очень сложна и была решена лишь недавно (Манаков [31], Абловиц, Фокаш и Сегур [32]). Был также найден инстантон – солитон автодуальных уравнений Рига – Миллса, а также конструкция $k$-параметрического инстантонного решения (Атья, Хитчин, Дрин-

фельд, Манин [33]). Была также показана интегрируемость нескольких других полевых уравнений, важных в нелинейной физике.

Перед тем как завершить этот раздел, я хочу рассказать об одном колоссе, В. Е. Захарове. В скольких областях внес он свой вклад – уравнение Захарова в физике плазмы, его статьи с А. Б. Шабатом, в которых впервые был дан общий метод построения пар Лакса для уравнений с более чем одним пространственным измерением, его работа по самофокусировке и его статья в сборнике, изданном Буллафом и Кодри [113] (см. ссылки на «метод одевания»-построения иерархий решений). Вы будете здесь часто встречать его имя.