1. Показать, что период колебаний маятника с максимальной амплитудой $A$ есть
\[
T=\frac{4}{\omega_{p}} \int_{0}^{\pi / 2} \frac{d \varphi}{\sqrt{1-m^{2} \sin ^{2} \varphi}}, \quad m^{2}=\sin ^{2} \frac{A}{2} .
\]

Показать, что для малых $A$ эта формула согласуется с (2.34).

2. Вывести НУШ для следующих примеров:
(i) $u_{t t}-u_{x x}+\omega_{p}^{2} u\left(1-u u^{*}\right)=0, u-$ комплексное скалярное поле.
(ii) $u_{t}+u_{x x x}=-6 \alpha \varepsilon u u_{x}$. Заметьте, что в этом примере $u=$ const удовлетворяет линейному уравнению, и $u_{0}=a e^{i \theta}+\left(^{*}\right)$, $\theta=k x-\omega t, \omega=-k^{3}$. В порядке $\varepsilon$ получите $a_{r_{1}}-3 k^{2} a_{X}=0$ и $u_{1}=b\left(X, T_{1}, T_{2}\right)+\left(\alpha / k^{2}\right) a^{2} e^{2 i \theta}+\left(\alpha / k^{2}\right) a^{* 2} e^{-2 i \theta}$. В порядке $\varepsilon^{2}$
\[
\begin{aligned}
u_{2 t}+u_{2 x x x}=-\frac{\partial u_{0}}{\partial T_{2}}-3 \frac{\partial^{3} u_{0}}{\partial x \partial X^{2}}-\frac{\partial u_{1}}{\partial T_{1}} & -3 \frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial x \partial X}- \\
& -6 \alpha \frac{\partial}{\partial x}\left(u_{0} u_{1}\right)-6 \alpha \frac{\partial}{\partial X} a a^{*} .
\end{aligned}
\]

Исключите в правой части члены, пропорциональные $e^{ \pm t \theta}$ и $e^{0}$, с помощью надлежащего выбора $a_{T_{2}}$ и $b_{T_{1}}$. Вы получите, что $b_{T_{1}}=-6 a\left(a a^{*}\right)_{X}=\left(-2 \alpha / k^{2}\right)\left(a a^{*}\right)_{T_{1}}$ и поэтому $b=\left(-2 \alpha / k^{2}\right) a a^{*}$. Получите также условие $a_{T_{2}}+3 i k a_{X X}-\left(6 \alpha^{2} / k\right) \cdot i a^{2} a^{*}=0$. Обратите внимание на члены вида $a^{2} e^{2 i \theta} a^{*} e^{-i \theta}$ и $a e^{i \theta} b$, из которых возникает нелинейность в уравнении. Убеднтесь в том, что, если вы не учтете вклад $b$, знак нелинейного члена будет противоположным, что приведет к полностью ошибочным выводам.
(iii)
\[
\begin{array}{l}
u_{t t}-c^{2} u_{x x}+\gamma u_{x x x x}=\varepsilon \beta u_{x} u_{x x}, \\
u_{0}=a e^{i \theta}+a^{*} e^{-i \theta}+b ; \quad \theta=k x-\omega t ; \quad \omega^{2}=c^{2} k^{2}+\gamma k^{4}, \\
u_{1}=\frac{-i \beta}{12 \gamma k} a^{2} e^{2 i \theta}+\frac{i \beta}{12 \gamma k} a^{* 2} e^{-2 i \theta}, a_{T_{1}}+\omega^{\prime} a_{X}=0 .
\end{array}
\]

В порядке $O\left(\varepsilon^{2}\right)$ устраните секулярные члены и получите, что
\[
\begin{array}{l}
a_{T}+\omega^{\prime} a_{X}-\varepsilon\left(\frac{i \omega^{\prime \prime}}{2} a_{X X}-\frac{i \beta k^{2}}{2 \omega} a b_{X}+\frac{i \beta^{2} k^{2}}{12 \gamma \omega} \cdot a^{2} a^{*}\right)=0, \\
b_{T T}-c^{2} b_{X X}-\beta k^{2}\left(a a^{*}\right)_{X}, \quad T=\varepsilon t, \quad X=\varepsilon X .
\end{array}
\]

Положите $b_{x}=\rho$ и перепишите систему в виде
\[
\begin{array}{c}
a_{T}+\omega^{\prime} a_{X}-\varepsilon\left(\frac{i \omega^{\prime \prime}}{2} a_{X X}-\frac{i \beta k^{2}}{2 \omega} a \rho+\frac{i \beta^{2} k^{2}}{12 \gamma \omega} a^{2} a^{*}\right)=0, \\
\rho_{T T}-c^{2} \rho_{X X}=\beta k^{2}\left(a a^{*}\right)_{X X} .
\end{array}
\]

Сравните эти уравнения с взаимодействием ленгмюровских и ионно-акустических волн в плазме, применительно к которому они называются уравнениями Захарова [58]. Правая часть в уравнении для среднего поля $b(X, T)$ возникает вследствие
так называемой пондемоторной силы. Это уравнение можно записать как
\[
\rho_{T T}-c^{2} \rho_{X X}=\frac{\beta k^{2}\left(\left(a a^{*}\right)_{X X}-\left(1 / c^{2}\right)\left(a a^{*}\right)_{T T}\right)}{1-\omega^{\prime 2} / c^{2}}+O \cdot(\varepsilon),
\]
поскольку $\left(a a^{*}\right)_{T}=-\omega^{\prime}\left(a a^{*}\right)_{X}+O(\varepsilon)$. Поэтому та часть среднего поля, которая индуцируется малыми градиентами огибающей быстрого поля, может быть получена в явном виде:
\[
\rho=\frac{\rho k^{2} a a^{*}}{\omega^{\prime 2}-c^{2}} .
\]

Следует отметить возможность резонанса, когда групповая скорость быстрого поля совпадает с фазовой скоростью длинных волн, или среднего поля. Читатель может почерпнуть подробную информацию об этом резонансе в статьях Бенни (Stud. Appl. Math., 55 (1976), pp. 93 ff; 56 (1977), pp. 81-94) и Ньюэлла (SIAM J. Appl. Math., 35 (1978), pp. 650-664). Теперь можно переписать уравнение для огибающей $a\left(\xi=X-\omega^{\prime} T, \tau=\varepsilon T\right)$,
\[
a_{\tau}-\frac{i \omega^{\prime \prime}}{2} a_{\xi \xi}+\frac{i \beta^{2} k^{2}}{12 \gamma} \frac{\omega^{\prime \prime}}{\omega^{\prime 2}-c^{2}} a^{2} a^{*}=0 .
\]

И наконец, комментарий к уравнениям Захарова. Если в нашем примере мы включили бы второе пространственное измерение,
\[
u_{t t}-c^{2}
abla^{2} u+\gamma
abla^{4} u=\varepsilon \beta
abla u \cdot
abla(
abla u),
\]
$
abla=(\partial / \partial x, \partial / \partial y)$, то мы не смогли бы так просто выразить среднее поле $\rho$ через $a a^{*}$. Причина этого состоит в том, что в двумерном случае (см. обсуждение в разд. $2 \mathrm{~d}$ ) «уединенная волна» коллапсирует, и аргумент огибающей не является больше равномерно постоянным на характеристике групповой скорости нигде, кроме начальной стадии. По мере развития коллапса огибающей и среднего поля приближения, в которых были выведены уравнения, теряют силу и становится необходимым учесть члены, отброшенные при анализе. Тем не менее поведение решений уравнений Захарова часто рассматривают как указание на то, что происходит в реальных ситуациях.

Примеры (ii) и (iii) служат также прототипами для ряда одномерных задач теории волн на воде. Пользуясь работами [54] и. [55], выведите НУШ
\[
a_{t}+\omega^{\prime} a_{x}-\frac{i \omega^{\prime \prime}}{2} a_{x x}+i \beta a^{2} a^{*}=0
\]
для поверхностных гравитационных волн. В этом уравнении
\[
\begin{array}{c}
\omega^{2}=g k T, \quad T=\operatorname{th} k h, \quad S=\operatorname{sech} k h, \\
\beta=\frac{1}{2} \omega k^{2}\left\{\frac{9 T^{4}-10 T^{2}+9}{8 T^{4}}-\frac{1}{g h-\omega^{2}} \times\right. \\
\left.\times\left(\frac{\omega^{2}}{k^{2} T^{2}}+\frac{\omega \omega^{\prime} S^{2}}{k T^{2}}+\frac{g h S^{4}}{T^{2}}\right)\right\},
\end{array}
\]

где $\eta(x, t)$, уровень свободной поверхности, есть $(a / 2) e^{i(k x-\omega t)}+$ $+\left(^{*}\right), g$ – ускорение силы тяжести и $h$ – невозмущенная глубина. Заметим, что $\beta$ меняет знак при $k h=1.36$. Это означает, что солитоны образуются на глубокой воде ( $k h>1.36)$, но этого не происходит, если глубина меньше. Случай двух пространственных переменных обсуждается у Бенни и Роскеса [56] и у Дэви и Стюартсона [57].
(iv) Следующий пример основывается на экспериментальных наблюдениях Ву, Кесляна и Рудника (препринт), указывающих на существование явления, названного ими гидродинамическими поляронами в резонаторе в виде наполненного водой желоба. Идея в общих чертах такова. Линейное дисперсионное соотношение для волн в прямоугольной кювете есть $\omega^{2}=g k \times$ $\times t h k h$, где $k=\left(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}\right)^{1 / 2}$. Допустим, что размер кюветы $L_{y}$ в направлении $y$ мал по сравнению с ее размером $L_{x}$ в направлении $x$. В эксперименте было $L_{y}=2.54$ см и $L_{x}=38$ см, глубина воды была равна 2 см, однако вода была глубокой в том смысле, что $k h \approx 3$. Компонента по оси $y$ волнового числа низшей моды равна $k_{y}=\pi / L_{y}$. Отметим, что если частота $\omega$ источника меньше собственной частоты моды $(0,1)$ с $k_{x}=0, k_{y}=$ $=\pi / L_{y}, \omega_{01}^{2}=g k_{y}$ th $k_{y} h$, то волна не может распространяться по $x$, а будет захваченной у стенки кюветы со смещением свободной поверхности
\[
\eta(x, y, t) \sim e^{-\left(-k_{x}^{2}\right)^{1 / 2}} \cos k_{y} y\left(A e^{-i \omega t}+A^{*} e^{i \omega t}\right),
\]

где $\omega_{01}^{2}>\omega^{2}=g\left(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}\right)^{1 / 2}$ th $\left(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}\right)^{1 / 2} h$ и $k_{x}^{2}<0$. Вышеупо-
мянутые авторы обнаружили, что вследствие компенсации нелинейными эффектами дисперсионных, импульсы типа солитонов могут располагаться в произвольных местах канала. Они пишут об удивлении, с которым они обнаружили локализованные импульсы в случае, когда возмущение было однородным по $x$. Это, однако, нисколько не удивительно, и мы увидим в следующем разделе, что однородный отклик неустойчив, и неустойчивость приводит к росту солитонов нелинейного уравнения Шрёдингера. Для изучения этого явления я использую мо-

дель Лэраза и Паттермана (препринт), которые заметилі, что в этой задаче получается НУШ и, следовательно, решения солитонного типа возможны. Однако опять они не поняли, что эти решения неизбежны. Рассмотрим уравнение
c
\[
u_{t t}-c^{2}
abla^{2} u+\gamma
abla^{4} u=\varepsilon
abla^{2}\left(\alpha u^{2}\right), \quad 0<\varepsilon \ll 1
\]
\[
\begin{array}{l}
u=u(x, y, t), \quad
abla^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}, \\
u_{0}=\left(A(X, T) e^{-i \omega t}+\left(^{*}\right)\right) \cos k y, \\
u_{1}=B(X, T)+\left(A_{2} e^{-2 i \omega t}+B_{2}+A_{2}^{*} e^{2 i \omega t}\right) \cos 2 k y,
\end{array}
\]
где мы выбрали $k\left(=k_{y}\right)$ и $\omega$ такими, чтобы
\[
\omega^{2}=c^{2} k^{2}+\gamma k^{4}-\varepsilon^{2} \chi=\omega_{01}^{2}-\omega^{2} \chi .
\]

Мы так подберем зависимость от времени $A(x, T)$, где $X==\varepsilon x$, $T=\varepsilon t$,
\[
A_{T}=f_{1}+\varepsilon f_{2}+\ldots
\]

и $B(X, T)$, чтобы исключнть секулярные добавки, пропорциональные $e^{i \theta}$ и $e^{0}$ в $u_{1}, u_{2}$ и $u_{3}$ соответственно. Несложное вычисление показывает, что $f_{1}=0$ (нулевая групповая скорость $\left(\partial \omega / \partial k_{x}\right)\left(0, k_{y}\right)$ в направлении слабой модуляции), и
\[
\begin{array}{c}
A_{2}=\frac{-\alpha}{6 \gamma k^{2}} A^{2}, \quad B_{2}=-\frac{A A^{*}}{c^{2}+4 \gamma k^{2}} \\
2 i \omega A_{T}+\varepsilon\left(c^{2} \frac{\partial^{2} A}{\partial X^{2}}-\chi A-\alpha k^{2} A-\alpha k^{2} A\left(2 B-\frac{\alpha A A^{*}}{6 \gamma k^{2}}-\right.\right. \\
\left.\left.-\frac{k^{2} A A^{*}}{c^{2} k^{2}+4 \gamma k^{4}}\right)\right)+O\left(\varepsilon^{2}\right)=0 ; \\
B_{T T}-c^{2} B_{X X}=\alpha \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} A A^{*}+O(\varepsilon) .
\end{array}
\]

Как и в примере (iii), к правой части последнего уравнения можно добавить $\left(-\alpha / c^{2}\right)\left(\partial^{2} / \partial T^{2}\right) A A^{*}$, поскольку этот член порядка $O\left(\varepsilon^{2}\right)$, и получить
\[
B(X, T)=-\frac{\alpha}{c^{2}} A A^{*}
\]

н ссли $\tau=\varepsilon T$, то
\[
2 i \omega A_{\tau}+c^{2} A_{X X}+\left(a^{2} k^{2} \beta A A^{*}-\chi\right) A=0
\]
c
\[
\beta=\frac{2}{c^{2}}+\frac{1}{6 \gamma k^{2}}+\frac{1}{c^{2}+4 \gamma k^{2}} .
\]

Если $\gamma$ положительно, то положительно и $\beta$. Сделаем несколько замечаний.
(a) Поскольку произведение дисперсии (в направлении модуляции $x$ ) на $\beta$ положительно, асимптотическое состояние состоит из солитонов вида (2.51a).
(b) Двигаться они могут (т. е. $v
eq 0$ ) только при некотором специальном виде неоднородности начальных условий или при приложении внешних сил. Их скорости не зависят от их амплитуд. Их положения и амплитуды находятся из начальных условий.
(c) Параметр $\chi$ устраняется просто изменением фазы $A$. А теперь-предостережение. В эксперименте Ву, Кесляна и Рудника волны возбуждались непрерывно из-за диссипации, в отсутствие которой можно было бы, создав начальное возмущение самой низкой моды, предоставить его самому себе. Это означает, что в правую часть НУШ нужно добавить члены, соответствующие возбуждению и затуханию, т. е. $E=\Gamma A$. (Если устранить расстройку частоты $-\chi A, E$ приобретает фазовый множитель $e^{i \Delta t}, \Delta=(i \chi / 2 \omega) \varepsilon^{2}$.) Отклик возмущаемой диссипативной системы может состоять просто в порождении солитонов с некоторой фиксированной амплитудой (см. [45]). Однако возможны и другие отклики, зависящие от $E$ и Г. Я не собираюсь обсуждать их здесь, а отсылаю интересующегося читателя к статье Бишопа, Фессера, Ломдаля и Траллинджера (Physica D, 7 (1983), p. 259), в которой изучается влияние внешней силы на бризер уравнения sin-Гордон. Бризеры малой амплитуды для этого уравнения – это солитоны НУШ.
(v) $u_{t t}-c^{2} u_{x x}+\omega_{p}^{2}\left(\varepsilon^{2} x\right) u=\varepsilon^{2} \gamma u^{3} \cdot \gamma, c^{2}-$ постоянные. Нас интересует пространственная эволюция волнового пакета. Соответствующие координаты –
\[
\begin{array}{l}
X_{1}=\varepsilon x, \quad X_{2}=\varepsilon^{2} x, \quad t: \quad T=\varepsilon t, \\
u_{0}=a e^{i \theta}+\left(^{*}\right), \quad \theta=\int k d x-\omega t, \\
k^{2}=\frac{\omega^{2}-\omega_{p}^{2}\left(X_{2}\right)}{c^{2}} .
\end{array}
\]

Отметим, что
\[
\frac{\partial^{2} u_{0}}{\partial x^{2}}=e^{i \theta}\left(-k^{2} a+2 i k \varepsilon a_{X_{1}}+\varepsilon^{2}\left(2 i k a_{X_{2}}+a_{X_{1} X_{2}}+i k_{X_{2}} a\right)\right)+\left(^{*}\right) .
\]

В порядке $\varepsilon$
\[
a_{T_{1}}+\omega^{\prime} a_{X_{1}}=0 \Rightarrow a=a\left(T-\frac{1}{\varepsilon} \int_{0}^{X_{2}} k^{\prime} d X_{\vartheta_{\vartheta}}\right) .
\]

где $k^{\prime}=1 / \omega^{\prime}=d k / d \omega$. В порядке $\varepsilon^{2}$ мы получим
\[
a_{X_{2}}+\frac{i k^{\prime \prime}}{2} a_{T T}=\frac{3 i \gamma}{2 k c^{2}} a^{2} a^{*}-\frac{1}{2 k} k_{X_{2}} a .
\]

В качестве дополнительного упражнения преобразуйте это уравнение к каноническому виду $q_{\tau}-i q_{\theta \theta}=2 i q^{2} q^{*}=\Gamma\left(k_{\tau} / k\right) q$. Что такое $\Gamma, \tau, \theta, q$ ? Подробности см. в [52].
(vi) Уравнение для огибающей неустойчивой волны. Предположим, что $L$ в (2.39) зависит от параметра $R$ таким образом, что волновое решение $u\left(x_{f}, t\right) \sim e^{i\left(k_{i} x_{l}-\sigma t\right)}, \sigma=\omega-i v$ pacтет или затухает в зависимости от $R \gtreqless R_{c}$. Параметры $v$ и как функции $k_{j}$ и $R$ задаются комплексным алгебраическим уравнением $L\left(-i \omega+v, k_{j}, R\right)=0$. Критическая поверхность это поверхность в пространстве $k_{j}, R$, соответствующая $\gamma=0$. Критические значения $k_{f}$ и $R$ – те точки на этой поверхности, при которых $R$ минимально. Это наименьшее значение параметра, при котором решения волнового типа растут. Используйте идеи этого раздела и покажите, что (медленно меняющаяся) огибающая $A\left(x_{j}, t\right)$ растущей волны подчиняется комплексному уравнению
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial A}{\partial t}+\sum_{j=1}^{3} \frac{\partial \omega}{\partial k_{j}} \frac{\partial A}{\partial x_{j}}-\frac{1}{2} \sum_{j, l}( & \left.\frac{\partial v}{\partial R} \frac{\partial^{2} R}{\partial k_{j} \partial k_{l}}+i \frac{\partial^{2} \omega}{\partial k_{j} \partial k_{l}}\right) \frac{\partial^{2} A}{\partial x_{j} \partial x_{l}}= \\
& =\left(\frac{\partial v}{\partial R}-\frac{i \partial \omega}{\partial R}\right) R_{c} \chi A-\left(\beta_{r}+i \beta_{i}\right) A^{2} A^{*} .
\end{aligned}
\]

Исходное поле запишем как $u(\mathbf{x}, t)=\varepsilon A(\mathbf{x}, t) \cdot \exp \left(i \mathbf{k}_{c} x-\right.$ $\left.-i \omega\left(R_{c}\right) t\right)+\left(^{*}\right)+O\left(\varepsilon^{2}\right), R=R_{c}\left(1+\varepsilon^{2} \chi\right)$ и $\mathbf{k}_{c}$ – один из критических векторов, соответствующих $R=R_{c}$. (Часто вследствие симметрии исходной системы критический вектор вырожден; например, задача о конвекции между двумя бесконечными горизонтальными плоскостями имеет вращательную симметрию.) Коэффициенты в уравнении для огибающей оцениваются в точке $\mathbf{k}_{c}$. Замечания, аналогичные сделанным в этом разделе о необходимости учета возбуждения среднего течения малыми градиентами $A A^{*}$, верны и в этой задаче.

После того как вы прочитаете следующий раздел о неустойчивости Бенджамина – Фейра, покажите, что пространственно однородное решение (рассмотрите одномерную ситуацию)
\[
A=\sqrt{\frac{R_{c} \chi}{\beta_{r}}} \exp \left(-\frac{i \beta_{i} R_{c} \chi t}{\beta_{r}}\right)
\]

неустойчиво в смысле Бенджамина – Фейра, если
\[
\beta_{l} \gamma_{l}+\beta_{r} \gamma_{r}<0,
\]
где
\[
\gamma_{i}=\left(\frac{\partial^{2} \omega}{\partial k^{2}}\right)_{c}, \quad \gamma_{r}=\left(\frac{\partial v}{\partial R} \frac{\partial^{2} R}{\partial k^{2}}\right)_{c} .
\]

Подробности см. в [127].