Задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки наряду с задачей трех тел является одной из самых знаменитых задач динамики.

Замечательны эти задачи тем, что являются непосредственным обобщением задач, решаемых до конца простыми средствами классического анализа, и обе представляют столь большие трудности, что еще далеки от завершения, несмотря на глубокие результаты, полученные крупнейшими математиками и механиками двух последних столетий – Эйлером, Лагранжем, Пуассоном, Ковалевской, Пуанкаре, Ляпуновым и др. Задача трех тел представляет прямое обобщение задачи о движении двух тел под действием сил притяжения, блестяще решенной еще Ньютоном. Аналогично, задача о движении твердого тела с закрепленной точкой является естественным обобщением интегрируемой задачи о качании физического маятника.

В истории этих классических задач можно найти много общего как в характере полученных результатов, так и в путях применения математического аппарата. Приведу некоторые, на мой взгляд, наиболее существенные параллели.
1. Исследования С.В.Ковалевской в динамике твердого тела и К.Зундмана в задаче трех тел, где время считается комплексной переменной. Цели введения комплексного переменного у Ковалевской и Зундмана различные, однако их методы объединяет идея, состоящая в том, что исследование комплексных особенностей дает важную информацию о поведении действительных решений.
2. Результаты Брунса и Пенлеве в задаче трех тел и Пуанкаре, Лиувилля, Гюссона в динамике твердого тела, касающиеся отсутствия новых алгебраических интегралов.
3. Отыскание стационарных решений и исследование их устойчивости. В небесной механике это точки либрации,
а в динамике твердого тела с неподвижной точкой – перманентные вращения.
4. Нахождение частных решений и интегрируемых случаев: гомографические решения в задаче трех тел и общие (а также многочисленные частные) случаи интегрируемости в динамике твердого тела. Задача о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки намного богаче интегрируемыми случаями, и она в этом смысле «ближе» к интегрируемой, чем задача трех тел. А это приводит к тому, что сложнее доказать ее неинтегрируемость.

Правда, в целом задаче трех тел «повезло» все же больше: начиная с исследований А. Пуанкаре, эта задача и разнообразные ее варианты постоянно были первоочередным объектом приложения теоретических новинок. Так, например, созданный недавно С. Смейлом общий метод топологического анализа натуральных систем с симметрией был апробирован им на задаче трех тел, и только впоследствии аналогичные результаты были получены рядом авторов в динамике твердого тела с учетом специфики этой задачи.

Таким важным проблемам, возникшим в небесной механике, как вопросы существования новых аналитических (а не только алгебраических) первых интегралов, отыскание периодических решений с помощью метода малого параметра А. Пуанкаре и методов вариационного исчисления в целом, расщепление сепаратрис, в динамике твердого тела не было уделено должного внимания.

Правда, есть ряд работ, посвященных нахождению периодических решений методом малого параметра (см., например, обзорную статью [37]). Однако эти работы не исчерпывают всех возможностей, которые даст метод А. Пуанкаре.

Все только что перечисленные задачи нашли свое отражение в этой книге. Кроме этого, рассмотрена задача Пенлеве о связи между неоднозначностью (в смысле теории функций комплексного переменного) общего решения и несуществованием новых однозначных первых интегралов, а также исследован ряд математических задач, возникающих при качественном анализе наиболее сложных случаев интегрируемости Ковалевской и Горячева-Чаплыгина. Последние группируются

вокруг идеи равномерного распределения и проблемы «малых делителей», также зародившихся в небесной механике.

К каждой главе написан исторический очерк, в котором кратко рассказано об истории рассмотренного круга вопросов и об основных относящихся сюда результатах.

Предполагается, что читатель знаком с обычным курсом аналитической механики (в частности, с основными фактами динамики твердого тела). Достаточно, например, знакомства с учебником В.И.Арнольда «Математические методы классической механики» (М., «Наука», 1974). При изложении материала часто используется известная теорема Лиувилля-Арнольда об интегрируемых гамильтоновых системах, а также связанные с ней идеи и понятия, такие, как инвариантные торы, квазипериодические движения на торах, усреднение и т. д.

Содержание настоящей книги составили результаты, полученные автором в 1971-1977 гг. Я считаю своим долгом выразить благодарность чл.-кор. АН СССР профессору В.В.Румянцеву и профессорам В.И.Арнольду, В.М.Алексееву и Ю.А.Архангельскому за их внимание и советы, которыми я многократно пользовался.
В. Козлов