Главная > МЕТОДЫ КАЧЕСТВЕННОГО АНАЛИЗА В ДИНАМИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА. (В.В.Козлов)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки наряду с задачей трех тел является одной из самых знаменитых задач динамики.

Замечательны эти задачи тем, что являются непосредственным обобщением задач, решаемых до конца простыми средствами классического анализа, и обе представляют столь большие трудности, что еще далеки от завершения, несмотря на глубокие результаты, полученные крупнейшими математиками и механиками двух последних столетий — Эйлером, Лагранжем, Пуассоном, Ковалевской, Пуанкаре, Ляпуновым и др. Задача трех тел представляет прямое обобщение задачи о движении двух тел под действием сил притяжения, блестяще решенной еще Ньютоном. Аналогично, задача о движении твердого тела с закрепленной точкой является естественным обобщением интегрируемой задачи о качании физического маятника.

В истории этих классических задач можно найти много общего как в характере полученных результатов, так и в путях применения математического аппарата. Приведу некоторые, на мой взгляд, наиболее существенные параллели.
1. Исследования С.В.Ковалевской в динамике твердого тела и К.Зундмана в задаче трех тел, где время считается комплексной переменной. Цели введения комплексного переменного у Ковалевской и Зундмана различные, однако их методы объединяет идея, состоящая в том, что исследование комплексных особенностей дает важную информацию о поведении действительных решений.
2. Результаты Брунса и Пенлеве в задаче трех тел и Пуанкаре, Лиувилля, Гюссона в динамике твердого тела, касающиеся отсутствия новых алгебраических интегралов.
3. Отыскание стационарных решений и исследование их устойчивости. В небесной механике это точки либрации,
а в динамике твердого тела с неподвижной точкой — перманентные вращения.
4. Нахождение частных решений и интегрируемых случаев: гомографические решения в задаче трех тел и общие (а также многочисленные частные) случаи интегрируемости в динамике твердого тела. Задача о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки намного богаче интегрируемыми случаями, и она в этом смысле «ближе» к интегрируемой, чем задача трех тел. А это приводит к тому, что сложнее доказать ее неинтегрируемость.

Правда, в целом задаче трех тел «повезло» все же больше: начиная с исследований А. Пуанкаре, эта задача и разнообразные ее варианты постоянно были первоочередным объектом приложения теоретических новинок. Так, например, созданный недавно С. Смейлом общий метод топологического анализа натуральных систем с симметрией был апробирован им на задаче трех тел, и только впоследствии аналогичные результаты были получены рядом авторов в динамике твердого тела с учетом специфики этой задачи.

Таким важным проблемам, возникшим в небесной механике, как вопросы существования новых аналитических (а не только алгебраических) первых интегралов, отыскание периодических решений с помощью метода малого параметра А. Пуанкаре и методов вариационного исчисления в целом, расщепление сепаратрис, в динамике твердого тела не было уделено должного внимания.

Правда, есть ряд работ, посвященных нахождению периодических решений методом малого параметра (см., например, обзорную статью [37]). Однако эти работы не исчерпывают всех возможностей, которые даст метод А. Пуанкаре.

Все только что перечисленные задачи нашли свое отражение в этой книге. Кроме этого, рассмотрена задача Пенлеве о связи между неоднозначностью (в смысле теории функций комплексного переменного) общего решения и несуществованием новых однозначных первых интегралов, а также исследован ряд математических задач, возникающих при качественном анализе наиболее сложных случаев интегрируемости Ковалевской и Горячева-Чаплыгина. Последние группируются

вокруг идеи равномерного распределения и проблемы «малых делителей», также зародившихся в небесной механике.

К каждой главе написан исторический очерк, в котором кратко рассказано об истории рассмотренного круга вопросов и об основных относящихся сюда результатах.

Предполагается, что читатель знаком с обычным курсом аналитической механики (в частности, с основными фактами динамики твердого тела). Достаточно, например, знакомства с учебником В.И.Арнольда «Математические методы классической механики» (М., «Наука», 1974). При изложении материала часто используется известная теорема Лиувилля-Арнольда об интегрируемых гамильтоновых системах, а также связанные с ней идеи и понятия, такие, как инвариантные торы, квазипериодические движения на торах, усреднение и т. д.

Содержание настоящей книги составили результаты, полученные автором в 1971-1977 гг. Я считаю своим долгом выразить благодарность чл.-кор. АН СССР профессору В.В.Румянцеву и профессорам В.И.Арнольду, В.М.Алексееву и Ю.А.Архангельскому за их внимание и советы, которыми я многократно пользовался.
В. Козлов

1
Оглавление
email@scask.ru