Теорема, доказанная в $\S 3$, применима, конечно, при исследовании движения линии узлов волчка Ковалевской. В этом случае циклической переменной служит угол прецессии $\psi$, причем
\[
\dot{\psi}=\Psi\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right) ; \quad \dot{\varphi}_{i}=\omega_{i}=\text { const. }
\]

Пониженная система в случае Ковалевской невырождена, по крайней мере, при малых значениях $
u$ (вероятно, она невырождена всегда). В этом случае из теоремы $1 \S 3$ вытекает

Предложение 2. Линия узлов волчка Ковалевской обладает средним движением
\[
\Lambda=(2 \pi)^{-2} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \Psi\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right) d \varphi_{1} d \varphi_{2}
\]
(независимо от соизмеримости частот $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ ).
Точно так же, как в § 3 гл. VII, доказывается
Теорема 2. Если $I_{2}=0$ и мало, то $\Lambda=0$.
Таким образом, в этом случае линия узлов совершает ограниченные квазипериодические колебания.

Полученные качественнье утверждения о поведении углов Эйлера позволяют указать простую геометрическую картину вращения волчка Ковалевской. Сначала исследуем движение оси динамической симметрии. Обозначим через $p$ след оси симметрии на единичной неподвижной сфере $S^{2}$ с центром в точке подвеса. Углы $\vartheta, \psi$ являются сферическими координатами точки $p$.

Зафиксируем постоянные первых интегралов $I_{1}, I_{2}, I_{3}$. Если $I_{1}
eq 2 I_{2}^{2}+I_{3}$, то согласно лемме 2 точка $p$ никогда не совпадает с полюсами сферы $S^{2}$ и, следовательно, угол $\vartheta$ будет некоторой непрерывной функцией $g\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)$, где $\varphi_{1}, \varphi_{2}-$ угловые переменные на инвариантном торе $\mathbf{T} 2\left(I_{1}, I_{2}, I_{3}\right)$, изменяющиеся с постоянными скоростями $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$, которые даются формулой (1.9). По теореме 1 существует непрерывная

$2 \pi$-периодическая функция $f\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)$ такая, что
\[
\psi=\psi_{0}+\Lambda t+f\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)-f\left(\varphi_{1}^{0}, \varphi_{2}^{0}\right) .
\]

Здесь постоянная $\Lambda$ вычисляется по формуле (4.1).
Рассмотрим подвижную систему координат, которая вращается вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью $\Lambda$ в направлении среднего движения линии узлов. Предположим, что в начальный момент времени подвижная система совпадала с неподвижной. Тогда сферические координаты $\vartheta^{\prime}, \psi^{\prime}$ точки $p$ в подвижной системе будут изменяться со временем следующим образом:
\[

u^{\prime}=g\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right), \quad \psi^{\prime}=\psi_{0}+f\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)-f\left(\varphi_{1}^{0}, \varphi_{2}^{0}\right) .
\]

Рассмотрим непрерывное отображение инвариантного тора $\mathrm{T}^{2}\left(I_{1}, I_{2}, I_{3}\right)$ на «подвижную сферу $S^{2}$, определяемое формулами $\vartheta^{\prime}=g\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right), \psi^{\prime}=f\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)$. Образ тора $\mathbf{T}^{2}$ при этом отображении обозначим через $D$. Пусть $D^{\prime}-$ область $S^{2}$ в подвижной системе, получающаяся из $D$ поворотом на угол $\psi_{0}-f\left(\varphi_{1}^{0}, \varphi_{2}^{0}\right)$. Конфигурация области $D^{\prime}$ зависит только от постоянных первых интегралов, а ее положение зависит еще от начальных фаз $\varphi_{1}^{0}, \varphi_{2}^{0}$ и начального положения линии узлов. В подвижной системе отсчета движение точки $p$ происходит в замкнутой области $D^{\prime}$. Если отношение частот $\omega_{1} / \omega_{2}$ рационально, то траектория точки $p$ является замкнутой кривой, если же $\omega_{1} / \omega_{2}$ иррационально, то, очевидно, $p$ заметает $D$ всюду плотно.

В неподвижной системе отсчета движение точки $p$ можно рассматривать как сложное: точка $p$ движется в области $D^{\prime}$, которая, в свою очередь, вращается как твердое тело вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью $\Lambda$. Вокруг оси динамической симметрии твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью и еще совершает ограниченные квазипериодические колебания около этого среднего движения.

При $
u=0$ область $D$ является окружностью (что легко выводится из представления Пуансо). При этом якобиан
\[
J=\frac{\partial(f, g)}{\partial\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)} \equiv 0 .
\]

Разлагая решения уравнений движения в ряды по степеням малого параметра $
u$, можно убедиться в том, что коэффициент при $
u$ в разложении функции $J$ не равен тождественно нулю. Стало быть, в общем случае $J
eq 0$, и, следовательно, множество $D$ (конгруэнтное с $D^{\prime}$ ) является двумерной областью.

ЗамечаниЕ. Несложно показать, что в случае Лагранжа для почти всех начальных данных (за исключением точек, лежащих на некоторых особых уровнях первых интегралов) углы Эйлера изменяются следующим образом:
\[
\vartheta=f(t), \quad \varphi=\lambda t+g(t), \quad \psi=\Lambda t+h(t),
\]

где постоянные $\lambda, \Lambda$ зависят от констант интегралов, а функции $f, g, h$ – периодические с одним и тем же периодом $\tau$ (причем $f(t) \in(0, \pi) \forall t \in \mathbf{R})$. Из этих формул следует, что точка пересечения $p$ оси динамической симметрии с единичной неподвижной сферой $S^{2}$, как в случае Ковалевской, совершает сложное движение: она движется по замкнутой кривой $D=\left\{(\vartheta, \psi) \in S^{2}: \vartheta=\right.$ $=f(t), \psi=h(t), t \in[0, \tau)\}$, которая вращается как твердое тело вокруг вертикальной прямой с постоянной угловой скоростью $\Lambda$.