В этом параграфе используются специальные обозначения, введенные в гл. VII. Предположим, что $I_{1}
u^{2}<4 I_{2}^{2}$ и параметр $
u$ мал. Обозначим снова через $x \in \mathbf{R}^{6}$ вектор переменных Эйлера-Пуассона. Тогда
\[
\dot{\psi}=\Psi(x),
\]

где $\Psi(x)$ – аналитическая функция на двумерных инвариантных торах $\mathbf{T}^{2}$ уравнений Эйлера-Пуассона в случае Горячева-Чаплыгина (эта функция выписана в явном виде в $\S 3$ гл. VII). Теорема 3 гл. VII утверждает, что среднее функции $\Psi(x)$ по двумерному тору $\mathbf{T}^{2}$ равно нулю, т. е.
\[
\oint_{T^{2}} \Psi(x) d \sigma=0,
\]

где $d \sigma$ – мера инвариантная относительно сужения действия фазового потока на $\mathbf{T}^{2}$.

В $§ 1$ гл. VII были вычислены числа вращения $\gamma\left(I_{1}, I_{2}\right)$ касательных векторных полей на $\mathbf{T}^{2}$ (они равны отношению периодов некоторого гиперэллиптического интеграла). В конечном счете $\gamma$ зависит от $x \in \mathbf{R}^{6}$. Напомним, что $\gamma$ – непостоянная аналитическая функция на плоскости $\mathbf{R}^{2}\left\{I_{1}, I_{2}\right\}$.
Угол прецессии можно представить в виде
\[
\psi=\psi_{0}+f\left(t, x_{0}\right), \quad x_{0}=x(0), \quad f\left(0, x_{0}\right)=0 .
\]

Согласно теореме 1 и предложению 1 на каждом инвариантном торе существуют точки $x_{0} \in \mathbf{T}^{2}$ такие, что $\psi \geqslant \psi_{0}\left(\psi \leqslant \psi_{0}\right)$ и $\Psi\left(x_{0}\right)=0$. На резонансных торах (когда $\gamma$ рационально) таких точек даже две.

Если начальное значение $x_{0}$ принадлежит нерезонансному тору, то по теореме 4
\[
\forall \varepsilon>0 \forall T>0 \exists \tau>T:\left|f\left(\tau, x_{0}\right)\right|<\varepsilon .
\]

Так как почти все точки лежат на нерезонансных торах, то движение линии узлов устойчиво по Пуассону.

Пусть $\gamma\left(x_{0}\right)$ иррационально (т.е. $x_{0}$ принадлежит нерезонансному тору) и $\Psi\left(x_{0}\right)
eq 0$. Тогда, согласно теореме 5 , функция $f\left(t, x_{0}\right)$ бесконечно много раз меняет знак при $t \rightarrow \infty$. В частности, бесконечно много раз имеет место равенство $\psi=\psi_{0}$.

Отметим еще, что для почти всех $x_{0}$ (более точно, когда $\gamma\left(x_{0}\right) \in K_{2}$ линия узлов совершает ограниченные квазипериодические колебания. Это следует, например, из леммы 5 и теоремы Боля об ограниченных интегралах квазипериодических функций [64].

Будем увеличивать значения параметра $
u$. Тогда доказанные выше утверждения будут справедливы по крайней мере до тех пор, пока первые интегралы уравнения движения независимы, и функция $\Psi$ не имеет аналитических особенностей (т.е. пока $I_{1}
u^{2}<4 I_{2}^{2}$ ).