Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
В этом параграфе используются специальные обозначения, введенные в гл. VII. Предположим, что и параметр мал. Обозначим снова через вектор переменных Эйлера-Пуассона. Тогда
где — аналитическая функция на двумерных инвариантных торах уравнений Эйлера-Пуассона в случае Горячева-Чаплыгина (эта функция выписана в явном виде в гл. VII). Теорема 3 гл. VII утверждает, что среднее функции по двумерному тору равно нулю, т. е.
где — мера инвариантная относительно сужения действия фазового потока на .
В гл. VII были вычислены числа вращения касательных векторных полей на (они равны отношению периодов некоторого гиперэллиптического интеграла). В конечном счете зависит от . Напомним, что — непостоянная аналитическая функция на плоскости .
Угол прецессии можно представить в виде
Согласно теореме 1 и предложению 1 на каждом инвариантном торе существуют точки такие, что и . На резонансных торах (когда рационально) таких точек даже две.
Если начальное значение принадлежит нерезонансному тору, то по теореме 4
Так как почти все точки лежат на нерезонансных торах, то движение линии узлов устойчиво по Пуассону.
Пусть иррационально (т.е. принадлежит нерезонансному тору) и . Тогда, согласно теореме 5 , функция бесконечно много раз меняет знак при . В частности, бесконечно много раз имеет место равенство .
Отметим еще, что для почти всех (более точно, когда линия узлов совершает ограниченные квазипериодические колебания. Это следует, например, из леммы 5 и теоремы Боля об ограниченных интегралах квазипериодических функций [64].
Будем увеличивать значения параметра . Тогда доказанные выше утверждения будут справедливы по крайней мере до тех пор, пока первые интегралы уравнения движения независимы, и функция не имеет аналитических особенностей (т.е. пока ).