Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Прошло уже 110 лет с тех пор, как С.В.Ковалевская открыла новый случай интегрируемости уравнений движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой (1888 г.). Однако до сих пор о качественных свойствах движения тела в этом случае известно очень мало. Все параметры движения выражены через время при помощи квадратур, однако они настолько громоздки, что не позволяют непосредственно изучить вращение твердого тела. Были даже поставлены эксперименты с волчком Ковалевской (проф. Мерцалов, см. [30]), но при этом результаты получились очень запутанными и не привели к выявлению существенных закономерностей движения. Запутанность движения оси динамической симметрии в этих экспериментах объясняет, по-видимому, тот факт, что в общем случае множество $D$ (§4) на неподвижной единичной сфере является двумерной областью, и траектория точки р (§4) заполняет эту область всюду плотно.
Волчок Ковалевской – популярный объект исследований, и ему посвящен ряд интересных работ. Прежде всего надо сослаться на известную работу Г.Г.Аппельрота, помещенную в сборнике [30, с. 61-155]. В ней много внимания уделено качественным свойствам изменения переменных Ковалевской $s_{1}, s_{2}$. Высказано утверждение о всюду плотном заполнении в общем случае некоторых областей возможного движения на плоскости $\mathbf{R}^{2}\left\{s_{1}, s_{2}\right\}$. Это утверждение легко вывести из результата о приведении уравнений Ковалевской (1.6) к виду (1.9) и теоремы о равномерном распределении.
В одной из работ Н.Е.Жуковского [31] предложено локальное геометрическое представление вращения волчка Ковалевской. Из него, правда, трудно сделать конкретные выводы о движении твердого тела в целом. Дело в том, что фигурирующие в интерпретации Н. Е. Жуковского некоторые вспомогательные конические поверхости в общем случае не являются замкнутыми (в действительности они всюду плотно замещают целые области трехмерного пространства).
В ряде недавних работ (см., например, $[61,71]$ ) подробно исследованы некоторые частные решения задачи Ковалевской – вырожденные решения уравнений Эйлера-Пуассона (изолированные периодические и асимптотические решения). $B$ этой главе предложен иной подход к задаче качественного анализа случая Ковалевской. Он основан на широком использовании понятий, связанных с теоремой В. И. Арнольда о поведении траекторий интегрируемых гамильтоновых систем.
