В этом параграфе содержатся некоторые утверждения теории дифференциальных уравнений, принадлежащие, в основном, А. Пуанкаре, которые будут использованы нами в дальнейшем.

Рассмотрим аналитическую систему дифференциальных уравнений, определенную в $R^n$ :
$$\dot{x}=f(x),x=\Vert \begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\Vert ,f=\Vert \begin{array}{c}{f}_1\\ ⋮\\ f_n\end{array}\Vert .$$

Эта система имеет единственное аналитическое решение $x(t,\xi )$ такое, что
$$x(0,\xi )=\xi ,\xi =\Vert \begin{array}{c}{\xi }_1\\ ⋮\\ {\xi }_{\eta }\end{array}\Vert$$
(см., например, [3]). Предположим, что при $\xi ={\xi }^{\ast }$ решение системы (1.1) периодическое с периодом $T^{\ast }$. Частные производные
$$x_{kl}={\frac{\partial x_k}{\partial {\xi }_l}|}_{\xi =\xi }\text{. }$$

удовлетворяют линейной системе
$${\dot{x}}_{kl}=\sum _{r=1}^n\frac{\partial f_k}{\partial x_r}{x}_{rl},$$

где в выражении для $\partial f^k/\partial x_r$ вместо $x$ подставлена периодическая функция $x(t,{\xi }^{\ast })$. Введем матрицу $n$-го порядка
$$F=\Vert \frac{\partial f_k}{\partial x_r}\Vert .$$

Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами
$$\dot{y}=Fy,y=\Vert \begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_n\end{array}\Vert$$

называются уравнениями в вариациях периодического решения $x(t,{\xi }^{\ast })$.

Матрица
$$X(t)=\Vert x_{kl}(t)\Vert$$

является, очевидно, фундаментальной матрицей линейной системы (1.2), причем $X(0)=E$, где $E$ — единичная матрица $n$-го порядка. Матрица $X\left(T^{\ast }\right)$ называется матрицей монодромии системы линейных уравнений (1.2). Собственные числа ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ матрицы $X\left(T^{\ast }\right)$ называются мультипликаторами, а величины ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n:{\lambda }_k=\exp \left({\alpha }_k{T}^{\ast }\right)$ — характеристическими показателями системы (1.2). Числа ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ называются также характеристическими показателями периодического решения $x(t,{\xi }^{\ast })$. Система (1.1) предполагается автономной, поэтому хотя бы один из характеристических показателей равен нулю. Действительно, в этом случае
$$\Vert X\left(T^{\ast }\right)-E\Vert f^{\ast }=0,f^{\ast }=f\left({\xi }^{\ast }\right)eq0.$$

Мы будем, в основном, иметь дело с периодическими решениями автономных канонических систем
$$\begin{array}{c}\frac{dx}{dt}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial y},\frac{dy}{dt}=-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial x}\\ \mathcal{H}=\mathcal{H}(x,y),x=\Vert \begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\Vert ,y=\Vert \begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_n\end{array}\Vert .\end{array}$$

Для таких систем справедлива
Теорема Пуанкаре-Ляпунова. Характеристический многочлен $p(\lambda )$ матрицы монодромии периодического решения гамильтоновой системы (1.4) возвратный: $(p)\lambda =$ $={\lambda }^{2n}p(1/\lambda )$.
Доказательство можно найти, например, в [4, 20].
Значит, если $\lambda$ — корень характеристического уравнения $p(x)=0$, то $1/\lambda -$ корень того же уравнения. Так как многочлен $p(x)$ имеет действительные коэффициенты, то его корнями являются также числа $\overline{\lambda }$ и $1/\overline{\lambda }$.

Отсюда, в частности, следует, что характеристические показатели периодического решения автономной гамильтоновой системы попарно равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. При этом два из них всегда равны нулю.

В случае $n=2$ оставшиеся характеристические показатели либо оба действительны, либо оба чисто мнимы. Если они отличны от нуля, то периодическое решение называется невырожденным. Невырожденное решение с действительными характеристическими показателями называется гиперболическим, а с чисто мнимыми — эллиптическим. Эллиптическое решение устойчиво в первом приближении, а гиперболическое неустойчиво.

Предположим теперь, что система (1.1) имеет $m(0⩽m⩽$ $⩽n-1)$ первых интегралов ${\mathcal{F}}_1(x),\dots ,{\mathcal{F}}_m(x)$, аналитических в ${\mathbf{R}}^n$. Докажем, что если в точках траектории периодического решения $x(t,{\xi }^{\ast })$ ранг матрицы
$$\Vert \begin{array}{ccc}\frac{\partial {\mathcal{F}}_1}{\partial x_1}& \dots & \frac{\partial {\mathcal{F}}_1}{\partial x_n}\\ \dots \dots & \dots & \dots \dots \\ \frac{\partial {\mathcal{F}}_m}{\partial x_1}& \dots & \frac{\partial {\mathcal{F}}_m}{\partial x_n}\end{array}\Vert$$

равен $m$, то по меньшей мере $m+1$ характеристических показателей этого решения равны нулю.

Действительно, так как функция ${\mathcal{F}}_k(x)$ — первые интегралы, то
$${\mathcal{F}}_k\left(x(t,{\xi }^{\ast })\right)\equiv {\mathcal{F}}_k\left({\xi }^{\ast }\right),k=1,\dots ,m.$$

Следовательно,
$$\frac{\partial {\mathcal{F}}_k}{\partial x_1}{x}_{1l}+\dots +\frac{\partial {\mathcal{F}}_k}{\partial x_n}{x}_{nl}=\frac{\partial {\mathcal{F}}_k}{\partial x_l}(l=1,\dots ,n).$$

Положим $t=T^{\ast }$. Тогда $x(T^{\ast },{\xi }^{\ast })={\xi }^{\ast }$ и равенство (1.5) можно представить в следующей матричной форме:
$$\Vert X\left(T^{\ast }\right)-E\Vert {\eta }_k=0,{\eta }_k=\mathrm{grad}{\mathcal{F}}_k,k=1,\dots ,m.$$

С другой стороны,
$$\frac{d{\mathcal{F}}_k}{dt}=({\eta }_k,f)\equiv 0.$$

Так как $f\left({\xi }^{\ast }\right)=f^{\ast }eq0$, то из этих равенств вытекает линейная независимость векторов ${\eta }_1,\dots ,{\eta }_n,f^{\ast }$. Из формул (1.3) и (1.6) следует, что ${\eta }_1,\dots ,{\eta }_n,f^{\ast }$ — собственные векторы матрицы
$$Y=\Vert X\left(T^{\ast }\right)-E\Vert$$

с собственными значениями $\lambda =1$. Следовательно, по крайней мере $m+1$ ее характеристических чисел (мультипликаторов) равны единице. Это и требовалось доказать.

В качестве следствия получаем следующее утверждение: если $n-m$ характеристических показателей решения $x(t,{\xi }^{\ast })$ отличны от нуля, то на его траектории интегралы ${\mathcal{F}}_1,\dots ,{\mathcal{F}}_m$ зависимы. В частности, на траекториях невырожденных периодических решений двумерной гамильтоновой системы интеграл энергии $\mathcal{H}$ и любой первый интеграл $\mathcal{F}$ зависимы.

Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений
$$\dot{x}=f(x,\alpha ),$$

правая часть которой аналитична в прямом произведении ${\mathbf{R}}^n\times (-\epsilon ,\epsilon ;x\in {\mathbf{R}}^n,\alpha \in (-\epsilon ,\epsilon )$. При всех значениях параметра $\alpha \in (-\epsilon ,\epsilon )$ существует аналитическое решение $x(t,\xi ,\alpha )$ системы (1.7) такое, что $x(0,\xi ,\alpha )$ для всех $\alpha$. Предположим, что решение $x(t,{\xi }^{\ast },0)$ — периодическое с периодом $T^{\ast }$. Будет ли «возмущенная» система (1.7) допускать периодические решения, если $\alpha eq0$, но мало?

Для рассматриваемых ниже приложений особый интерес представляет случай, когда система (1.7) имеет первый интеграл $g(x,\alpha )$, аналитический в ${\mathbf{R}}^n\times (-\epsilon ,\epsilon )$.

Без ущерба общности можно считать, что $f_n({\xi }^{\ast },0)eq0$. Так как
$$\frac{\partial g}{\partial x_1}{f}_1+\dots +\frac{\partial g}{\partial x_n}{f}_n\equiv 0$$

то одна из производных
$$g_r={\frac{\partial g}{\partial x_r}|}_{\xi ={\xi }^{\ast },\alpha =0}(r=1,\dots ,n-1)$$

отлична от нуля. Пусть, например, $g_{1}eq0$.

Введем в рассмотрение матрицу $V$, которая получается из матрицы $Y$ «порождающего» решения $x(t,{\xi }^{\ast },0)$ вычеркиванием последнего столбца и первой строки.

Теорема (А. Пуанкаре). Если $Veq0$, то при достаточно малых $\alpha$ существует аналитическая функция $\xi (\alpha )$, $\xi (0)={\xi }^{\ast }$, такая, что решение $x(t,\xi (\alpha ),\alpha )$ системы (1.7) периодическое с периодом $T^{\ast }$ «порождающего решения $x(t,{\xi }^{\ast },0)$.
ДоКазательство.
Условие периодичности решения $x(t,\xi ,\alpha )$ имеет следующий вид:
$$z_k(\xi ,\alpha )=x_k(T^{\ast },\xi ,\alpha )-{\xi }_k=0,k=1,\dots ,n.$$

Полагая ${\xi }_n={\xi }_n^{\ast }$, найдем $n-1$ функций ${\xi }_1(\alpha ),\dots ,{\xi }_{n-1}(\alpha )$, удовлетворяющих уравнениям
$$z_k(\xi ,\alpha )=0,k=2,\dots ,n.$$

Эти уравнения, очевидно, удовлетворяются, если положить $\alpha =0,{\xi }_k={\xi }_k^{\ast }(k=2,\dots ,n)$. Соответствующая функциональная матрица
$$\Vert \begin{array}{ccc}\frac{\partial z_2}{\partial {\xi }_1}& \cdots & \frac{\partial z_2}{\partial {\xi }_{n-1}}\\ \cdots \cdots & \cdots & \cdots \cdots \\ \frac{\partial z_n}{\partial {\xi }_1}& \cdots & \frac{\partial z_n}{\partial {\xi }_{n-1}}\end{array}\Vert$$

совпадает с матрицей $V$. Так как $|V|eq0$, то по теореме о неявных функциях существуют аналитические решения ${\xi }_k(\alpha )$, ${\xi }_k(0)(k=1,\dots ,n-1)$ системы (1.8). Осталось показать, что при этом выполнено уравнение $z_1(\xi ,\alpha )=0$. Действительно, по теореме о среднем значении
$$g(x(T^{\ast },\xi ,\alpha ),\alpha )-g(\xi ,\alpha )={\frac{\partial g}{\partial x_1}|}_{x=\tilde{x}}{z}_1(\xi ,\alpha )=0,$$

где ${\tilde{x}}_k={\xi }_k(keq1)$ и ${\tilde{x}}_1$ лежит между ${\xi }_1$ и $x_1(T^{\ast },\xi ,\alpha )$. Так как $g_1=\partial g/\partial x_{1}eq0$ при $\xi ={\xi }^{\ast }$ и $\alpha =0$, то при малых $\alpha$ будем иметь $\partial g/\partial x_{1}eq0$. Но тогда из (1.9) вытекает, что $z_1(\xi ,\alpha )=0$.

Для некоторых целей выгодно искать периодические решения «возмущенной» задачи, расположенные на фиксированном уровне $g(x,\alpha )=g^{\ast }=g({\xi }^{\ast },0)$. Тогда к уравнениям периодичности
$$z_k(T,\xi ,\alpha )=x_k(T,\xi ,\alpha )-{\xi }_k=0(k=1,\dots ,n)$$

надо добавить уравнение
$$z_{n+1}(\xi ,\alpha )=g(\xi ,\alpha )-g^{\ast }=0.$$

При этом в уравнениях (1.10) период $T$ является неизвестной функцией $\alpha$.

Полагая ${\xi }_n={\xi }_n^{\ast }$, ищем решение ${\xi }_1(\alpha ),,\dots ,{\xi }_{n-1}(\alpha ),T(\alpha )$ уравнений (1.10), когда $keq1$, и (1.11). Этим уравнениям при $\alpha =0$ удовлетворяют величины ${\xi }_1^{\ast },\dots ,{\xi }_{n-1}^{\ast },T^{\ast }$. Соответствующая функциональная матрица
$$\Vert \begin{array}{cccc}\frac{\partial z_2}{\partial {\xi }_1}& \cdots & \frac{\partial z_2}{\partial {\xi }_{n-1}}& \frac{\partial z_2}{\partial T}\\ \cdots \cdots & \cdots & \cdots \cdots & \cdots \cdots \\ \frac{\partial z_{n+1}}{\partial {\xi }_1}& \cdots & \frac{\partial z_{n+1}}{\partial {\xi }_{n-1}}& \frac{\partial z_{n+1}}{\partial T}\end{array}$$

совпадает при $\alpha =0$ с матрицей $W$, которая получается из матрицы
$$Z=\Vert \begin{array}{cc}Y& f^{\ast }\\ \eta & 0\end{array}\Vert$$

вычеркиванием $n$-го столбца и первой строки. В матрице (1.12) $f^{\ast }=f({\xi }^{\ast },0)$, а $\eta =(\partial g/\partial x_1,\dots ,\partial g/\partial x_n)$, где вместо $x$ подставлено ${\xi }^{\ast }$. Если $|W|eq0$, то по теореме о неявных функциях при малых $\alpha$ существуют периодические решения системы (1.7), расположенные на интегральной гиперповерхности $g(x,\alpha )=g^{\ast }$.