В этом параграфе содержатся некоторые утверждения теории дифференциальных уравнений, принадлежащие, в основном, А. Пуанкаре, которые будут использованы нами в дальнейшем.

Рассмотрим аналитическую систему дифференциальных уравнений, определенную в $R^{n}$ :
\[
\dot{x}=f(x), \quad x=\left\|\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}
\end{array}\right\|, \quad f=\left\|\begin{array}{c}
f_{1} \\
\vdots \\
f_{n}
\end{array}\right\| .
\]

Эта система имеет единственное аналитическое решение $x(t, \xi)$ такое, что
\[
x(0, \xi)=\xi, \quad \xi=\left\|\begin{array}{c}
\xi_{1} \\
\vdots \\
\xi_{\eta}
\end{array}\right\|
\]
(см., например, [3]). Предположим, что при $\xi=\xi^{*}$ решение системы (1.1) периодическое с периодом $T^{*}$. Частные производные
\[
x_{k l}=\left.\frac{\partial x_{k}}{\partial \xi_{l}}\right|_{\xi=\xi} \text {. }
\]

удовлетворяют линейной системе
\[
\dot{x}_{k l}=\sum_{r=1}^{n} \frac{\partial f_{k}}{\partial x_{r}} x_{r l},
\]

где в выражении для $\partial f^{k} / \partial x_{r}$ вместо $x$ подставлена периодическая функция $x\left(t, \xi^{*}\right)$. Введем матрицу $n$-го порядка
\[
F=\left\|\frac{\partial f_{k}}{\partial x_{r}}\right\| .
\]

Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами
\[
\dot{y}=F y, \quad y=\left\|\begin{array}{c}
y_{1} \\
\vdots \\
y_{n}
\end{array}\right\|
\]

называются уравнениями в вариациях периодического решения $x\left(t, \xi^{*}\right)$.

Матрица
\[
X(t)=\left\|x_{k l}(t)\right\|
\]

является, очевидно, фундаментальной матрицей линейной системы (1.2), причем $X(0)=E$, где $E$ – единичная матрица $n$-го порядка. Матрица $X\left(T^{*}\right)$ называется матрицей монодромии системы линейных уравнений (1.2). Собственные числа $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ матрицы $X\left(T^{*}\right)$ называются мультипликаторами, а величины $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}: \lambda_{k}=\exp \left(\alpha_{k} T^{*}\right)$ – характеристическими показателями системы (1.2). Числа $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$ называются также характеристическими показателями периодического решения $x\left(t, \xi^{*}\right)$. Система (1.1) предполагается автономной, поэтому хотя бы один из характеристических показателей равен нулю. Действительно, в этом случае
\[
\left\|X\left(T^{*}\right)-E\right\| f^{*}=0, \quad f^{*}=f\left(\xi^{*}\right)
eq 0 .
\]

Мы будем, в основном, иметь дело с периодическими решениями автономных канонических систем
\[
\begin{array}{c}
\frac{d x}{d t}=\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial y}, \quad \frac{d y}{d t}=-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial x} \\
\mathscr{H}=\mathscr{H}(x, y), \quad x=\left\|\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}
\end{array}\right\|, \quad y=\left\|\begin{array}{c}
y_{1} \\
\vdots \\
y_{n}
\end{array}\right\| .
\end{array}
\]

Для таких систем справедлива
Теорема Пуанкаре-Ляпунова. Характеристический многочлен $p(\lambda)$ матрицы монодромии периодического решения гамильтоновой системы (1.4) возвратный: $(p) \lambda=$ $=\lambda^{2 n} p(1 / \lambda)$.
Доказательство можно найти, например, в [4, 20].
Значит, если $\lambda$ – корень характеристического уравнения $p(x)=0$, то $1 / \lambda-$ корень того же уравнения. Так как многочлен $p(x)$ имеет действительные коэффициенты, то его корнями являются также числа $\bar{\lambda}$ и $1 / \bar{\lambda}$.

Отсюда, в частности, следует, что характеристические показатели периодического решения автономной гамильтоновой системы попарно равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. При этом два из них всегда равны нулю.

В случае $n=2$ оставшиеся характеристические показатели либо оба действительны, либо оба чисто мнимы. Если они отличны от нуля, то периодическое решение называется невырожденным. Невырожденное решение с действительными характеристическими показателями называется гиперболическим, а с чисто мнимыми – эллиптическим. Эллиптическое решение устойчиво в первом приближении, а гиперболическое неустойчиво.

Предположим теперь, что система (1.1) имеет $m(0 \leqslant m \leqslant$ $\leqslant n-1)$ первых интегралов $\mathscr{F}_{1}(x), \ldots, \mathscr{F}_{m}(x)$, аналитических в $\mathbf{R}^{n}$. Докажем, что если в точках траектории периодического решения $x\left(t, \xi^{*}\right)$ ранг матрицы
\[
\left\|\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \mathscr{F}_{1}}{\partial x_{1}} & \ldots & \frac{\partial \mathscr{F}_{1}}{\partial x_{n}} \\
\ldots \ldots & \ldots & \ldots \ldots \\
\frac{\partial \mathscr{F}_{m}}{\partial x_{1}} & \ldots & \frac{\partial \mathscr{F}_{m}}{\partial x_{n}}
\end{array}\right\|
\]

равен $m$, то по меньшей мере $m+1$ характеристических показателей этого решения равны нулю.

Действительно, так как функция $\mathscr{F}_{k}(x)$ – первые интегралы, то
\[
\mathscr{F}_{k}\left(x\left(t, \xi^{*}\right)\right) \equiv \mathscr{F}_{k}\left(\xi^{*}\right), \quad k=1, \ldots, m .
\]

Следовательно,
\[
\frac{\partial \mathscr{F}_{k}}{\partial x_{1}} x_{1 l}+\ldots+\frac{\partial \mathscr{F}_{k}}{\partial x_{n}} x_{n l}=\frac{\partial \mathscr{F}_{k}}{\partial x_{l}} \quad(l=1, \ldots, n) .
\]

Положим $t=T^{*}$. Тогда $x\left(T^{*}, \xi^{*}\right)=\xi^{*}$ и равенство (1.5) можно представить в следующей матричной форме:
\[
\left\|X\left(T^{*}\right)-E\right\| \eta_{k}=0, \quad \eta_{k}=\operatorname{grad} \mathscr{F}_{k}, \quad k=1, \ldots, m .
\]

С другой стороны,
\[
\frac{d \mathscr{F}_{k}}{d t}=\left(\eta_{k}, f\right) \equiv 0 .
\]

Так как $f\left(\xi^{*}\right)=f^{*}
eq 0$, то из этих равенств вытекает линейная независимость векторов $\eta_{1}, \ldots, \eta_{n}, f^{*}$. Из формул (1.3) и (1.6) следует, что $\eta_{1}, \ldots, \eta_{n}, f^{*}$ – собственные векторы матрицы
\[
Y=\left\|X\left(T^{*}\right)-E\right\|
\]

с собственными значениями $\lambda=1$. Следовательно, по крайней мере $m+1$ ее характеристических чисел (мультипликаторов) равны единице. Это и требовалось доказать.

В качестве следствия получаем следующее утверждение: если $n-m$ характеристических показателей решения $x\left(t, \xi^{*}\right)$ отличны от нуля, то на его траектории интегралы $\mathscr{F}_{1}, \ldots, \mathscr{F}_{m}$ зависимы. В частности, на траекториях невырожденных периодических решений двумерной гамильтоновой системы интеграл энергии $\mathscr{H}$ и любой первый интеграл $\mathscr{F}$ зависимы.

Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений
\[
\dot{x}=f(x, \alpha),
\]

правая часть которой аналитична в прямом произведении $\mathbf{R}^{n} \times\left(-\varepsilon, \varepsilon ; x \in \mathbf{R}^{n}, \alpha \in(-\varepsilon, \varepsilon)\right.$. При всех значениях параметра $\alpha \in(-\varepsilon, \varepsilon)$ существует аналитическое решение $x(t, \xi, \alpha)$ системы (1.7) такое, что $x(0, \xi, \alpha)$ для всех $\alpha$. Предположим, что решение $x\left(t, \xi^{*}, 0\right)$ – периодическое с периодом $T^{*}$. Будет ли «возмущенная» система (1.7) допускать периодические решения, если $\alpha
eq 0$, но мало?

Для рассматриваемых ниже приложений особый интерес представляет случай, когда система (1.7) имеет первый интеграл $g(x, \alpha)$, аналитический в $\mathbf{R}^{n} \times(-\varepsilon, \varepsilon)$.

Без ущерба общности можно считать, что $f_{n}\left(\xi^{*}, 0\right)
eq 0$. Так как
\[
\frac{\partial g}{\partial x_{1}} f_{1}+\ldots+\frac{\partial g}{\partial x_{n}} f_{n} \equiv 0
\]

то одна из производных
\[
g_{r}=\left.\frac{\partial g}{\partial x_{r}}\right|_{\xi=\xi^{*}, \alpha=0} \quad(r=1, \ldots, n-1)
\]

отлична от нуля. Пусть, например, $g_{1}
eq 0$.

Введем в рассмотрение матрицу $V$, которая получается из матрицы $Y$ «порождающего» решения $x\left(t, \xi^{*}, 0\right)$ вычеркиванием последнего столбца и первой строки.

Теорема (А. Пуанкаре). Если $V
eq 0$, то при достаточно малых $\alpha$ существует аналитическая функция $\xi(\alpha)$, $\xi(0)=\xi^{*}$, такая, что решение $x(t, \xi(\alpha), \alpha)$ системы (1.7) периодическое с периодом $T^{*}$ «порождающего решения $x\left(t, \xi^{*}, 0\right)$.
ДоКазательство.
Условие периодичности решения $x(t, \xi, \alpha)$ имеет следующий вид:
\[
z_{k}(\xi, \alpha)=x_{k}\left(T^{*}, \xi, \alpha\right)-\xi_{k}=0, \quad k=1, \ldots, n .
\]

Полагая $\xi_{n}=\xi_{n}^{*}$, найдем $n-1$ функций $\xi_{1}(\alpha), \ldots, \xi_{n-1}(\alpha)$, удовлетворяющих уравнениям
\[
z_{k}(\xi, \alpha)=0, \quad k=2, \ldots, n .
\]

Эти уравнения, очевидно, удовлетворяются, если положить $\alpha=0, \xi_{k}=\xi_{k}^{*}(k=2, \ldots, n)$. Соответствующая функциональная матрица
\[
\left\|\begin{array}{ccc}
\frac{\partial z_{2}}{\partial \xi_{1}} & \cdots & \frac{\partial z_{2}}{\partial \xi_{n-1}} \\
\cdots \cdots & \cdots & \cdots \cdots \\
\frac{\partial z_{n}}{\partial \xi_{1}} & \cdots & \frac{\partial z_{n}}{\partial \xi_{n-1}}
\end{array}\right\|
\]

совпадает с матрицей $V$. Так как $|V|
eq 0$, то по теореме о неявных функциях существуют аналитические решения $\xi_{k}(\alpha)$, $\xi_{k}(0)(k=1, \ldots, n-1)$ системы (1.8). Осталось показать, что при этом выполнено уравнение $z_{1}(\xi, \alpha)=0$. Действительно, по теореме о среднем значении
\[
g\left(x\left(T^{*}, \xi, \alpha\right), \alpha\right)-g(\xi, \alpha)=\left.\frac{\partial g}{\partial x_{1}}\right|_{x=\tilde{x}} z_{1}(\xi, \alpha)=0,
\]

где $\widetilde{x}_{k}=\xi_{k}(k
eq 1)$ и $\widetilde{x}_{1}$ лежит между $\xi_{1}$ и $x_{1}\left(T^{*}, \xi, \alpha\right)$. Так как $g_{1}=\partial g / \partial x_{1}
eq 0$ при $\xi=\xi^{*}$ и $\alpha=0$, то при малых $\alpha$ будем иметь $\partial g / \partial x_{1}
eq 0$. Но тогда из (1.9) вытекает, что $z_{1}(\xi, \alpha)=0$.

Для некоторых целей выгодно искать периодические решения «возмущенной» задачи, расположенные на фиксированном уровне $g(x, \alpha)=g^{*}=g\left(\xi^{*}, 0\right)$. Тогда к уравнениям периодичности
\[
z_{k}(T, \xi, \alpha)=x_{k}(T, \xi, \alpha)-\xi_{k}=0 \quad(k=1, \ldots, n)
\]

надо добавить уравнение
\[
z_{n+1}(\xi, \alpha)=g(\xi, \alpha)-g^{*}=0 .
\]

При этом в уравнениях (1.10) период $T$ является неизвестной функцией $\alpha$.

Полагая $\xi_{n}=\xi_{n}^{*}$, ищем решение $\xi_{1}(\alpha),, \ldots, \xi_{n-1}(\alpha), T(\alpha)$ уравнений (1.10), когда $k
eq 1$, и (1.11). Этим уравнениям при $\alpha=0$ удовлетворяют величины $\xi_{1}^{*}, \ldots, \xi_{n-1}^{*}, T^{*}$. Соответствующая функциональная матрица
\[
\| \begin{array}{cccc}
\frac{\partial z_{2}}{\partial \xi_{1}} & \cdots & \frac{\partial z_{2}}{\partial \xi_{n-1}} & \frac{\partial z_{2}}{\partial T} \\
\cdots \cdots & \cdots & \cdots \cdots & \cdots \cdots \\
\frac{\partial z_{n+1}}{\partial \xi_{1}} & \cdots & \frac{\partial z_{n+1}}{\partial \xi_{n-1}} & \frac{\partial z_{n+1}}{\partial T}
\end{array}
\]

совпадает при $\alpha=0$ с матрицей $W$, которая получается из матрицы
\[
Z=\left\|\begin{array}{cc}
Y & f^{*} \\
\eta & 0
\end{array}\right\|
\]

вычеркиванием $n$-го столбца и первой строки. В матрице (1.12) $f^{*}=f\left(\xi^{*}, 0\right)$, а $\eta=\left(\partial g / \partial x_{1}, \ldots, \partial g / \partial x_{n}\right)$, где вместо $x$ подставлено $\xi^{*}$. Если $|W|
eq 0$, то по теореме о неявных функциях при малых $\alpha$ существуют периодические решения системы (1.7), расположенные на интегральной гиперповерхности $g(x, \alpha)=g^{*}$.