1. Уравнения Дуффинга. Мы будем рассматривать колебания одномерной системы, возбуждаемой внешней гармонической силой. Они описываются уравнением
\[
\ddot{x}+f(x)=\varepsilon \sin \lambda t ; \quad \varepsilon, \lambda=\text { const. }
\]

Восстанавливающая сила потенциальна; потенциальная энергия задается формулой
\[
V(x)=\int_{0}^{x} f(\xi) d \xi .
\]

Будем считать, что $x=0$ — простой нуль аналитической функции $f$, причем $f^{\prime}(0)>0$. Тогда в окрестности точки $x=0$ графию потенциала $V$ будет иметь вид параболы с ветвями, направленными вверх. Таким образом, $x=0$ — устойчивое равновесие невозмущенной системы.

Нас будут интересовать два основных примера, рассмотренных впервые Дуффингом в его работе 1918 года [1]:
а) $f=\omega_{0}^{2} x+\alpha x^{3}$, при $\alpha>0(\alpha<0)$ говорят о жесткой (мягкой) восстанавливающей силе,
б) $f=\omega_{0}^{2} x \sin x$ (маятник); здесь $V=\omega_{0}^{2} \cos x+\omega_{0}^{2}$.
Уравнения второго порядка (1.1) можно представить в виде канонических дифференциальных уравнений Гамильтона:
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial y}, \quad \dot{y}=-\frac{\partial H}{\partial y} ; \quad H=H_{0}+\varepsilon H_{1}, \\
H_{0}=\frac{y^{2}}{2}+V(x), \quad H_{1}=x \sin \lambda t .
\end{array}
\]

При $\varepsilon=0$ будем иметь интегрируемую систему с одной степенью свободы. Различные типы фазовых портретов изображены на рис. 1.

Тип $a$ характеризует область колебательных движений (например, при жесткой восстанавливающей силе). В случае в имеется пара сдвоенных сепаратрис; соответствующие двоякоасимптотические решения Пуанкаре назвал гетероклиническими (такой фазовый портрет имеет, например, система Дуффинга при мягкой восстанавливающей силе). Петля сепаратрисы в случае б является траекторией гомоклинических решений (по Пуанкаре). Фазовый портрет такого типа получится при добавлении квадратичного по $x$ слагаемого в выражение для восстанавливающей силы.

2. Периодические решения. Поиску периодических решений уравнения (1.1) посвящена обширная литература. Обычно для этой цели применяют методы теории возмущений или используют функциональные и вариационные методы. Ссылки на некоторые наиболее известные работы можно найти, например, в книгах $[2,3]$. Укажем также некоторые более поздние работы [4]-[8].

Мы будем рассматривать случай, когда параметр $\varepsilon$ мал. Для поиска периодических решений уравнения (1.1) можно воспользоваться методом малого параметра, разлагая эти решения в сходящиеся ряды по степеням $\varepsilon$. Представление уравнения (1.1) в виде гамильтоновой системы (1.2) позволяет воспользоваться теорией Пуанкаре рождения пар невырожденных периодических решений, развитой им в главах I и III знаменитых «Новых методов небесной механики» [9].

Прежде всего отметим, что критическим точкам потенциальной энергии при малых значениях $\varepsilon$ отвечают невырожденные периодические решения полной системы. Причем, точњи логального минимума поролдают решенип эллиптического типа (их мультипликаторы лежат на единичной окружности), а точки максимума порождают решения гиперболического типа (их мультипликаторы вещественные и отличны от 1). Период таких решений равен $2 \pi / \lambda$; они часто называются гармоническими.

Периодические решения в общем случае имеют период $2 \pi n / \lambda$ ( $n$ целое); при этом система совершает ровно $m$ полных колебаний. Это субгармонические решения типа $\{m, n\}$. Числа $m$ и $n$ можно считать взаимно простыми. Существуют ли субгармоники, сколько их и что можно сказать об их устойчивости при малых $\varepsilon
eq 0$.

Чтобы ответить на эти вопросы, перейдем к переменным действие-угол $J, \varphi \bmod 2 \pi$ в невозмущенной системе с одной степенью свободы (см., например, [10]). Нас будет интересовать, в основном, колебательная область на фазовой плоскости (возможно, ограниченная сепаратрисами), в которой такие переменные можно ввести в целом:
\[
\begin{array}{l}
J=\frac{1}{2 \pi} \oint \sqrt{2\left[H_{0}-V(x)\right]} d x, \\
\varphi=\omega(J) \int_{0}^{x} \frac{d \xi}{\sqrt{2\left[H_{0}-V(\xi)\right]}} .
\end{array}
\]

Из (2.1) получаем, что $H_{0}=H_{0}(J)$,
\[
\omega=\frac{d H}{d J}
\]
— частота свободных колебаний невозмущенной системы, координата $x$ находится из (2.2) обращением интеграла. Например, для системы Дуффинга (пример а) переход к переменным действие-угол осуществляется с помощью эллиптических функций.

В новых переменных
\[
\begin{aligned}
H & =H_{0}(J)+\varepsilon H_{1}(J, \varphi, t), \\
H_{1} & =g(J, \varphi) \sin \lambda t .
\end{aligned}
\]

Функция $g$ — это координата $x$, представленная в переменных действие-угол. Ее можно разложить в ряд Фурье:
\[
g=\sum_{k \in Z} g_{k}(J) e^{i k \phi} .
\]

В невозмущенной задаче резонансные режимы колебаний типа $\{m, n\}$ определяются равенствами
\[
\omega\left(J_{0}\right)=\frac{m}{n} \lambda, \quad \varphi=\omega\left(J_{0}\right) t+\varphi_{0} .
\]

Первое уравнение определяет возможные резонансные значения переменной действия.

Метод Пуанкаре основан на анализе возмущающей функции $H_{1}(J, \varphi, t)$ на резонансных решениях (2.4) невозмущенной системы:
\[
t \rightarrow H_{1}\left(J_{0}, \omega\left(J_{0}\right) t+\varphi_{0}, t\right) .
\]

Это $2 \pi / \lambda$-периодическая функция $t$. Ее временное среднее
\[
\left\langle H_{1}\right\rangle=\lim _{\tau \rightarrow \infty} \frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} H_{1} d \tau
\]

будет, очевидно, $2 \pi$-периодической функцией начальной фазы $\varphi_{0}$. Ввиду периодичности, функция $\left\langle H_{1}\right\rangle$ имеет локальные максимумы и минимумы. Нас интересуют невырожденные точки экстремума, в которых отлична от нуля вторая производная. Пуанкаре доказал, что если невозмущенная система невырождена ( $d^{2} H_{0} / d J^{2}
eq 0$ при резонансном значении $J_{0}$ ), то каждой невырожденной критической точке $\varphi_{0}$ усредненной возмущающей функции $\left\langle H_{1}\right\rangle$ отвечают периодические решения (2.4), которые не исчезают при возмущении, а переходят в невырожденные периодические решения полной системы (1.2). Их можно представить в виде рядов по степеням $\varepsilon$, а их мультипликаторы разлагаются в ряды по степеням $\sqrt{\varepsilon}$.

Пуанкаре изучил также вопрос об устойчивости найденных периодических решений в линейном приближении. Оказывается, если
\[
\frac{d^{2} H_{0}}{d J^{2}}\left(J_{0}\right)>0,
\]

то локальным максимумам и минимумам функции $\left\langle H_{1}\right\rangle$ отвечают соответственно гиперболические и эллиптические периодические решения. Если же вторая производная функции $H_{0}$ отрицательна, то свойства устойчивости меняются местами.

Для возмущающей функции из (2.3), очевидно, $\left\langle H_{1}\right\rangle=0$, если $m
eq 1$. Здесь все критические точки вырождены и теория Пуанкаре непосредственно не применима. Пусть $m=1$. Тогда
\[
\left\langle H_{1}\right\rangle=-\frac{g_{n}}{2 i} e^{i n \varphi_{0}}+\frac{g_{-n}}{2 i} e^{-i n \varphi_{0}} .
\]

Поскольку $g_{-n}=\bar{g}_{n}$, то $\left\langle H_{1}\right\rangle$ будет линейной комбинацией $\sin n \varphi_{0}$ и $\cos n \varphi_{0}$ с вещественными коэффициентами: если $g_{n}=-a-b i, g_{-n}=-a+b i$, то
\[
\left\langle H_{1}\right\rangle=a \sin n \varphi_{0}+b \cos n \varphi_{0} .
\]

Все критические точки этой функции невырожденные, если $g_{n}
eq 0$ и $n
eq 0$. Действительно, пусть $\psi$ — вырожденная критическая точка. Тогда
\[
\begin{aligned}
\frac{d\left\langle H_{1}\right\rangle}{d \psi} & =n a \cos n \psi-n b \sin n \psi=0, \\
\frac{d^{2}\left\langle H_{1}\right\rangle}{d \psi^{2}} & =-n^{2} a \sin n \psi-n^{2} b \cos n \psi=0 .
\end{aligned}
\]

Но тогда определитель этой линейной системы $-n^{3}\left(a^{2}+b^{2}\right)$ должен быть равен нулю. Но это не так, согласно нашему предположению.

Таким образом, если $g_{n}
eq 0$, то $2 \pi$-периодическая функция (2.5) имеет на периоде ровно $n$ невырожденных максимумов и $n$ невырожденных минимумов, которые перемежаются между собой. Если невозмущенная система невырождена, то

каждая такая точка порождает периодическое решение возмущенной системы типа $\{1, n\}$. На самом деле разные точки локального максимума (минимума) отвечают одной и той же периодической траектории; они соответствуют лишь различным значениям начальной фазы $\varphi_{0}$. Итак, если $g_{n}
eq 0$, то при малых значениях $\varepsilon$ возмущенные уравнения (1.2) имеют два $2 \pi n / 1$-периодических решения, причем одно из них эллиптическое, а другое — гиперболическое. Гиперболические решения, конечно, неустойчивы по Ляпунову. Достаточные условия устойчивости по Ляпунову эллиптических периодических решений Пуанкаре получены в работе [11] с помощью КАМ-теории. Эти условия выполнены в ситуации общего положения.

Применим эти результаты к уравнениям Дуффинга. Сначала рассмотрим систему из примера $a$. Прежде всего докажем, что при $\alpha
eq 0$ невозмущенная система невырождена. Более точно, знак второй производной $d^{2} H_{0} / d J^{2}$ совпадает со знаком коэффициента $\alpha$ в выражении для восстанавливающей силы. Кстати сказать, при $\alpha
eq 0$ эта система тождественно вырождена.

Дифференцируя равенство (2.1) по $J$, получим формулу для частоты:
\[
\omega=\frac{2 \pi}{\oint \frac{d x}{\sqrt{2\left[H_{0}-V(x)\right]}}} .
\]

Она имеет простой смысл: в знаменателе стоит выражение для периода колебаний. Период $T$ есть функция от энергии $H_{0}$. Дифференцируя (2.6) по $J$, приходим к соотношению
\[
\frac{d^{2} H_{0}}{d J^{2}}=-\frac{2 \pi \omega}{T^{2}} \frac{d T}{d H_{0}} .
\]

Поскольку $\omega>0$, то вторая производная имеет знак противоположный знаку $d T / d H_{0}$. Воспользуемся результатом работы [12]: если функция
\[
\frac{f(x)}{x}
\]

возрастает или убывает с ростом $x$, то функция $H_{0} \rightarrow T\left(H_{0}\right)$ изменяется в противоположном направлении. В нашем случае функция (2.7) есть $\omega_{0}+\alpha x^{2}$. Она возрастает (убывает) при $\alpha>0(\alpha<0)$. Утверндение догазано.

Перейдем теперь к анализу возмущения. В рассматриваемой задаче функция $g$ — это координата $x$, представленная как функция $\varphi$ с помощью соотношения (2.2). Для системы Дуффинга обращение интеграла (2.2) приводит к выводу, что $x$ — это эллиптический синус Якоби с точностью до несущественного постоянного множителя. Воспользуемся классической формулой
\[
\operatorname{sn} u=\frac{2 \pi}{k K} \sum_{s=1}^{\infty} \frac{q^{s-\frac{1}{2}}}{1-q^{2 s-1}} \sin (2 s-1) \frac{\pi u}{2 K} .
\]

Здесь использованы стандартные обозначения (см., например, [13]). Отсюда сразу видно, что коэффициенты $g_{n}$ с нечетными $n$ отличны от нуля при всех значениях переменной действия.

Таким образом, задача о парах периодических решений возмущенной системы сводится к разрешимости алгебраического уравнения (2.4)
\[
\omega(J)=\frac{\lambda}{2 k+1}, \quad k=0,1,2, \ldots
\]

Здесь надо различать случаи жесткой и мягкой восстанавливающей силы. Как уже отмечалось, при $\alpha>0$ с возрастанием энергии (или, что то же самое, с возрастанием переменной $J$ ) период $T=2 \pi / \omega$ монотонно убывает от $2 \pi / \omega_{0}$ до нуля. Следовательно, уравнение (2.8) имеет решения для целых значений $k=0,1, \ldots$, удовлетворяющих неравенству
\[
2 k+1<\lambda / \omega_{0} .
\]

Если же $\alpha<0$, то период $T$ монотонно возрастает от значения $2 \pi / \omega_{0}$ до бесконечности. Следовательно, в этом случае неравенство (2.9) заменяется на противоположное
\[
2 k+1>\lambda / \omega_{0} .
\]

Здесь при возмущении рождается бесконечно много различных пар невырожденных долгопериодических решений.

В случае жесткой восстанавливающей силы локальным максимумам (минимумам) усредненного возмущения отвечают гиперболические (соответственно, эллиптические) периодические решения. Для мягкой силы свойства устойчивости меняются на противоположные.

Эти выводы полезно сравнить с результатами работы [14], в которой при выполнении неравенств (2.9) или (2.10) доказано существование одного периодического решения с частотой (2.8). Метод Пуанкаре позволяет удвоить количество периодических решений и, что даже более важно, сделать заключение об их устойчивости. Любопытно отметить, что в книге Лефшеца [3] (в которой изложена работа [14] в несколько более общем виде) имеется ссылка на классическое сочинение Пуанкаре [9]. Специалистам по теории колебаний следовало бы более внимательно изучать работы Пуанкаре. Это замечание относится и к работам по синхронизации динамических систем (см., например, [15]): сформулированные в этой теории экстремальные свойства синхронных (резонансных) движений часто оказываются следствием результатов Пуанкаре о рождении периодических решений многомерных гамильтоновых систем.

В задаче о вынужденных колебаниях маятника (пример б) функция (2.7), очевидно, убывает и, следовательно, частота $\omega(J)$ убывает с ростом $J$. В частности, $d^{2} H_{0} / d J^{2}<0$. Можно показать, что в этой задаче ряд Фурье для функции $g$ содержит все гармоники с ненулевыми коэффициентами, и поэтому возмущенная задача имеет бесконечное число пар невырожденных $2 \pi n / \lambda$-периодических решений, где $n>\lambda / \omega_{0}$.

В заключение этого параграфа сделаем важное замечание. Каю заметил В.И.Арнольд (см. [16], добавление 9), если для заданных $m$ и $n$ уравнение
\[
\omega(J)=\frac{m \lambda}{n}
\]

имеет решение, то при малых значениях параметра $\varepsilon$ уравнения (1.2) имеют не менее двух различных периодических решений типа $\{m, n\}$. Доказательство основано на примене-

нии теоремы А.Н.Колмогорова о сохранении сильно нерезонансных инвариантных торов и геометрической теоремы Пуанкаре о неподвижных точках отображения кольца. При этом остается неясным вопрос об аналитической зависимости этих решений от параметра $\varepsilon$, а также ничего определенного нельзя сказать об их устойчивости.

Аналогичные соображения использованы в [8] для доказательства существования бесконечного числа периодических решений различных типов при фиксированных конечных значениях параметра $\varepsilon$. В [8] малый параметр вводится искусственно в области, где потенциальная энергия много меньше кинетической. Периодические решения, полученные в работах [4]-[7], составляют половину периодических решений, существование которых установлено в [8] методами гамильтоновой механики.

Другой конструктивный подход к поиску новых периодических решений основан на использовании подходящих канонических замен переменных $J, \varphi \bmod 2 \pi \rightarrow \widetilde{J}, \widetilde{\varphi} \bmod 2 \pi($ зависящих от $\varepsilon$ ), после которых гамильтониан принимает вид
\[
H=H_{0}(\widetilde{J})+\varepsilon H_{1}(\widetilde{J})+\varepsilon^{2} H_{2}(\widetilde{J}, \widetilde{\varphi}, t)+o\left(\varepsilon^{2}\right) .
\]

Ряд Фурье функции $H_{2}$, как правило, содержит новые нетривиальные гармоники, и поэтому метод Пуанкаре (после несложной модификации) приводит к появлению новых субгармонических решений. Примеры эффективного использования этой идеи можно найти в книге $[16$, гл. IV].

3. Расщепление сепаратрис и периодические решения. Предположим, что фазовый портрет невозмущенной системы содержит петлю сепаратрис или пару сдвоенных сепаратрис. Оказывается, при малых значениях $\varepsilon
eq 0$ эти сепаратрисы, как правило, расщепляются (перестают быть сдвоенными), и это явление, обнаруженное Пуанкаре, приводит к появлению областей с квазислучайным поведением траекторий (см. $[9,10,16]$ ). Как показано в $[17]$, расщепление сепаратрис тесно связано с рождением бесконечного числа пар различных долгопериодических решений, одно из которых эллиптическое, а другое — гиперболическое.

Пусть
\[
t \rightarrow x \alpha(t), \quad y \alpha(t), \quad-\infty<t<+\infty
\]
— двоякоасимптотическое решение невозмущенной задачи. Ввиду автономности, в (3.1) время $t$ можно заменить на $t-\alpha$, $\alpha$ — произвольный вещественный параметр.

Чтобы сформулировать условия расщепления сепаратрис, введем функцию
\[
\begin{aligned}
I(\alpha) & =\left.\int_{-\infty}^{+\infty}\left\{H_{0}, H_{1}\right\}\right|_{x_{\alpha}, y_{\alpha}} d t= \\
& =\int_{-\infty}^{+\infty} \dot{x}_{\alpha}(t-\alpha) \sin \lambda t d t=\int_{-\infty}^{+\infty} \dot{x}_{\alpha}(t) \sin \lambda(t+\alpha) d t
\end{aligned}
\]

Видно, что $I-2 \pi / \lambda$-периодическая функция от $\alpha$. Оказывается, если $I(\alpha)
eq 0$, то возмущенные сепаратрисы расщепляются. Более того, если функция $\alpha \rightarrow I(\alpha)$ имеет простые нули, то расщепленные сепаратрисы пересекаются, причем трансверсально (см. [16]). Картины трансверсально пересекающихся сепаратрис показаны на рис. 2.
В нашем случае, согласно (3.2),
\[
\int_{0}^{2 \pi / \lambda} I(\alpha) d \alpha=0 .
\]

Поэтому функция $I$ обязательно имеет нули. Вопрос в том, когда среди них имеются простые нули. Справедлива

Теорема. Функция (3.2) имеет на периоде ровно два простых нуля для всех значений $\lambda \in R$ кроме, быть может, счетного множества изолироеанных точек.

Действительно, формулу (3.2) можно представить в следующем виде:
\[
\begin{array}{c}
I(\alpha)=c_{1} \sin \lambda \alpha+c_{2} \cos \lambda \alpha \\
c_{1}=\int_{-\infty}^{+\infty} \dot{x}_{a}(t) \cos \lambda t d t, \quad c_{2}=\int_{-\infty}^{+\infty} \dot{x}_{a}(t) \sin \lambda t d t .
\end{array}
\]

Следовательно,
\[
c_{1}(\lambda)-i c_{2}(\lambda)=\int_{-\infty}^{+\infty} \dot{x}_{\alpha}(t) e^{-i \lambda t} d t
\]

преобразование Фурье функции $t \rightarrow \dot{x}_{a}(t)$. Поскольку функция $t \rightarrow \dot{x}_{a}(t)$ аналитическая и экспоненциально быстро стремится к нулю при $t \rightarrow \pm \infty$ (теорема Ляпунова), то $c_{1}-i c_{2}$ также аналитически зависит от $\lambda$ (теорема Пэли-Винера).

Покажем, что $c_{1}^{2}+c_{2}^{2}
eq 0$. Действительно, в противном случае по теореме обращения преобразования Фурье
\[
\dot{x}_{\alpha}(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty}\left(c_{1}(\lambda)-i c_{2}(\lambda)\right) e^{-i \lambda t} d \lambda
\]

будет иметь $x_{a}(t) \equiv$ const. Однако асимптотические решения не сводятся к равновесиям. Ввиду аналитичности, $c_{1}^{2}(a)+c_{2}^{2}(a)=$ $=0$ лишь для дискретного набора частот $\lambda$. Согласно (3.3), для оставшихся значений $\lambda$ функция $I(\alpha)$ имеет на периоде два простых нуля. Теорема доказана.

Исключительное множество значений $\lambda$, о котором идет речь в теореме, не пусто. Оно содержит точку $\lambda=0$.

В работе [17] получен следующий результат о рождении изолированных периодических решений вблизи расщепляющихся сепаратрис в гомоклиническом случае. Если функция $I(\alpha)$ имеет простые нули, то возмущенная система допус-

кает бесконечно много невырожденных периодических решений с частотой
\[
\omega=\lambda / n,
\]

где $n$ — любое достаточно большое целое число ( $n \geqslant n_{0}$ ).
Доказательство этой теоремы основано на проверке выполнения всех условий теоремы Пуанкаре о рождении изолированных резонансных решений, если выполнено неравенство (3.4). При этом начальные фазы порождающих решений стремятся к нулю функции $I$, когда $n \rightarrow \infty$.

В теореме о расщеплении сепаратрис утверждается, что функция $I(\alpha)$ имеет на периоде два простых нуля (в которых $I^{\prime}
eq 0$ ). Пусть $\alpha_{0}$ — простой нуль и $\varepsilon I^{\prime}\left(\alpha_{0}\right)>0$. Тогда периодические решения, о которых идет речь в теореме из работы [17], будут гиперболическими и, следовательно, неустойчивыми. Если же $\varepsilon I^{\prime}\left(\alpha_{0}\right)<0$, то получим бесконечное семейство эллиптических периодических решений. С помощью результата работы [11] С. А. Довбыш показал, что при выполнении дополнительного условия
\[
\left[5\left(I^{\prime \prime}\right)^{2}-3 I^{\prime} I^{\prime \prime \prime}\right]\left(\alpha_{0}\right)
eq 0
\]

эти эллиптические решения устойчивы по Ляпунову для малых $\varepsilon$ [18]. Им же доказано, что найдется такая постоянная $c>0$, что с возрастанием $|\varepsilon|<c / n$ мультипликаторы $\mu, \mu^{-1}$ периодического решения Пуанкаре, появляясь из точки $\mu=$ $=\mu^{-1}=1$ при $\varepsilon=0$, либо монотонно движутся в противоположных направлениях положительной вещественной полуоси (когда $\varepsilon I^{\prime}\left(\alpha_{0}\right)>0$ ), либо обегают единичную окружность на комплексной плоскости, встречаются в точке $\mu=\mu^{-1}=-1$ и затем расходятся в противоположных направлениях отрицательной вещественной полуоси (когда $\varepsilon I^{\prime}\left(\alpha_{0}\right)<0$ ), становясь неустойчивыми. При $|\varepsilon| \geqslant c / n$ монотонный характер движения мультипликаторов может нарушиться.

Важно отметить, что предположение о наличии петли сепаратрисы является существенным. В гетероклиническом случае (например, в системе Дуффинга с мягкой восстанавливающей силой) теорема Пуанкаре может давать лишь периодические решения с частотой (3.4), где $n$ пробегает нечетные числа.