Рассмотрим каноническую систему дифференциальных уравнений с гамильтонианом
\[
\begin{aligned}
\mathscr{H}(I, \varphi, \mu) & =\mathscr{H}_{0}(I)+\mu \mathscr{H}_{1}(I, \varphi)+\ldots, \\
I & =\left(I_{1}, I_{2}\right), \quad \varphi=\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Функция $\mathscr{H}(i, \varphi, \mu)$ предполагается действительной аналитической функцией в прямом произведении $D \times \mathbf{T}^{2}\{\varphi \bmod 2 \pi\} \times$ $\times(-\varepsilon, \varepsilon)\left(D-\right.$ область в $\left.\mathbf{R}^{2}\left\{\boldsymbol{I}_{1}, \boldsymbol{I}_{2}\right\}\right)$.

Предположим, что при фиксированных $I \in D, \mu \in(-\varepsilon, \varepsilon)$ гамильтониан (1.1) продолжается до однозначной аналитической функции по переменным $\varphi_{1}, \varphi_{2}$ в прямом произведении

комплексных плоскостей $\mathbf{C} \times \mathbf{C}$. При этом не исключается наличие особых точек у функции (1.1) при комплексных значениях $\varphi_{1}, \varphi_{2}$.

Введем некоторые обозначения. Пусть $V$ — компактная подобласть $D$ и $
u>0$. Тогда $\Delta(V,
u)=\left\{I: I=I^{\prime}+i I^{\prime \prime}, I^{\prime} \in V\right.$, $\left.\left|I^{\prime \prime}\right|<
u\right\}$. Если $V^{\prime} \subset V$ и $
u^{\prime}<
u$, то $\Delta\left(V^{\prime},
u^{\prime}\right) \subset \Delta(V,
u)$. Положим $\Pi(\rho)=\left\{\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right) \in \mathbf{C} \times \mathbf{C}:\left|\operatorname{Im} \varphi_{k}\right|<\rho ; k=1,2\right\}$.
Все решения невозмущенной системы
\[
I=I^{0}, \quad \varphi=\varphi^{0}+\omega t \quad\left(\omega(I)=\frac{\partial \mathscr{H}_{0}}{\partial I}\right)
\]

являются однозначными функциями комплексного переменного $t \in \mathbf{C}$. Однако решения возмущенных уравнений, когда $\mu
eq 0$, в общем случае уже неоднозначны.

Рассмотрим на комплексной плоскости времени $t \in \mathbf{C}$ замкнутый непрерывный контур $\Gamma$ и его образ $\gamma$ при отображении $t \rightarrow \mathbf{C} \times \mathbf{C}(t \in \Gamma)$ согласно формуле
\[
\varphi(t)=\varphi^{0}+\omega\left(I^{0}\right) t \quad\left(I^{0} \in D, \varphi^{0} \in \mathbf{T}^{2}\right) .
\]

Предположим, что функция Гамильтона $\mathscr{H}(I, \varphi, \mu)$ аналитична в прямом произведении $V \times \Omega \times(-\varepsilon, \varepsilon)$, где $V$ — некоторая компактная окрестность точки $I^{0} \in D, \Omega$ — связная область в $\mathbf{C} \times \mathbf{C}, \Pi(s) \subset \Omega \subset \Pi(S)(0<s<S)$, содержащая непрерывную кривую $\gamma$. Если $\varphi \in \Omega$, то
\[
\mathscr{H}(I, \varphi+2 \pi, \mu)=\mathscr{H}(I, \varphi, \mu) .
\]

Действительно, это равенство справедливо для действительных значений $\varphi$. В общем случае, когда $\varphi \in \Omega$, оно вытекает из связности $\Omega$ и единственности аналитического продолжения. Заметим, что когда $\varphi \in \Omega, \mu \in(-\varepsilon, \varepsilon)$, функция $\mathscr{H}(I, \varphi, \mu)$ аналитична по переменным $I_{1}, I_{2}$ в области $\Delta(V,
u)$, если $
u$ достаточно мало.

Нам потребуется теорема А. Пуанкаре из аналитической теории дифференциальных уравнений, касающаяся разложения решений в ряд по степеням малого параметра. Рассмот-

рим аналитическую систему дифференциальных уравнений
\[
\dot{z}=f(z, \mu), z \in \mathbf{C}^{n}, \quad f=\left\|\begin{array}{c}
f_{1} \\
\vdots \\
f_{n}
\end{array}\right\|, \quad \mu \in(-\varepsilon, \varepsilon), \varepsilon>0 .
\]

Теорема Пуанкаре. Предположим, что выполнены следующие условия:
1) система (1.2) при $\mu=0$ имеет решение $z(t)$, аналитическое вдоль некоторого непрерывного пути $L$, идущего от точки $t_{0}$ до точки $t_{1}$.
2) функции $f_{k}(z, \mu)(k=1, \ldots, n)$ аналитичны в прямом произведении $E \times(-\varepsilon, \varepsilon)$, где $E$ — некоторая окрестность множества $\left\{z \in \mathbf{C}^{n}: z=z_{0}(t), t \in L\right\}$ в пространстве $\mathbf{C}^{n}$. Тогда существует аналитическое решение системы (1.2)
\[
z(t, \mu)=z_{0}(t)+\mu z_{1}(t)+\ldots
\]

с начальным условием $z\left(t_{0}, \mu\right)=z_{0}\left(t_{0}\right)$ такое, что ряд (1.3) сходится при всех $t \in L$, если $\mu$ достаточно мало.

Доказательство этого утверждения можно найти в $[1$, гл. II; 3].

Если $f=f_{0}(z)+\mu f_{1}(z)+\ldots$, то функция $z_{1}(t)$ удовлетворяет уравнению
\[
\dot{z}_{1}=f_{0}^{\prime}\left(z_{0}(t)\right)+f_{1}\left(z_{0}(t)\right), \quad f_{0}^{\prime}=\partial f_{0} / \partial z .
\]

Следовательно,
\[
z_{1}(t)=\int_{t_{0}}^{t}\left[f^{\prime}\left(z_{0}(t)\right)+f_{1}\left(z_{0}(t)\right)\right] d t,
\]

причем этот интеграл вычисляется вдоль пути $L$.
Согласно теореме Пуанкаре решения возмущенных канонических уравнений с гамильтонианом (1.1) можно разложить в степенные ряды по $\mu$;
\[
\begin{array}{c}
I=I^{0}+\mu I^{1}\left(t ; I^{0}, \varphi^{0}\right)+\ldots, \\
\varphi=\varphi^{0}+\omega\left(I^{0}\right) t+\mu \varphi^{1}\left(t ; I^{0}, \varphi^{0}\right)+\ldots
\end{array}
\]

Если $t \in \Gamma$, то эти ряды сходятся при малых значениях параметра $\mu$.

Будем говорить, что аналитическая вектор-функция $f(t)$, $t \in \Gamma$, неоднозначна вдоль $\Gamma$, если она испытывает скачок $\xi
eq 0$ после обхода контура $\Gamma$.

Если, например, функция $I^{1}\left(t ; I^{0}, \varphi^{0}\right)$ неоднозначна вдоль $\Gamma$, то при малых значениях параметра $\mu$ возмущенное решение (1.5) тоже неоднозначно вдоль контура $\Gamma$.

Зафиксируем начальные данные $I^{0}, \varphi^{0}$ и будем непрерывно деформировать контур $\Gamma$ так, что при этом контур $\gamma$ не пересечет ни одной особой точки функции Гамильтона $\mathscr{H}(I, \varphi, \mu)$. Используя теорему Коши, можно показать, что функция $I^{1}\left(t ; I^{0}, \varphi^{0}\right)$ при обходе деформированного контура будет снова изменяться на ту же величину $\xi=\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right)
eq 0$.

Так как решения (1.5) непрерывны по начальным данным, то неоднозначность функции $I^{1}\left(t ; I^{0}, \varphi^{0}\right)$, вдоль контура $Г$ будет иметь место при всех $I=I^{0}$ из некоторой малой области $U \subset D$. При этом скачок $\xi=\xi\left(I^{0}\right)
eq 0$, если $I^{0} \in U$.

Будем говорить, что система канонических уравнений с гамильтонианом (1.1) имеет однозначный интеграл $\mathscr{F}(I, \varphi, \mu)$, если эта функция
1) есть первый интеграл,
2) является действительной аналитической функцией в области $D \times \mathbf{T}^{2} \times(-\varepsilon, \varepsilon)$,
3) при фиксированных значениях $I, \mu$ однозначна по переменным $\varphi_{1}, \varphi_{2}$ в прямом произведении $\mathbf{C} \times \mathbf{C}$.

Очевидно, что одним из однозначных интегралов является функция $\mathscr{H}$. Подчеркнем, что не исключается наличие особых точек функции $\mathscr{F}$ при комплексных значениях переменных $\varphi_{1}, \varphi_{2}$.

Теорема 1. Предположим, что невозмущенная система невырождена, т.е. гессиан $\partial^{2} \mathscr{H}_{0} / \partial I^{2}
ot \equiv 0$ в области $D$ и при некоторых $I^{0} \in D, \varphi^{0} \in \mathbf{T}^{2}$ функция $I^{1}\left(t ; I^{0}, \varphi^{0}\right)$ неоднозначна вдоль контура $\Gamma$. Тогда каноническая система дифференциальных уравнений с гамильтонианом (1.1) не имеет однозначного интеграла $\mathscr{F}(I, \varphi, \mu)$, независимого от функции (1.1) и аналитического в прямом произведении $W \times \Omega \times(-\varepsilon, \varepsilon)$, где $W$ некоторая окрестность точки $I=I^{0}$.