В этом и следующем параграфах исследуется простейший нетривиальный случай, когда $n=2$. Интеграл $I\left(t, \varphi^{0}\right)$ запишется следующим образом:
\[
I\left(t, \varphi_{1}^{0}, \varphi_{1}^{0}\right)=\int_{0}^{t} f\left(\omega_{1} t+\varphi_{1}^{0}, \omega_{2} t+\varphi_{2}^{0}\right) d t .
\]

Без ущерба общности можно считать, что $\lambda=\bar{f}=0$, так как общий случай сводится к этому, если ввести функцию $g=f-\lambda$.

Пуанкаре показал на примерах $[75,76]$, что в этом случае интеграл $I(t)$ может стремиться к $+\infty$ или $-\infty$ (как $t^{\alpha}$, $0<\alpha<1$ ) и (самый интересный случай) быть неограниченным, но бесконечно много раз подходить сколь угодно близко к своему начальному значению (т.е. к нулю). В связи с этим естественно поставить вопрос о нахождении условий, при которых будет иметь место возвращаемость интеграла $I(t)$ (устойчивость по Пуассону). Первый шаг в его решении исследование дискретного аналога этой задачи, которое позволит установить, что возвращаемость имеет место, если функция $f$ дважды непрерывно дифференцируема.

Предположим, что на окружности $S^{1}\{x \bmod 1\}$ задана непрерывная функция $f(x)$. Пусть $\alpha$ – некоторое иррациональное число. Составим сумму
\[
S_{N}(\alpha, \varphi) \sum_{i=0}^{N-1} f(1 \alpha+\varphi), \quad \varphi \in S^{1} .
\]

Если
\[
\bar{f}=\int_{0}^{1} f(x) d x>0(<0)
\]

то, очевидно, сумма $S_{N}(\alpha, \varphi) \rightarrow+\infty(-\infty)$ при $N \rightarrow \infty$ равномерно по $\varphi$. Всюду ниже будем считать, что $\bar{f}=0$.

Все иррациональные числа разобьем на два класса. Класс $K_{1}$ составляют такие числа $\alpha$, для которых неравенство
\[
|n \alpha-m|<|n|^{-3 / 2}
\]

имеет бесконечно много решений в целых числах. Остальные отнесем к классу $K_{2}$. При $\alpha \in K_{1}$ в неравенстве (2.1) числа $m$ и $n$ можно считать взаимно простыми. Если это не так, то пусть $d(d>1)$ их наибольший общий делитель. Положим $m=d m_{1}, n=d n_{1}$; тогда
\[
\left|n_{1} \alpha-m_{1}\right|<d^{-5 / 2}\left|n_{1}\right|^{-3 / 2}<\left|n_{1}\right|^{-3 / 2} .
\]

Покажем, что таким преобразованием можно получить бесконечное число различных неравенств (2.2) со взаимно простым $m_{1}$ и $n_{1}$. Действительно, предположим, что мы получили только конечное число таких неравенств. При этом, конечно, наибольшие общие делители $d$ чисел $m$ и $n$ не ограничены сверху. Записывая неравенство (2.2) в виде
\[
\left|\alpha-\frac{m_{1}}{n_{1}}\right|<\frac{1}{d^{5 / 2}\left|n_{1}\right|^{5 / 2}},
\]

получим, согласно предположению, что количество различных рациональных чисел $m_{1} / n_{1}$, удовлетворяющих этому неравенству, конечно. Когда $d$ стремится к бесконечности, разность между $\alpha$ и одним из чисел $m_{1} / n_{1}$ становится сколь угодно малой. Значит, $\alpha$ равно этому рациональному числу, что противоречит, однако, иррациональности $\alpha$.

Отметим, что почти все иррациональные числа принадлежат классу $K_{2}$, однако, имеющее меру нуль множество $K_{1} \subset \mathbf{R}$ равномощно $\mathbf{R}$.
Нам потребуется
Лемма 3 (77, с. 30). Ряд
\[
S=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+\varepsilon}\left|n \alpha-m_{n}\right|}
\]

сходится для всех $\varepsilon>0$ и для всех $m_{n} \in \mathbf{Z}$, если $\alpha$ таково, что
\[
|n \alpha-m| \geqslant n^{\frac{K}{1+\varepsilon-\delta}} \quad(K>0, \quad 0<\delta<\varepsilon)
\]

при всех целых т и $n$.

Следствие. Ряд
\[
S=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}\left|n \alpha-m_{n}\right|}
\]

сходится, если $\alpha \in K_{2}$ (полагаем $\varepsilon=K=1, \delta=1 / 2$ ).
Лемма 4. Іри некотором целом $m$
\[
\left|e^{i 2 \pi n \alpha}-1\right| \geqslant 4|n \alpha-m| .
\]

ДоКаЗаТЕЛЬСТВо СЛЕДСТВИЯ ЛЕмМЫ 3.
Исследуем поведение членов ряда $S$, в которых $\mid n \alpha-$ $-m_{n} \mid<1$. Пусть $S_{i}$ – ряды, составленные из членов ряда $S$, в которых суммирование распространяется на индексы $n_{k}^{(i)}$, для которых
\[
1 / 2^{i+1} \leqslant\left|n_{k}^{(i)} \alpha-m_{n_{k}^{(i)}}\right| \leqslant 1 / 2^{i} \quad\left(i=0,1, \ldots ; \quad n_{k+1}^{(i)}>n_{k}^{(i)}\right) .
\]

Очевидно, что если $S_{i}<\infty$ и $\sum_{i} S_{i}<\infty$, то ряд $S$ сходится.
Так как
\[
\left|\alpha\left(n_{k}^{(i)}-n_{k+1}^{(i)}\right)-m\right|<1 / 2^{i-1},
\]

то
\[
\frac{1}{2^{i-1}} \geqslant \frac{1}{N_{i}^{3 / 2}}, \quad \text { где } \quad N_{i}=\min _{0<k<\infty}\left(n_{k+1}^{(i)}-n_{k}^{(i)}\right) .
\]

Следовательно, $N_{i} \geqslant\left(2^{i-1}\right)^{2 / 3}$. Ясно, что $n_{1}^{(i)}>N_{i}, \ldots$, $n_{k}^{(i)}>k N_{i}$. Поэтому
\[
\begin{array}{l}
S_{i}<\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{i+1}}{\left(k N_{i}\right)^{2}}=\frac{2^{i+1}}{N_{i}^{2}} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} \leqslant \\
\leqslant \frac{\pi^{2}}{6} \frac{2^{i+1}}{\left(2^{i-1}\right)^{4 / 3}}=\frac{2 \pi^{2}}{3} \frac{1}{\left(2^{i-1}\right)^{1 / 3}}<\infty .
\end{array}
\]

Так как $\sqrt[3]{2}>1$, то $\sum_{i} S_{i}<\propto$.

ДоКаЗательСТВо ЛЕММЫ 4.
Существует целое $m$ такое, что $-1 / 2 \leqslant n \alpha-m<1 / 2$.

Тогда
$\left|e^{2 \pi i n \alpha}-1\right|=\left|e^{\pi i n \alpha}-e^{-\pi i n \alpha}\right|=2|\sin (\pi n \alpha)|=2 \sin (\pi|n \alpha-m|)$.
Так как $|n \alpha-m|=
u \leqslant 1 / 2$, то $\sin \pi
u \geqslant 2
u$ и, следовательно,
\[
\left|e^{2 \pi i n \alpha}-1\right| \geqslant 4|n \alpha-m| .
\]

Лемма 5. Если $\alpha \in K_{2}$, то существует непрерывная функиия $F(\varphi), \varphi \in S^{1}$, такая, что
\[
S_{N}(\alpha, \varphi)=F(N \alpha+\varphi)-F(\varphi) .
\]

ДоКазательСтво.
Разложим функцию $f$ в сходящийся ряд Фурье
\[
f(x)=\sum_{-\infty}^{\infty} f_{n} e^{i 2 \pi n x} \quad\left(\left|f_{n}\right| \leqslant \frac{c}{|n|^{2}}, c>0\right) .
\]

Тогда
\[
S_{N}(\alpha, \varphi)=\sum_{k=0}^{N-1} \sum_{-\infty}^{\infty} f_{n} e^{i 2 \pi n(k \alpha+\varphi)}=\sum_{-\infty}^{\infty} f_{n} e^{i 2 \pi n \varphi} \frac{e^{i 2 \pi n N \alpha}-1}{e^{i 2 \pi n \alpha}-1} .
\]

Согласно леммам 3 и 4 тригонометрический ряд
\[
\sum_{-\infty}^{\infty} \frac{f_{n}}{e^{i 2 \pi n \alpha}-1} e^{i 2 \pi n x}
\]

равномерно сходится и являегся рядом Фурье некоторой непрерывной функции $F(x)\left(x \in S^{1}\right)$. Учитывая (2.3), получим, что
\[
S_{N}(\alpha, \varphi)=F(N \alpha+\varphi)-F(\varphi) .
\]

Лемма 6. Пусть $\alpha \in K_{1} u|n \alpha-m|<n^{-3 / 2}(n>0)$. Тогда
\[
\begin{array}{c}
\left|S_{n}(\alpha, \varphi)\right|<\frac{M_{1}}{\sqrt{n}}+\frac{M_{2}}{24 n} ; \quad M_{1}=\max _{\varphi \in S^{1}}\left|f^{\prime}(\varphi)\right|, \\
M_{2}=\max _{\varphi \in S^{1}}\left|f^{\prime \prime}(\varphi)\right| .
\end{array}
\]

ДоКаЗаТЕЛЬСТВо.
Оценим разность
\[
\begin{array}{c}
\left|\sum_{k=0}^{n-1} f(k \alpha+\varphi)-\sum_{k=0}^{n-1} f\left(k \frac{m}{n}+\varphi\right)\right| \leqslant \\
\leqslant \sum_{k=0}^{n-1}\left|f(k \alpha+\varphi)-f\left(k \frac{m}{n}+\varphi\right)\right| \leqslant \\
\leqslant M_{1} \sum_{k=0}^{n-1}\left|k \alpha-k \frac{m}{n}\right| \leqslant M_{1} n \sum_{k=0}^{n-1}\left|\alpha-\frac{m}{n}\right| \leqslant \\
\leqslant M_{1} n^{2}\left|\alpha-\frac{m}{n}\right|<\frac{M_{1}}{\sqrt{n}}, \\
M_{1}=\max _{x \in S^{1}}\left|f^{\prime}(x)\right| .
\end{array}
\]

Следовательно,
\[
\left|\sum_{k=0}^{n-1} f(k \alpha+\varphi)\right| \leqslant\left|\sum_{k=0}^{n-1} f\left(k \frac{m}{n}+\varphi\right)\right|+\frac{M_{1}}{\sqrt{n}} .
\]

Так как числа $m$ и $n$ взаимно просты, то точки на $S^{1}$, угловые координаты которых
\[
\varphi, \quad \varphi+\frac{m}{n}, \quad \varphi+2 \frac{m}{n}, \ldots, \quad \varphi+(n-1) \frac{m}{n}
\]

расположены в вершинах правильного вписанного $n$-угольника. Так как $f \in C^{2}\left(S^{1}\right)$, то по известному способу (прямоугольников) вычисления определенных интегралов [78], на окружности $S^{1}$ существует точка $\xi$ такая, что
\[
\int_{0}^{1} f(x) d x=\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(k \frac{m}{n}+\varphi\right)+\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{24 n^{2}} .
\]

Отсюда
\[
\left|\sum_{k=0}^{n-1} f\left(k \frac{m}{n}+\varphi\right)\right| \leqslant \frac{M_{1}}{24 n}, \quad M_{2}=\max _{x \in S^{1}}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| .
\]

Учитывая (2.4), получим окончательно
\[
\left|\sum_{k=0}^{n-1} f(k \alpha+\varphi)\right|<\frac{M_{1}}{\sqrt{n}}-\frac{M_{2}}{24 n} .
\]

Из лемм 5 и 6 легко вытекает
Теорема 2. ІІуть
\[
f \in C^{2}\left(S^{1}\right), \quad \int_{0}^{1} f(x) d x=0 .
\]

Тогда для любых $\varepsilon>0$ и $N_{0}$ существует $N>N_{0}$ такое, что $\left|S_{N}(\alpha, \varphi)\right|<\varepsilon$ для всех $\varphi \in S^{1}$.

В качестве примера рассмотрим колебания упругой струны длины $d$; пусть $a$ – скорость распространения возмущений. Предположим, что в начальный момент времени $t=0$ струна неподвижна, левый конец постоянно закреплен, а правый начинает совершать периодические колебания по закону $f(t)(f(0)=0)$ с периодом $T$. Задача определения вынужденных колебаний струны при $t \geqslant 0$ является смешанной задачей для волнового уравнения
\[
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=\frac{1}{a^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}\{t, x: 0 \leqslant t<\infty, \quad 0 \leqslant x \leqslant d\} .
\]

Обозначим решение через $u(t, x)$.
Нетрудно доказать, что если отношение $d /(a T)$ рационально, то на струне существуют точки $x=\xi$ такие, что $u(t, \xi) \rightarrow \infty$ при $t \rightarrow \infty$ («параметрический резонанс»).

Теорема 3. Предположим, что $d / a T$ иррационально, функция $f$ из класса $C^{2}$. Тогда для любых $\varepsilon>0$ и $\tau$ существует $t>\tau$ такое, что $|u(t, x)|<\varepsilon$ для всех $x \in[0, d]$.
ДоКазательство.
Используя основное свойство характеристического парал-

лелограмма, получим равенство
\[
\begin{array}{c}
u\left(2 \frac{d}{a} n ; x\right)=\sum_{i=1}^{n} f\left(t_{2 i}\right)-\sum_{i=1}^{n} f\left(t_{2 i-1}\right), \\
t_{2 i}=t_{2}+2(i-1) \frac{d}{a}, \quad t_{2 i-1}=t_{1}+2(i-1) \frac{d}{a}, \\
t_{1}=\frac{d-x}{a}, \quad t_{2}=\frac{d+x}{a} .
\end{array}
\]

Представим функцию $f(t)$ в виде $c+g(t)$, где $c$ – среднее функции $f(t)$. Тогда равенство (2.5) можно переписать так:
\[
u\left(2 \frac{d}{a} n ; x\right)=\sum_{i=1}^{n} g\left(t_{2 i}\right)-\sum_{i=1}^{n} g\left(t_{2 i-1}\right) .
\]

Так как среднее периодической функции $g(t)$ класса $C^{2}$ равно нулю, а отношение $d /(a T)$ иррационально, то по теореме 2 для любых $\varepsilon>0$ и $N_{0}$ существует $N>N_{0}$ такое, что
\[
\left|\sum_{i=1}^{N} g\left(t_{2 i}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2}, \quad\left|\sum_{i=1}^{N} g\left(t_{2 i-1}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2}
\]

равномерно по $x$. Учитывая (2.6), заключаем, что в момент времени $t=2 d N / a$ будет справедливо неравенство $|u(t, x)|<\varepsilon$ для всех $x \in[0, d]$.

Теперь обратимся к вопросу о возвращаемости интеграла $I\left(t, \varphi_{1}^{0}, \varphi_{2}^{0}\right)$. Зафиксируем начальные фазы $\varphi_{1}^{0}, \varphi_{2}^{0}$.

Теорема 4 (теорема о возвращении). Если $f$ непрерывна на $\mathrm{T}^{2}$ и имеет две непрерывные производные по $\varphi_{2}$, а пространственное среднее функции $f$ равно нулю, то для любых $\varepsilon>0$ и T существует $\tau>$ T такое, что $\left|I\left(\tau, \varphi_{1}^{0}, \varphi_{2}^{0}\right)\right|<\varepsilon$.
ДоКаЗатЕльСтво.
Рассмотрим на $\mathbf{T}^{2}$ окружность
\[
S^{1}=\left\{\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right) \in \mathbf{T}^{2}: \varphi_{1}=\varphi_{1}^{0}\right\}
\]

и на ней функцию
\[
F(x)=\frac{1}{\omega_{1}} \int_{0}^{1} f\left(\varphi_{1}, \frac{\omega_{2}}{\omega_{1}} \varphi_{1}-\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}} \varphi_{1}^{0}+x\right) d \varphi_{1}, \quad x \in S^{1} .
\]

Очевидно равенство
\[
\begin{array}{c}
I\left(n a, \varphi_{1}^{0}, \varphi_{2}^{0}\right)=\sum_{k=0}^{n-1} F\left(k \frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}+\varphi_{1}^{0}\right)=S_{n}\left(\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}, \varphi_{2}^{0}\right) ; \\
a=\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}>0 .
\end{array}
\]

Функция $F(x) \in C^{2}\left(S^{1}\right)$. Далее,
\[
\begin{array}{c}
\int_{0}^{1} F(x) d x=\frac{1}{\omega_{1}} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f\left(\varphi_{1}, \frac{\omega_{2}}{\omega_{1}} \varphi_{1}-\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}} \varphi_{1}^{0}+x\right) d \varphi_{1} d x= \\
=\frac{1}{\omega_{1}} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f(\xi, \eta) d \xi d \eta=0 .
\end{array}
\]

Теперь заключение теоремы 4 вытекает из теоремы 2.
Покажем, что теорема 4 неверна, если функция $f$ только непрерывна. Мы воспроизведем здесь с точными оценками пример Пуанкаре $[75,76]$, о котором говорилось в начале этого параграфа.
Положим
\[
f\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)=\sum_{n=0}^{n}\left(\frac{A}{\Lambda}\right)^{n} \cos 2 \pi\left(u_{n} \varphi_{1}+v_{n} \varphi_{2}\right)
\]

где $\Lambda=\sqrt{2}+1,(\Lambda+1) / 2<A<\Lambda$, а целье числа $u_{n}$ и $v_{n}$ определяются из разложения
\[
(\sqrt{2}-1)^{n}=u_{n}+v_{n} \sqrt{2} .
\]

Пусть частоты $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ равны соответственно $1 / 2 \pi, \sqrt{2} / 2 \pi$, а начальные фазы $\varphi_{1}^{0}, \varphi_{2}^{0}$ равны нулю. Тогда
\[
f(t)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{A}{\Lambda}\right)^{n} \cos \frac{t}{\Lambda^{n}}, \quad I(t)=\int_{0}^{t} f(t) d t=\sum_{n=0}^{\infty} A^{n} \sin \frac{t}{\Lambda^{n}} .
\]

Лемма 7 (ср. с [76]). Если $1<(\Lambda+1) / 2<A<\Lambda$, то $I(t) \rightarrow \infty$ nри $t \rightarrow \infty$.

ДоКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть
\[
\frac{\pi}{2} \Lambda^{n-1} \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{2} \Lambda^{n} ; \quad n=1,2, \ldots
\]

Тогда
\[
0<\frac{\pi}{2 \Lambda^{k+1}} \leqslant \frac{t}{\Lambda^{n+k}} \leqslant \frac{\pi}{2 \Lambda^{k}} \leqslant \frac{\pi}{2}, \quad k=0,1,2, \ldots
\]

Следовательно,
\[
\begin{array}{c}
\sin \frac{t}{\Lambda^{n+k}} \geqslant \frac{2 t}{\pi \Lambda^{n+k}} \geqslant \frac{1}{\Lambda^{k+1}}, \\
\sum_{k=0}^{\infty} A^{n+k} \sin \frac{t}{\Lambda^{n+k}} \geqslant \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^{n+k}}{\Lambda^{k+1}}=\frac{A^{n}}{\Lambda-A} .
\end{array}
\]

При всех $t \in \mathbf{R}$
\[
\left|\sum_{k=0}^{n-1} A^{k} \sin \frac{t}{\Lambda^{k}}\right| \leqslant \frac{A^{n}-1}{A-1} .
\]

Значит, в интервале $\left[\frac{\pi}{2} \Lambda^{n-1}, \frac{\pi}{2} \Lambda^{n}\right]$
\[
\begin{array}{l}
I(t) \geqslant \sum_{k=0}^{\infty} A^{n+k} \sin \frac{t}{\Lambda^{n+k}}-\left|\sum_{k=0}^{n-1} A^{k} \sin \frac{t}{\Lambda^{k}}\right| \geqslant \\
\geqslant \frac{A^{n}}{\Lambda-A}-\frac{A^{n}-1}{A-1}=\frac{2 A-\Lambda-1}{(\Lambda-A)(\Lambda-1)} A^{n}+\frac{1}{A-1} \text {. } \\
\end{array}
\]

Так как $\Lambda>A, A>1$ и $2 A>\Lambda+1$, то правая часть неравенства (2.7) стремится к $\infty$ при $n \rightarrow \infty$. Следовательно, $I(t) \rightarrow \infty$ при $t \rightarrow \infty$.

Покажем, что функция $f$ не дифференцируема по переменным $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$. Предположим, что $f$ имеет производную, например, по $\varphi_{1}$. Тогда дифференцируема функция
\[
g(\varphi)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{A}{\Lambda}\right)^{n} \cos 2 \pi u_{n} \varphi .
\]

Нетрудно показать, что коэффициенты $u_{n}$ равны
\[
\frac{(-1)^{n}}{2}\left[\Lambda^{n}+\frac{(-1)^{n}}{\Lambda^{n}}\right]
\]

Справедлива
Лемма 8. Если $1<A<\Lambda$, то функция $g(\varphi)$ нигде не дифференцируема.

ДоКаЗательСТво.
Рассмотрим функцию
\[
G(\varphi)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{A}{\Lambda}\right)^{n} \cos \pi \Lambda^{n} \varphi .
\]

Покажем, что разность $g(\varphi)-G(\varphi)$ дифференцируема всюду. Производная от функционального ряда
\[
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{A}{\Lambda}\right)^{n}\left\{\cos \pi\left[\Lambda^{n}+\frac{(-1)^{n}}{\Lambda^{n}}\right] \varphi-\cos \pi \Lambda^{n} \varphi\right\}
\]

равна
\[
\begin{aligned}
-\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{A}{\Lambda}\right)^{n}\left\{\pi\left[\Lambda^{n}+\frac{(-1)^{n}}{\Lambda^{n}}\right]\right. & \sin \pi\left[\Lambda^{n}+\right. \\
+ & \left.\left.\frac{(-1)^{n}}{\Lambda^{n}}\right] \varphi-\pi \Lambda^{n} \sin \pi \Lambda^{n} \varphi\right\} .
\end{aligned}
\]

Так как
\[
\begin{array}{c}
\left|\Lambda^{n} \sin \frac{\pi(-1)^{n} \varphi}{\Lambda^{n}}\right| \leqslant \pi|\varphi|, \\
\left|\Lambda^{n}\left(\cos \frac{\pi \varphi}{\Lambda^{n}}-1\right)\right| \leqslant \Lambda^{n}\left(\frac{\pi \varphi}{\Lambda^{n}}\right)^{2} / 2=\frac{\pi^{2} \varphi^{2}}{2 \Lambda^{n}},
\end{array}
\]

то выражение, стоящее в фигурных скобках, не превосходит
\[
\pi\left(\frac{\pi^{2} \varphi^{2}}{2 \Lambda^{n}}+\frac{2}{\Lambda^{n}}+\pi|\varphi|\right) \leqslant \pi\left(\frac{\pi^{2} \varphi^{2}}{2}+2+\pi|\varphi|\right)=\frac{\pi}{2}(\pi|\varphi|+2)^{2} .
\]

Следовательно, на каждом компактном множестве $\mathbf{R}$ ряд (2.8) мажорируется некоторым сходящимся рядом с положительными членами и, стало быть, равномерно сходится к некоторой непрерывной функции. Отсюда, согласно известной теореме о производной функционального ряда, функция $g-G$ принадлежит классу $C^{1}$.

Если $g(\varphi)$ имеет производную в точке $\varphi=\varphi^{\prime}$, то функция $G(\varphi)$ также дифференцируема при $\varphi=\varphi^{\prime}$. Однако $G(\varphi)-$ классический пример функции, не имеющей производной ни в одной точке [79].

Аналогично доказывается, что функция $f$ не дифференцируема по координате $\varphi_{2}$.