Гессиан функции $\mathscr{T}$ по переменным $I_{1}, I_{2}$ обозначим через $\Gamma\left(I_{1}, I_{2}\right)$.

Теорема 3.
1. Если $A=B=C$, то $\Gamma \equiv 0$ в области $\Delta$.
2. Если $A=B>C$, то $\Gamma>0$ в $\Delta$.
3. Если $A>B=C$, то $\Gamma<0$ в $\Delta$.
4. Если $A>B>C$, то $\Gamma>0$ в двух связных подобластях $\Delta_{a}$, примыкающих к прямым $\left|I_{1}\right|=I_{2}$. В остальных двух подобластях $\Delta_{a}$ гессиан $\Gamma<0$.

ДоКаЗаТЕЛЬСТВо.
Утверждения 1 и 2 очевидны.
3. Когда $B=C$, интеграл (1.1) нетрудно вычислить. Он равен
\[
\sqrt{\left(\frac{I_{2}^{2}}{C}-2 \mathscr{T}\right) /\left(\frac{1}{C}-\frac{1}{A}\right)} .
\]

Следовательно,
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{T}=\frac{1}{2 C} I_{2}^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{A}-\frac{1}{C}\right) I_{1}^{2}, \quad \Gamma=\frac{1}{C}\left(\frac{1}{A}-\frac{1}{C}\right)<0 . \\
\frac{4 \cdot \partial^{2} \mathscr{T}}{\partial I_{i} \partial I_{j}}=\frac{\partial\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)}{\partial\left(I_{1}, I_{2}\right)}=\frac{\partial\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)}{\partial\left(\omega_{1}, \gamma\right)} \frac{\partial\left(\omega_{1}, \gamma\right)}{\partial(\mathscr{T}, p)} \frac{\partial(\mathscr{T}, p)}{\partial\left(I_{1}, I_{2}\right)},
\end{array}
\]

где $\gamma=\omega_{2} / \omega_{1}$. Каждая из этих матриц Якоби определена в $\Delta_{a}$. При этом
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{det} \frac{\partial\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)}{\partial\left(\omega_{1}, \gamma\right)}=\operatorname{det}^{-1} \frac{\partial\left(\omega_{1}, \gamma\right)}{\partial\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)}=\left|\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
-\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}^{2}} & \frac{1}{\omega_{1}}
\end{array}\right|^{-1}=\omega_{1}, \\
\operatorname{det} \frac{\partial(\mathscr{T}), p)}{\partial\left(I_{1}, I_{2}\right)}=\left|\begin{array}{ll}
\omega_{1} & \omega_{2} \\
\frac{2 \omega_{1}}{I_{2}^{2}} & \frac{2 \omega_{2}}{I_{2}^{2}}-\frac{4 \mathscr{T}}{I_{2}^{3}}
\end{array}\right|=-\frac{4 \mathscr{T} \omega_{1}}{I_{2}^{3}} .
\end{array}
\]

Дифференцируя выражение (1.1) по $I_{1}$, получаем
\[
\begin{aligned}
1 & =\frac{1}{2 \pi} \oint \frac{1}{\sqrt{\left[2 \mathscr{T}-I_{2}^{2}\left(\frac{\sin ^{2} l}{A}+\frac{\cos ^{2} l}{B}\right)\right]}} \frac{\partial \mathscr{T} / \partial I_{1}}{\sqrt{\left(\frac{1}{C}-\frac{\sin ^{2} l}{A}-\frac{\cos ^{2} l}{B}\right)}} d l= \\
& =\frac{\omega_{1}}{\sqrt{\mathscr{T}}} \frac{\sqrt{2}}{2 \pi} \oint \frac{1}{\sqrt{\left[1-\frac{1}{p}\left(\frac{\sin ^{2} l}{A}-\frac{\cos ^{2} l}{B}\right)\right]}} \frac{d l}{\sqrt{\left(\frac{1}{C}-\frac{\sin ^{2} l}{A}-\frac{\cos ^{2} l}{B}\right)}} .
\end{aligned}
\]

Значит $\omega_{1}=K \sqrt{\mathscr{T}}$, где
\[
\begin{aligned}
K^{-1}(p ; A, B, C)=\frac{1}{2 \pi \sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{\left[1-\frac{1}{p}\left(\frac{\sin ^{2} l}{A}+\frac{\cos ^{2} l}{B}\right)\right]}} \times \\
& \times \frac{d l}{\sqrt{\left(\frac{1}{C}-\frac{\sin ^{2} l}{A}-\frac{\cos ^{2} l}{B}\right)}}>0 .
\end{aligned}
\]

Функция $\gamma$ зависит лишь от $p, A, B, C$; следовательно, $\partial \gamma / \partial \mathscr{T}=0$. Поэтому
\[
\operatorname{det} \frac{\partial\left(\omega_{1}, \gamma\right)}{\partial(\mathscr{T}, p)}=\left|\begin{array}{cc}
\frac{K(p)}{2 \sqrt{\mathscr{T}}} & \frac{\partial \omega_{1}}{\partial p} \\
0 & \frac{\partial \gamma}{\partial p}
\end{array}\right|=\frac{K(p)}{2 \sqrt{\mathscr{T}}} \frac{\partial \gamma}{\partial p} .
\]

Учитывая результаты предыдущих вычислений, получаем окончательно
\[
\Gamma=\left|\frac{\partial^{2} \mathscr{T}}{\partial I^{2}}\right|=-\frac{2 \omega_{1}^{3}}{I_{2}^{3}} \frac{\partial \gamma}{\partial p} .
\]

Чтобы решить вопрос о знаке гессиана, осталось применить лемму 4 , которая утверждает, что производная $\partial \gamma / \partial p>0$ $(<0)$, когда $1 / A<p<1 / B(1 / B<p<1 / C)$.

Замечание. Теорема 3 является уточнением соответствующего результата, полученного В. И. Арнольдом $[9$, дополнение $]$, который доказал, что в общем случае $\Gamma
ot \equiv 0$.