Если $h>\max _{M}-\mathscr{V}$, то задача о периодических движениях натуральных систем сводится с помощью принципа Мопертюи к отысканию замкнутых геодезических линий некоторого риманова пространства, т.е. уже является по существу задачей римановой геометрии в целом. В нашей терминологии такие периодические движения будут вращениями.

Сравнительно просто доказать существование замкнутой геодезической, если на римановом многообразии существуют негомотопные нулю замкнутые кривые: среди всех кривых из данного гомотопического к.асса ищется кривая минимальной длины; она и будет искомой геодезической [48]. Задача существенно усложняется, если пространство односвязно. А. Пуанкаре получил здесь первый нетривиальный результат: на выпуклой двумерной римановой сфере существует хотя бы одна замкнутая несамопересекющаяся геодезическая [60]. Позже этот результат был распространен Дж. Биркгофол на компактные многообразия, гомеоморфные $n$-мерной сфере [24]. В 1930 г. Л. А.Люстерник и Л. Шнирельман существенно усилили теорему Пуанкаре, доказав существование 3-х замкнутых несамопересекающихся геодезических на любой двумерной сфере [57]. В 1951 г. Л. А.Люстерник и А. И. Фет доказали, что на каждом компактном римановом многообразии существует замкнутая геодезическая линия. Для некоторого класса односвязных многообразий, например, гомеоморфных произведению сфер $S^{m} \times S^{n}(m, n>1)$, удалось установить существование бесконечного множества замкнутых геодезических. Однако до сих пор неизветно, справедлив ли этот результат

для $S^{n}(n>1)$. Относительно современного состояния вопроса см. [52].

Уиттекер и Биркгоф исследовали существование замкнутых геодезических на римановых пространствах ( $M, d s$ ) с краем $[2,24]$. Их результаты касаются случал, когда в $M$ есть нестягиваемые в точку замкнутые кривые и М локально выпукло в метрике $d s$.

Если у области возможных движений есть края, то периодические движения натуральной системы могут быть уже двух типов: вращения и либрации. В этой ситуации результаты Уиттекера и Биркгофа не применимы из-за вырожденности метрики Якоби на границе. Легко указать примеры, когда вращения отсутствуют. Первый общий результат о либрационных периодических движениях натуральных механических систем принадлежит Г. Зейферту [90], доказавшему существование либраций в случае, когда область возможных движений диффеоморфна п-мерному диску. В работе автора [58] доказано существование либрационных решений для случая, когда область возможных движений диффеоморфна $N \times[0,1]$, где $N$ – гладкое компактное многообразие. Методы доказательства существования либраций в работах $[58,90]$ имеют некоторые общие моменты. Доказательство теоремы о либрациях, проведенное в этой главе, отличается от первоначального $[58]$.