Предположим, что приведенная система канонических уравнений с гамильтонианом
\[
\mathscr{H}=\mathscr{H}_{0}+\mu \mathscr{H}_{1}
\]

имеет, кроме интеграла энергии, дополнительный интеграл $\mathscr{F}(I, \varphi, \mu)$, аналитический в канонических переменных действие-угол невозмущенной задачи и аналитический по параметру $\mu$. Пусть
\[
\mathscr{F}=\mathscr{F}_{0}(I, \varphi)+\mu \mathscr{F}_{1}(I, \varphi)+\ldots
\]

Так как задача Эйлера-Пуансо невырождена (теорема 3 гл. II), функция $\mathscr{F}_{0}$ не зависит от $\varphi$. Согласно лемме Пуанкаре ( $\S 1$ гл. I), функции $\mathscr{H}_{0}$ и $\mathscr{F}_{0}$ зависимы на множестве $\mathscr{B} \subset \Delta_{a}^{0} \subset \Delta^{0}$. Вековое множество $\mathscr{B}$ не является всюду плотным в $\Delta_{a}^{0}$ (теорема 1). Это обстоятельство не позволило А. Пуанкаре на основании доказанных им общих теорем заключить, что рассматриваемая задача не имеет аналитических интегралов, отличных от классических $[1$, п. 86].

Такая трудность преодолевалась бы сравнительно просто, если бы функция $\mathscr{H}_{0}$ была аналитической в $\Delta^{0}$. Действительно, якобиан $\mathscr{H}_{0}$ и $\mathscr{F}_{0}$ равен нулю на множестве $\mathscr{B}$ и является аналитической функцией в $\Delta^{0}$. Следовательно, на прямой $I_{2}=I_{2}^{0}$ якобиан аналитичен, и его нули имеют предельную точку
\[
\left\{\left(I_{1}^{0}, I_{2}^{0}\right): 2 \mathscr{H}_{0}\left(I_{1}^{0}, I_{2}^{0}\right)=\left(I_{2}^{0}\right)^{2} / B\right\} .
\]

Поэтому он равен нулю на любой прямой $I_{2}=I_{2}^{0}$ и, следовательно, есть тождественный нуль во всей области $\Delta^{0}$, так что функции $\mathscr{H}_{0}$ и $\mathscr{F}_{0}$ зависимы. Однако при помощи метода А. Пуанкаре $[1$, п. 81$]$ можно доказать, что если существует некоторый независимый интеграл $\mathscr{F}(I, \varphi, \mu)$, то существует и такой, для которого $\mathscr{H}_{0}$ и $\mathscr{F}_{0}$ не являются зависимыми.

К сожалению, гамильтониан задачи Эйлера-Пуансо $\mathscr{H}_{0}$ не аналитичен в $\Delta^{0}$, так как прямые $2 \mathscr{H}_{0}\left(I_{1}, I_{2}\right)=I_{2}^{2} / B$ являются для него особыми (см. §2 гл. II). Поэтому мы будем доказывать отсутствие новых интегралов, аналитических в переменных, не имеющих аналитических особенностей в окрестности вращений вокруг средней оси эллипсоида инерции (специальные канонические переменные, переменные Эйлера-Пуассона). При этом доказательства несуществования интегралов сильно усложняются в техническом отношении.