Рассмотрим на двумерном торе $\mathbf{T}^{2}\left\{\varphi_{1}, \varphi_{2} \bmod 1\right\}$ систему дифференциальных уравнений
\[
\dot{\varphi}_{1}=F_{1}\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right), \quad \dot{\varphi}_{2}=F_{2}\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right),
\]

обладающую интегральным инвариантом
\[
I(G)=\iint_{G} U\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right) d \varphi_{1} d \varphi_{2}
\]
( $G$ — измеримая область на $\mathbf{T}^{2}$ ). Всюду ниже предполагается, что $F_{1}, F_{2}, U$ — аналитические функции на $\mathbf{T}^{2}$, причем $U>0, F_{1}^{2}+F_{2}^{2}>0$ (т. е. система (4.1) не имеет положений равновесия). Общая теория уравнений (4.1) восходит к Пуанкаре [75]. Основные результаты более поздних исследований можно найти в книгах $[20,80]$.

Уравнения (4.1), имеющие интегральный инвариант (4.2), часто встречаются при качественном анализе динамических систем. Многочисленные примеры дает

Предложение 2 (ср. с [81]). Рассмотрим автономную аналитическую систему дифференциальных уравнений в $\mathbf{R}^{n}$ :
\[
\dot{x}=f(x), \quad x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \quad f=\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right) .
\]

Iредположим, что эта система имеет интегральный инвариант с плотностью $\Delta(x)>0$ и $n-2$ аналитических первых интеграла $\Phi_{1}(x), \ldots, \Phi_{n-2}(x)$. Пусть на инвариантном множестве
\[
M=\left\{x \in \mathbf{R}^{n}: \Phi_{1}(x)=c_{1}, \ldots, \Phi_{n-2}(x)=C_{n-2}\right\}
\]

функции $\Phi_{1}, \ldots, \Phi_{n-2}$ независимы и на $M$ нет положений равновесия системы уравнений (4.3). Если $L$ — связная компактная компонента множества $M$, то
a) $L$ — аналитическое двумерное многообразие, аналитически изоморфное $\mathbf{T}^{2}$;
в) в любых угловых координатах $\varphi_{1}, \varphi_{2} \bmod 1$ уравнения (4.3) имеют вид системы (4.1);
с) система уравнений на $L$ обладает интегральным инвариантом с положительной аналитической плотностью.

Действительно, с точностью до аналитического изоморфизма $L$ совпадает с двумерным тором как всякое связное,

компактное, ориентированное аналитическое двумерное многообразие, допускающее касательное векторное поле без особых точек (ср. с § 1 гл. VII). Заключение в) предложения очевидно. Существование интегрального инварианта у системы дифференциальных уравнений на $L$ вытекает из теоремы о последнем множителе [36]. Из формул Якоби можно получить явное выражение для плотности
\[
U(x)=\frac{\Delta(x)}{V_{n-2}(x)}, \quad x \in L,
\]

где $V_{n-2}-(n-2)$-мерный объем параллелепипеда, построенного на векторах $\operatorname{grad} \Phi_{i}(x)(i=1, \ldots, n-2)$ как на сторонах (ср. с доказательством леммы 3 гл. VII). Следовательно, $U-$ аналитическая функция на $L$ и $U<0$.

В частности, уравнения движения задачи о качении шара по горизонтальной плоскости [82] удовлетворяют условиям предложения. Следовательно, все доказываемые ниже утверждения справедливы для динамических систем, возникающих в этой классической задаче неголономной механики.

В указанных выше предположениях относительно системы (4.1) А.Н.Колмогоров доказал [83], что эти уравнения обратимой аналитической заменой переменных $\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right) \rightarrow$ $\rightarrow(x, y)$ преобразуются к виду
\[
\dot{x}=\frac{\lambda_{1}}{f(x, y)}, \quad \dot{y}=\frac{\lambda_{2}}{f(x, y)},
\]

где $\lambda_{1}, \lambda_{2}=$ const, $f(x, y)>0$ — аналитическая функция на $\mathbf{T}^{2}\{x, y \bmod 1\}$. Плотность интегрального инварианта (4.2) в новых переменных равна $f(x, y)$. Всюду ниже рассматривается случай, когда отношение $\gamma=\lambda_{2} / \lambda_{1}$ иррационально. Для почти всех $\gamma$ уравнения (4.4) задают квазипериодическое движение на $\mathbf{T}^{2}$, т.е. в некоторых угловых координатах $u, v \bmod 1$ они записываются в виде
\[
\dot{u}=\omega_{1}, \dot{v}=\omega_{2} ; \omega_{i}=\frac{\lambda_{i}}{\Lambda}(i=1,2), \Lambda=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f d x d y .
\]

Однако известны примеры, когда такое приведение невозможно (см., например, [84]).

Обозначим начальные значения переменных $x, y$ соответственно через $x_{0}, y_{0}$. Из теоремы об усреднении следует, что
\[
\begin{array}{c}
x=x_{0}+\frac{\lambda_{1}}{\Lambda} t+X\left(t, x_{0}, y_{0}\right), \quad y=y_{0}+\frac{\lambda_{2}}{\Lambda} t+Y\left(t, x_{0}, y_{0}\right), \\
\Lambda=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f(x, y) d x d y \\
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{X\left(t, x_{0}, y_{0}\right)}{t}=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{Y\left(t, x_{0}, y_{0}\right)}{t}=0 .
\end{array}
\]

Докажем, например, формулу $x=x_{0}+\frac{\lambda_{1}}{\Lambda} t+o(t)$. Из (4.4) вытекает, что $\lambda_{2} x-\lambda_{1} y=\lambda_{2} x_{0}-\lambda_{1} y_{0}$. Тогда
\[
\frac{d t}{d x}=\frac{1}{\lambda_{1}} f\left(x, \frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}} x-\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}} x_{0}+y_{0}\right) .
\]

Так как числа 1 и $\lambda_{2} / \lambda_{1}$ несоизмеримы, то по теореме об усреднении
\[
t=\frac{\Lambda^{\prime}}{\lambda_{1}}\left(x-x_{0}\right)+o\left(x-x_{0}\right),
\]

где
\[
\Lambda^{\prime}=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f\left(x, y-\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}} x_{0}+y_{0}\right) d x d y=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f(x, y) d x d y=\Lambda .
\]

Следовательно, при $t \rightarrow \infty$
\[
x=x_{0}+\frac{\lambda_{1}}{\Lambda} t+o(t) .
\]

Расстояния $d$ между точками $\mathbf{T}^{2}\{x, y \bmod 1\}$ вычисляются в метрике $d s^{2}=d x^{2}+d y^{2}$ (как в §3).

Теорема 6 (ср. с [85]). Для аюбых $\varepsilon>0, T>0$ существует $\tau>T$ такое, что $\left|X\left(\tau, x_{0}, y_{0}\right)\right|<\varepsilon,\left|Y\left(\tau, x_{0}, y_{0}\right)\right|<\varepsilon$, $d\left\{(x(\tau), y(\tau)),\left(x_{0}, y_{0}\right)\right\}<\varepsilon$ для всех $\left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbf{T}^{2}$.

ДоКаЗатЕльСтво.
Если иррациональное число $\gamma=\lambda_{2} / \lambda_{1}$ принадлежит классу $K_{2}$ (введенному в $\S 2$ ), то уравнения (4.4) приводятся к системе (4.5) (ср. с [83]) и утверждение очевидно. Пусть $\gamma \in K_{1}$ и $\left|N_{\gamma}-m\right|<N^{-3 / 2}$. Так как $d y / d x=\lambda_{2} / \lambda_{1}=\gamma$, то $y=$ $=\gamma x+y_{0}-\gamma x_{0}$. Из первого уравнения системы (4.4) найдем, что
\[
t=\frac{1}{\lambda_{1}} \int_{x_{0}}^{x} f\left(s, \gamma s+y_{0}-\gamma x_{0}\right) d s .
\]

Рассмотрим функцию $g=f-\Lambda$. Тогда
\[
\begin{array}{l}
t=\frac{\Lambda}{\lambda_{1}}\left(x-x_{0}\right)+I\left(x, x_{0}, y_{0}\right), \\
I=\frac{1}{\lambda_{1}} \int_{x_{0}}^{x_{0}+1} g\left(s, \gamma s+y_{0}-\gamma x_{0}\right) d s .
\end{array}
\]

Очевидно равенство
\[
I\left(n+x_{0}, x_{0}, y_{0}\right)=\sum_{k=0}^{n-1} F\left(k \gamma+y_{0}, x_{0}\right),
\]

где
\[
F\left(z, x_{0}\right)=\frac{1}{\lambda_{1}} \int_{\dot{x}_{0}}^{x_{0}+1} g\left(s, \gamma s+z-\gamma x_{0}\right) d s .
\]

Аналитическая функция $F\left(z, x_{0}\right)$ периодична по $z$ с периодом 1 и
\[
\int_{0}^{1} F\left(z, x_{0}\right) d z=0 \quad \forall x_{0} \in[0,1] .
\]

Положим $\tau=N \Lambda / \lambda_{1}$. Пусть за время $t\left(x_{0}, y_{0}\right)$ координата $x$ стала равной $x_{0}+N$. Из (4.6) следует, что $t\left(x_{0}, y_{0}\right)=\tau+$ $+I\left(N+x_{0}, x_{0}, y_{0}\right)$. По теореме о среднем
\[
\begin{array}{c}
\left|X\left(\tau, x_{0}, y_{0}\right)\right|=\left|x(\tau)-x_{0}-N\right|= \\
=\left|x(\tau)-x\left(t\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)\right| \leqslant\left|\frac{\lambda_{1}}{M} I\left(N+x_{0}, x_{0}, y_{0}\right)\right|,
\end{array}
\]

где $M=\min _{\mathbf{T}^{2}} f(x, y)$. Так как $y-y_{0}=\gamma\left(x-x_{0}\right)$, то
\[
\left|Y\left(\tau, x_{0}, y_{0}\right)\right|=\left|\gamma\left(x(\tau)-x_{0}-N\right)\right| \leqslant\left|\frac{\lambda_{2}}{M} I\left(N+x_{0}, x_{0}, y_{0}\right)\right| .
\]

Оценим расстояние
\[
\begin{array}{c}
d\left\{(x(\tau), y(\tau)),\left(x_{0}, y_{0}\right)\right\} \leqslant \\
\leqslant \sqrt{\left(x-x_{0}-N\right)^{2}+\left(y-y_{0}-m\right)^{2}} \leqslant \\
\leqslant \sqrt{\left(\frac{\lambda_{1}}{M} I\right)^{2}+\left(\left|\frac{\lambda_{2}}{M} I\right|+|M \gamma-m|\right)^{2}} .
\end{array}
\]

Согласно лемме 6
\[
\left|I\left(N+x_{0}, x_{0}, y_{0}\right)\right| \leqslant \frac{M_{1}}{\sqrt{N}}+\frac{M_{2}}{24 N} \quad \forall\left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbf{T}^{2},
\]

где
\[
M_{1}=\max _{\substack{0 \leqslant x_{0} \leqslant 1 \\ 0 \leqslant z \leqslant 1}}\left|\frac{\partial F}{\partial z}\right|, \quad M_{2}=\max _{\substack{0 \leqslant x_{0} \leqslant 1 \\ 0 \leqslant z \leqslant 1}}\left|\frac{\partial^{2} F}{\partial z^{2}}\right| .
\]

Так как существует бесконечно много натуральных чисел $N$, удовлетворяющих при некоторых целых $m$ неравенству $|N \gamma-m|<N^{-3 / 2}$, то справедливость теоремы в случае $\gamma \in K_{1}$ вытекает из формул (4.7)-(4.10).

Предложение 3. Пусть $f\left(x_{0}, y_{0}\right)
eq \Lambda$. Тогда функция $X^{2}\left(t, x_{0}, y_{0}\right)+Y^{2}\left(t, x_{0}, y_{0}\right)$ имеет бесконечно много нулей при $t \rightarrow \infty$.
ДоКаЗатЕЛЬСтво.
Пусть $X^{2}\left(\tau, x_{0}, y_{0}\right)=0$. Тогда
\[
Y\left(\tau, x_{0}, y_{0}\right)=y-y_{0}-\frac{\lambda_{2}}{\Lambda} \tau=\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}\left(x-x_{0}\right)-\frac{\lambda_{2}}{\Lambda} \tau=0 .
\]

Следовательно, достаточно доказать, что бесконечно много нулей имеет функция $X\left(t, x_{0}, y_{0}\right)$. Воспользуемся равенством (4.6). Так как $g\left(x_{0}, y_{0}\right)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)-\Lambda
eq 0$, то по теореме 5 функция $I\left(x, x_{0}, y_{0}\right)$ имеет бесконечно много нулей

при $x \rightarrow \infty$. Значит, бесконечно много раз
\[
X\left(t, x_{0}, y_{0}\right)=x-x_{0}-\frac{\lambda_{1}}{\Lambda} t=0 .
\]

Предложение 4. Существуют точки $\left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbf{T}^{2}$, $f\left(x_{0}, y_{0}\right)=\Lambda$ такие, что одновременно $X\left(t, x_{0}, y_{0}\right) \geqslant 0(\leqslant 0)$, $Y\left(t, x_{0}, y_{0}\right) \geqslant 0(\leqslant 0) \forall t \in \mathbf{R}$.
ДоКазательСТво.
Пусть $X\left(t, x_{0}, y_{0}\right) \geqslant 0(\leqslant 0)$ для всех $t \in \mathbf{R}$. Тогда $(\gamma>0)$
\[
Y\left(t, x_{0}, y_{0}\right)=y-y_{0}-\frac{\lambda_{2}}{\Lambda} t=\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}} X\left(t, x_{0}, y_{0}\right) \geqslant 0(\leqslant 0) .
\]

Воспользуемся формулой (4.6). По теореме 1 существуют точки $\left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbf{T}^{2}$, такие, что $g\left(x_{0}, y_{0}\right)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)-\Lambda=0$ и
\[
I\left(x, x_{0}, y_{0}\right) \geqslant 0(\leqslant 0)
\]

для всех $x \in \mathbf{R}$. Следовательно, $\left(\lambda_{1}>0\right)$
\[
X\left(t, x_{0}, y_{0}\right)=x-x_{0}-\frac{\lambda_{1}}{\Lambda} t=-\frac{\lambda_{1}}{\Lambda} I\left(x, x_{0}, y_{0}\right) \leqslant 0(\geqslant 0) .
\]