Исследуем более подробно отношение частот
\[
\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}=\gamma(p ; A, B, C)
\]

Теорема 1. Функция $\gamma(p ; A, B, C)$ аналитична на $\left(\frac{1}{A}, \frac{1}{C}\right) \backslash\left\{\frac{1}{B}\right\}$, причем при
1) $p \rightarrow \frac{1}{A}, \gamma \rightarrow \frac{\sqrt{B C}}{\sqrt{(A-C)(A-B)}}$;
2) $p \rightarrow \frac{1}{C}, \gamma \rightarrow \frac{\sqrt{A B}}{\sqrt{(B-C)(A-C)}}-1$;
3) $p \rightarrow \frac{1}{B}, \gamma \rightarrow \infty$.

ДоКаЗательСТво.
3) Когда $p=1 / B$, интеграл (1.3) расходится. Следовательно,
\[
\lim _{p \rightarrow 1 / B} \gamma(p ; A, B, C)=\infty .
\]
2)
\[
\begin{array}{l}
\lim _{p \rightarrow 1 / C} \gamma(p ; A, B, C)= \\
=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \frac{a \sin ^{2} x+b \cos ^{2} x}{c-a \sin ^{2} x-b \cos ^{2} x} d x=\frac{\sqrt{A B}}{\sqrt{(B-C)(A-C)}}-1 .
\end{array}
\]

1) Воспользуемся следующим предложением: пусть функция $f(x), x \in \mathbf{R}$ непрерывна в окрестности точки $x=0$. Тогда
\[
\lim _{\alpha \rightarrow 0} \frac{1}{2 \pi} \oint \frac{f(x)}{\sqrt{\alpha^{2}-x^{2}}} d x=f(0) .
\]

Действительно, выполняя замену переменной по формуле $x=\alpha \sin \varphi$, получим, что
\[
\frac{1}{2 \pi} \oint \frac{f(x)}{\sqrt{\alpha^{2}-x^{2}}} d x=\frac{1}{\pi} \int_{-\alpha}^{\alpha} \frac{f(x)}{\sqrt{\alpha^{2}-x^{2}}} d x=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} f(\alpha \sin \varphi) d \varphi .
\]

Так как $f(x)$ непрерывна, то
\[
\lim _{\alpha \rightarrow 0} \frac{1}{\pi} \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} f(\alpha \sin \varphi) d \varphi=f(0)
\]

Согласно формуле (1.4)
\[
\gamma=\frac{1}{2 \pi} \oint \frac{1}{\sqrt{b-a}} \frac{\left[a+(b-a) x^{2}\right] d x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)\left[(c-a)-(b-a) x^{2}\right]\left(\alpha^{2}-x^{2}\right)}},
\]

где
\[
\alpha^{2}=\frac{p-a}{b-a}>0 .
\]

Следовательно, по формуле (2.1)
\[
\begin{array}{l}
\lim _{p \rightarrow 1 / A} \gamma(p ; A, B, C)= \\
=\frac{a}{\sqrt{(b-a)(c-a)}}=\frac{\sqrt{B C}}{\sqrt{(A-C)(A-B)}} .
\end{array}
\]

По лемме 4 функция $\gamma(p)$ возрастает в интервале $(a, b)$ и убывает в интервале $(b, c)$. Из неравенства треугольника для моментов инерции ( $A+B>C$ ) и теоремы 1 следует, что пределы
\[
\lim _{p \rightarrow a} \gamma(p), \quad \lim _{p \rightarrow c} \gamma(p)
\]

больше нуля. Следовательно, функция $\gamma(p)$ всюду положительна. Нетрудно показать, что $\partial^{2} \gamma / \partial p^{2}>0$ при всех $p \in(a, c) \backslash\{b\}$. Значит, график функции $\gamma(p)$ имеет вид, изображенный на рис. 7 .
Специальные канонические переменные можно ввести в окрестности вращений вокруг большей оси инерции (т.е. вместо оси $O z$ взять ось $O x$ ). Тогда для отношения частот получим формулу (1.3), в которой моменты инерции $A$ и $C$ переставлены местами. Обозначим это отношение через $\gamma^{\prime}(p ; A, B, C)$. Устремим в новой Рис. 7 формуле $p$ к $1 / A$. Нетрудно показать, что
\[
\lim _{p \rightarrow 1 / A} \gamma^{\prime}(p ; A, B, C)=\frac{\sqrt{B C}}{\sqrt{(A-C)(A-B)}}-1
\]
(ср. с доказательством п. 2 теоремы 1). Формулы (2.2) и (2.3) не совпадают, однако здесь нет никакого противоречия. Дело в том, что у векторного поля без особых точек на двумерном торе существует не одно, а бесконечно много чисел вращения (они зависят от выбора замкнутой трансверсали) [21]. Все они связаны между собой следующим соотношением:
\[
\gamma^{\prime}=\frac{k \gamma+l}{m \gamma+n}
\]

где $\left\|\begin{array}{ll}k & l \\ m & n\end{array}\right\|$ – унимодулярная матрица (ее элементы – целье числа, а определитель равен $\pm 1$ ).

Иллюстрацией к этому утверждению может служить следующее рассуждение. Рассмотрим на двумерном торе $\mathbf{T}^{2}\left\{\varphi_{1}, \varphi_{2} \bmod 2 \pi\right\}$ постоянное векторное поле
\[
\dot{\varphi}_{1}=\omega_{1}, \quad \dot{\varphi}_{2}=\omega_{2} \quad\left(\omega_{1}, \omega_{2}=\text { const }
eq 0\right) .
\]

Если в качестве замкнутой трансверсали взять окружность $S^{1}=\left\{\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right) \in \mathbf{T}^{2}: \varphi_{2}=0\right\}$, то число вращения поля (2.5)

равно $\gamma=\omega_{1} / \omega_{2}$. Рассмотрим линейный автоморфизм тоpa $\varphi \rightarrow \varphi^{\prime}$ :
\[
\varphi_{1}^{\prime}=k \varphi_{1}+l \varphi_{2}, \quad \varphi_{2}^{\prime}=m \varphi_{1}+n \varphi_{2},
\]

где $\left\|\begin{array}{ll}k & l \\ m & n\end{array}\right\|$ – некоторая унимодулярная матрица. В новых переменных $\varphi^{\prime} \bmod 2 \pi$ уравнения (2.5) запишутся в следующем виде:
\[
\dot{\varphi}_{1}^{\prime}=k \omega_{1}+l \omega_{2}=\omega_{1}^{\prime}, \quad \dot{\varphi}_{2}^{\prime}=m \omega_{1}+n \omega_{2}=\omega_{2}^{\prime}, \quad\left(\omega_{1}^{\prime}, \omega_{2}^{\prime}=\text { const }\right) .
\]

Пусть, например, $\omega_{2}^{\prime}
eq 0$. Тогда в качестве замкнутой трансверсали можно взять окружность $S^{1}=\left\{\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right) \in \mathbf{T}^{2}: m \varphi_{1}+\right.$ $\left.+n \varphi_{2}=0\right\}$. Соответствующее число вращения равно
\[
\gamma^{\prime}=\frac{\omega_{1}^{\prime}}{\omega_{2}^{\prime}}=\frac{k \gamma+l}{m \gamma+n}
\]

В нашем случае
\[
\left\|\begin{array}{cc}
k & l \\
m & n
\end{array}\right\|=\left\|\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
0 & 1
\end{array}\right\| .
\]

Рассмотрим геометрическое представление Пуансо. Когда на эллипсоиде инерции точка касания (полюс) сделает один полный оборот, тело повернется вокруг оси постоянного момента на некоторый угол $\alpha=\alpha\left(2 \mathscr{T} / I_{2}^{2} ; A, B, C\right)$. Функция $\alpha(p ; A, B, C), p=2 \mathscr{T} / I_{2}^{2}$ была введена А. Пуанкаре; отношения $\alpha / 2 \pi$ являются числами вращения потоков, возникающих на соответствующих инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо ( $[1$, п. $86 ; 9$, дополнение $]$ ).

Теорема 2. Если $p \in(1 / A, 1 / B)$, то $\alpha=2 \pi(\gamma+1)$, если $p \in(1 / B, 1 / C)$, то $\alpha=2 \pi \gamma$.
Доказательство.
Так как величины $\alpha / 2 \pi$ и $\gamma$ являются числами вращения одних и тех же потоков, то они связаны формулой (2.4). Найдем коэффициенты $k, l, m, n$.

Пусть $\gamma(x)$ – непостоянная аналитическая функция. Предположим, что выполнено тождество
\[
\frac{k^{\prime} \gamma+l^{\prime}}{m^{\prime} \gamma+n^{\prime}} \equiv \frac{k^{\prime \prime} \gamma+l^{\prime \prime}}{m^{\prime \prime} \gamma+n^{\prime \prime}},
\]

где $\Sigma^{\prime}=\left\|\begin{array}{cc}k^{\prime} & l^{\prime} \\ m^{\prime} & n^{\prime}\end{array}\right\|$ и $\Sigma^{\prime \prime}=\left\|\begin{array}{cc}k^{\prime \prime} & l^{\prime \prime} \\ m^{\prime \prime} & n^{\prime \prime}\end{array}\right\|$ – две унимодулярные матрицы. Тогда, очевидно, $\Sigma^{\prime}= \pm \Sigma^{\prime \prime}$. Следовательно, в нашей задаче коэффициенты $k, l, m, n$ определяются с точностью до знака.
Рис. 8
Рассмотрим сначала случай, когда $1 / B<p<1 / C$. Полагая $A=B$, найдем
\[
\lim _{p \rightarrow 1 / C} \frac{1}{2 \pi} \alpha(p ; A, A, C) .
\]

Для этого исследуем качение эллипсоида вращения с полуосями $a, c$ по неподвижной плоскости, отстоящей от центра эллипсоида на расстоянии $\sqrt{p}=\sqrt{2 \mathscr{T} / I_{2}^{2}}$ (см. рис. 8). Очевидно, что
\[
\frac{\alpha}{2 \pi}=\frac{r_{1}}{r_{2}},
\]

где $r_{1}, r_{2}$ – радиусы окружностей являющихся соответственно полодиями и герполодиями. Рассмотрим сечение эллипсоида инерции плоскостью, проходящей через ось симметрии и точку касания. Координаты точки касания в прямоугольной системе координат $O x y$ обозначим через $\xi, \eta$ (рис. 8). Нетрудно проверить, что
\[
r_{1}^{2}=\eta^{2}, \quad r_{2}^{2}=\xi^{2}+\eta^{2}-p, \quad p=\frac{1}{C^{2} \xi^{2}+A^{2} \eta^{2}} .
\]

Заменяя $\xi^{2}$ на $\frac{1}{C}-\eta^{2} \frac{A}{C}$, с учетом (2.6) получим следующее равенство:
\[
r_{2}^{2}=\frac{(A-C)^{2} \eta^{2}-A(A-C)^{2} \eta^{4}}{C\left[C+A(A-C) \eta^{2}\right]} .
\]

Если $p \rightarrow 1 / C$, то $\eta \rightarrow 0$ и
\[
\lim _{p \rightarrow 1 / C} \frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}=\lim _{\eta \rightarrow 0} \frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}=\frac{C^{2}}{(A-C)^{2}} .
\]

Следовательно, если $A=B$, то
\[
\lim _{p \rightarrow 1 / C} \frac{\alpha}{2 \pi}=\frac{C}{A-C} .
\]

Согласно п. 2) теоремы 1 , при $A=B$
\[
\lim _{p \rightarrow 1 / C} \gamma=\frac{C}{A-C} .
\]

Так как пределы (2.6) и (2.7) совпадают и являются непостоянными аналитическими функциями моментов инерции $A$ и $C$, то при $1 / B<p<1 / C$
\[
\frac{\alpha}{2 \pi}=\gamma
\]

Рассмотрим случай, когда $1 / A<p<1 / B$. Если $B=C$, то из формулы (2.7) получим, что
\[
\lim _{p \rightarrow 1 / A} \frac{\alpha}{2 \pi}=\frac{A}{A-C} .
\]

В этом случае, согласно п. 1) теоремы 1 ,
\[
\lim _{p \rightarrow 1 / A} \gamma=\frac{C}{A-C} .
\]

Так как
\[
\frac{A}{A-C}=\frac{C}{A-C}+1,
\]

то при $1 / A<p<1 / B$
\[
\frac{\alpha}{2 \pi}=\gamma+1 .
\]

Из этой теоремы вытекает, в частности, что график функции $\alpha(p)$ имеет вид, изображенный на рис. 7 .