Функцию Гамильтона этой задачи можно представить в виде
\[
\mathscr{H}=\mathscr{H}_{0}+\mu \mathscr{H}_{1},
\]

где $\mathscr{H}_{0}$ – кинетическая энергия системы (гамильтониан задачи Эйлера-Пуансо), $\mu \mathscr{H}_{1}$ – потенциальная энергия ( $\mu-$ произведение веса тела на расстояние от точки подвеса до центра тяжести) (подробности см. в гл. II). Будем считать параметр $\mu$ малым.

Используя интеграл площадей, понизим число степеней свободы до двух. Всюду ниже предполагается, что постоянная площадей зафиксирована.

Невозмущенная задача, когда $\mu=0$, интегрируема. В переменных действие-угол $I, \varphi$ функция $\mathscr{H}_{0}$ зависит только от $I=\left(I_{1}, I_{2}\right)$. Она определена в области $\Delta$ и аналитична всюду, за исключением точек, лежащих на границе $\partial \Delta_{a}$ (см. гл. II).

Согласно формуле (4.2) гл. II возмущающая функция $\mathscr{H}_{1}$ имеет следующий вид:
\[
\begin{aligned}
\mathscr{H}_{1} & =\alpha_{1}\left(\sin \delta s_{11} \sin \varphi_{2}+\sin \delta s_{21} \cos \varphi_{2}+\cos \delta s_{31}\right)+ \\
& +\alpha_{2}\left(\sin \delta s_{12} \sin \varphi_{2}+\sin \delta s_{22} \cos \varphi_{2}+\cos \delta s_{32}\right)+ \\
& +\alpha_{3}\left(\sin \delta s_{13} \sin \varphi_{2}+\sin \delta s_{23} \cos \varphi_{2}+\cos \delta s_{33}\right) .
\end{aligned}
\]

Через $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ обозначены соответственно $x / r, y / r, z / r$.

Можно показать $[22,26,39]$, что
\[
\begin{array}{l}
s_{11}=\frac{\varkappa}{\sqrt{\varkappa^{2}+\Lambda^{2}}} \frac{\vartheta_{4}(0)}{2 i \vartheta_{1}(i \sigma)}\left(\frac{\vartheta_{1}\left(\varphi_{1}+i \sigma\right)}{\vartheta_{4}\left(\varphi_{1}\right)}+\frac{\vartheta_{1}\left(\varphi_{1}-i \sigma\right)}{\vartheta_{4}\left(\varphi_{1}\right)}\right) \text {, } \\
s_{21}=\frac{\varkappa}{\sqrt{\varkappa^{2}+\Lambda^{2}}} \frac{\vartheta_{4}(0)}{2 \vartheta_{1}(i \sigma)}\left(\frac{\vartheta_{1}\left(\varphi_{1}+i \sigma\right)}{\vartheta_{4}\left(\varphi_{1}\right)}-\frac{\vartheta_{1}\left(\varphi_{1}-i \sigma\right)}{\vartheta_{4}\left(\varphi_{1}\right)}\right), \\
s_{12}=-\frac{\vartheta_{4}(0)}{2 \vartheta_{2}(i \sigma)}\left(\frac{\vartheta_{2}\left(\varphi_{1}+i \sigma\right)}{\vartheta_{4}\left(\varphi_{1}\right)}+\frac{\vartheta_{2}\left(\varphi_{1}-i \sigma\right)}{\vartheta_{4}\left(\varphi_{1}\right)}\right) \text {, } \\
s_{22}=\frac{\vartheta_{4}(0)}{2 i \vartheta_{2}(i \sigma)}\left(\frac{\vartheta_{2}\left(\varphi_{1}+i \sigma\right)}{\vartheta_{4}\left(\varphi_{1}\right)}-\frac{\vartheta_{2}\left(\varphi_{1}-i \sigma\right)}{\vartheta_{4}\left(\varphi_{1}\right)}\right) \text {, } \\
s_{13}=-\frac{\Lambda}{\sqrt{\varkappa^{2}+\Lambda^{2}}} \frac{\vartheta_{4}(0)}{2 i \vartheta_{4}(i \sigma)}\left(\frac{\vartheta_{4}\left(\varphi_{1}+i \sigma\right)}{\vartheta_{4}\left(\varphi_{1}\right)}-\frac{\vartheta_{4}\left(\varphi_{1}-i \sigma\right)}{\vartheta_{4}\left(\varphi_{1}\right)}\right) \text {, } \\
s_{23}=-\frac{\Lambda}{\sqrt{\varkappa^{2}+\Lambda^{2}}} \frac{\vartheta_{4}(0)}{2 \vartheta_{4}(i \sigma)}\left(\frac{\vartheta_{4}\left(\varphi_{1}+i \sigma\right)}{\vartheta_{4}\left(\varphi_{1}\right)}+\frac{\vartheta_{4}\left(\varphi_{1}-i \sigma\right)}{\vartheta_{4}\left(\varphi_{1}\right)}\right) \text {, } \\
s_{31}=\frac{\Lambda}{\sqrt{\varkappa^{2}+\Lambda^{2}}} \operatorname{cn} \frac{2 K}{\pi} \varphi_{1}, \\
s_{32}=-\frac{\Lambda \sqrt{1+\varkappa^{2}}}{\sqrt{\varkappa^{2}+\Lambda^{2}}} \operatorname{sn} \frac{2 K}{\pi} \varphi_{1}, \\
s_{33}=\frac{\varkappa}{\sqrt{\varkappa^{2}+\Lambda^{2}}} \mathrm{dn} \frac{2 K}{\pi} \varphi_{1} \text {. } \\
\end{array}
\]

Через $\vartheta_{i}(z)(i=1,2,4)$ обозначены, как обычно, тэта-функции $[7,8]$, а выражения для $\varkappa, \Lambda, \sigma$ выписаны в $§ 4$ гл. II.

Из формул (3.2) видно, что при фиксированных значениях $I \in \Delta_{a}^{0} \subset \Delta_{a}$ возмущающая функция $\mathscr{H}_{1}(I, \varphi)$ аналитична на двумерном торе $\mathbf{T}^{2}\{\varphi \bmod 2 \pi\}$ и является однозначной мероморфной функцией в $\mathbf{C} \times \mathbf{C}$. Следовательно, в рассматриваемой задаче можно поставить вопрос о существовании новых однозначных аналитических интегралов.

Положим,
\[
F_{k}^{+}=\frac{\vartheta_{k}(\varphi+i \sigma)}{\vartheta_{4}(\varphi)}, \quad F_{k}^{-}=\frac{\vartheta_{k}(\varphi-i \sigma)}{\vartheta_{4}(\varphi)}, \quad k=1,2,4 ; \quad \tau=i \frac{\mathbf{K}^{\prime}}{\mathbf{K}} .
\]

Используя свойства тэта-функций, нетрудно показать, что
\[
\begin{array}{l}
F_{k}^{ \pm}(\varphi+2 \pi)=F_{k}^{ \pm}(\varphi), \quad k=1,2,4 ; \\
F_{k}^{ \pm}(\varphi+\pi \tau)=e^{ \pm 2 \sigma} F_{k}^{ \pm}(\varphi), \quad k=1,4 ; \\
F_{2}^{ \pm}(\varphi+\pi \tau)=-e^{ \pm 2 \sigma} F_{2}^{ \pm}(\varphi) .
\end{array}
\]

С помощью формул (3.2) возмущающую функцию можно представить в следующем виде:
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{H}_{1}=e^{i \varphi_{2}} \sum_{k=1}^{3} \alpha_{k} f_{k}^{+}\left(I, \varphi_{1}\right)+ \\
+e^{-i \varphi_{2}} \sum_{k=1}^{3} \alpha_{k} f_{k}^{-}\left(I, \varphi_{1}\right)+\mathscr{F}\left(I, \varphi_{1}\right),
\end{array}
\]

причем
\[
\begin{array}{l}
f_{k}^{ \pm}(I, z+\pi \tau)=e^{\mp 2 \sigma} f_{k}^{ \pm}(I, z), \quad k=1,3 \\
f_{2}^{ \pm}(I, z+\pi \tau)=-e^{\mp 2 \sigma} f_{2}^{ \pm}(I, z) .
\end{array}
\]

Отметим, что
\[
\overline{f_{k}^{+}}=f_{k}^{-}, \quad f_{k}^{+}=\overline{f_{k}^{-}} \quad(k=1,2,3) .
\]

Невозмущенная интегрируемая задача Эйлера-Пуансо невырождена: гессиан
\[
\operatorname{det} \frac{\partial^{2} \mathscr{H}_{0}}{\partial I^{2}}
\]

отличен от нуля во всей области $\Delta_{a}$. Существует ли контур $\Gamma$ и начальные условия ( $\left.I^{0}, \varphi^{0}\right) \in \Delta_{a}^{0} \times \mathbf{T}^{2}$, при которых соответствующая функция $I^{1}\left(t ; I^{0}, \varphi^{0}\right)$ неоднозначна вдоль $\Gamma$ ?

Обозначим через $B_{n}(n \in \mathbf{Z})$ множество точек $I \in \Delta_{a}^{0}$, удовлетворяющих условиям: $\omega_{2}(I) / \omega_{1}(I)=n$ и $I \in \mathscr{B}$ ( $\mathscr{B}$ – вековое множество). Пусть $I^{0}$ принадлежит некоторому $B_{n}$, а начальные фазы $\varphi^{0}=\left(\varphi_{1}^{0}, \varphi_{2}^{0}\right)=0$. Рассмотрим на комплексной плоскости $t \in \mathbf{C}$ замкнутый контур $\Gamma$ – границу прямоугольника $A B C D$ (см. рис. 13). Здесь $\alpha=\pi \mathbf{K}^{\prime} / \mathbf{K}$, $T=2 \pi / \omega_{1}$. Число $\tau$ выберем так, чтобы мероморфные функции
\[
f_{k}^{ \pm}\left(I^{0}, \omega_{1} z\right), \quad k=1,2,3 ; \quad \mathscr{F}\left(I^{0}, \omega_{1} z\right)
\]

не имели полюсов на $\Gamma$.
Обозначим через $\gamma$ замкнутую непрерывную кривую в $\mathbf{C} \times \mathbf{C}$, являющуюся образом $\Gamma$ при отображении
\[
\varphi=\omega\left(I^{0}\right) t, \quad \omega=\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right), \quad t \in \Gamma .
\]

Пусть $V$ – малая окрестность точки $I^{0} \in B_{n}, \Omega$ – связная окрестность контура $\gamma$ в $\mathbf{C} \times \mathbf{C}, \Pi(s) \subset \Omega \subset \Pi(S)(0<s<S)$, такая, что при всех $I=I^{0} \in V$ мероморфные функции (3.5) не имеют полюсов в области $\Omega$.

Теорема 2. Для любого несимметричного твердого тела существует $N(A, B, C)$ такое, что, если точка
\[
I^{0} \in \mathbf{B}=\bigcup_{|n| \geqslant N} B_{n} \subset \mathscr{B},
\]

то канонические уравнения движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой не имеют независимого от функции (3.1) однозначного интеграла $\mathscr{F}(I, \varphi, \mu)$, аналитического в прямом произедении $V \times \Omega \times(-\varepsilon, \varepsilon)$.