Переменные Эйлера-Пуассона $p,q,r,{\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3$ снова (как в гл. VII) обозначим через $x_1,x_2,\dots ,x_6$. Уравнения движения тела в случае Ковалевской можно привести к следующему виду:
$$\begin{array}{rlrl}2{\dot{x}}_1& =x_2{x}_3,& & {\dot{x}}_4=x_3{x}_5-x_2{x}_6,\\ 2{\dot{x}}_2& =-x_1{x}_3+u{x}_6,& & {\dot{x}}_5=x_1{x}_6-x_3{x}_4,\\ {\dot{x}}_3& =-u{x}_5,& & {\dot{x}}_6=x_2{x}_4-x_1{x}_5.\end{array}$$

Здесь $u=\mathrm{Pr}/C,P$ — вес тела, $r$ — расстояние от центра тяжести до точки подвеса, $C$ — момент инерции относительно оси динамической симметрии. Уравнения (1.1) имеют четыре

первых интеграла:
$$\begin{array}{rl}2I_1& =2(x_1^2+x_2^2)+2u{x}_4,\\ 2I_2& =2(x_1{x}_4+x_2{x}_5)+x_3{x}_6,\\ I_3^2& ={(x_1^2-x_2^2-u{x}_4)}^2+{(2x_1{x}_2-u{x}_5)}^2,\\ I_4& =x_4^2+x_5^2+x_6^2(I_4=1).\end{array}$$

Интеграл $I_3^2$ был найден С. В. Ковалевской.
При фиксированных значениях $I_1,I_2,I_3,I_4=1$ обозначим через $\mathcal{E}$ множество точек $x\in {\mathbf{R}}^6\{x_1,\dots ,x_6\}$, которые удовлетворяют системе уравнений (1.2). Ясно, что $\mathcal{E}$ инвариантно относительно группы $g^t$ сдвигов по траекториям уравнений (1.1). Так как $\mathcal{E}$ замкнуто и ограничено в ${\mathbf{R}}^6$, то оно компактно. Всюду ниже рассматриваются только такие множества $\mathcal{E}$, на которых первые интегралы (1.2) независимы. В этом случае $\mathcal{E}$ — гладкое двумерное многообразие. Исключительные значения параметров $I_1,I_2,I_3$ образуют множество нулевой меры. Точно так, как в § 1 гл. VII, доказывается, что каждая связная компонента множества $\mathcal{E}$ является двумерным тором.
Лемма 1. Если $u$ мало, то $\mathcal{E}$ — объединение двух торов.
Покажем теперь, как привести с помощью квадратур уравнения движения на этих торах к следующему виду:
$${\dot{\phi }}_1={\omega }_1,{\dot{\phi }}_2={\omega }_2;{\omega }_1,{\omega }_2=\text{ const. }$$

Такая форма уравнений существует согласно теореме Лиувилля — Арнольда об интегрируемых системах [4]. Введем, следуя С. В. Ковалевской, новые переменные $s_1,s_2$, которые выражаются через переменные Эйлера-Пуассона по формулам
$$\begin{array}{c}{s}_{1,2}=I_1+\frac{R(z_1,z_2)\mp \sqrt{R\left(z_1\right)R\left(z_2\right)}}{{(z_1-z_2)}^2},\\ z_{1,2}=x_1\pm i{x}_2,R(z)=R(z,z),\\ R(z_1,z_2)=-z_1^2{z}_2^2+1I_1{z}_1{z}_2+2u{I}_2(z_1+z_2)+u^2-I_3^2.\end{array}$$

Как показала С. В. Ковалевская [36], в новых переменных уравнения движения имеют следующий вид:
$$\begin{array}{l}\frac{d{s}_1}{\sqrt{\mathrm{\Phi }\left(s_1\right)}}+\frac{d{s}_2}{\sqrt{\mathrm{\Phi }\left(s_2\right)}}=0,\frac{s_{1}d{s}_1}{\sqrt{\mathrm{\Phi }\left(s_1\right)}}+\frac{s_{2}d{s}_1}{\sqrt{\mathrm{\Phi }\left(s_1\right)}}=\frac{idt}{2},\\ \mathrm{\Phi }(z)=\{z[{(z-I_1)}^2+u^2-I_3^2]-2u^2{I}_2^2\}\times \\ \times (z-I_1+I_3)(z-I_1-I_3).\end{array}$$

Авторы работ, посвященных задаче Ковалевской, использовали уравнения (1.4), в которых явно присутствуют комплексные величины. Это создает определенные неудобства при исследовании действительных движений системы. Мнимых величин можно избежать, записывая уравнения (1.4) в форме
$$\frac{d{s}_1}{\sqrt{-\mathrm{\Phi }\left(s_1\right)}}+\frac{d{s}_2}{\sqrt{-\mathrm{\Phi }\left(s_2\right)}}=0,\frac{s_{1}d{s}_1}{\sqrt{-\mathrm{\Phi }\left(s_1\right)}}+\frac{s_{2}d{s}_2}{\sqrt{-xx\mathrm{\Phi }\left(s_2\right)}}=\frac{dt}{2}.$$

Докажем, что в действительном движении переменные $s_1$ и $s_2$ принимают действительные значения. Ясно, что $z_2{\overline{z}}_1$, ${\overline{z}}_2=z_1$. Так как $R(z_1,z_2)$ и ${(z_1-z_2)}^2$ — симметрические многочлены относительно $z_1$ и $z_2$ с действительными коэффициентами, то они принимают только действительные значения. Далее, выражение
$$R\left(z_1\right)R\left(z_2\right)=R\left(z_1\right)R\left({\overline{z}}_1\right)=R\left(z_1\right)\overline{R\left(z_1\right)},$$

очевидно, неотрицательно. Действительность переменных $s_1$ и $s_2$ вытекает теперь из формул (1.3).

Из формул (1.5) следует, что область действительных движений определяется на плоскости ${\mathbf{R}}^2\{s_1,s_2\}$ неравенствами $\mathrm{\Phi }\left(s_1\right)⩽0,\mathrm{\Phi }\left(s_2\right)⩽0$. На рис. 18 изображена область возможных движений для случая, когда многочлен $\mathrm{\Phi }(z)$ имеет пять действительных корней (она заштрихована).

Движение не может происходить в областях 3,5 и 7 , так как внутри этих областей существуют точки $s_1$ и $s_2$ такие, что $s_1=s_2$. Из (1.3) следует тогда, что $R\left(z_1\right)=\overline{R\left(z_2\right)}=0$.

Так как $R(z)$ — многочлен четвертой степени, то при фиксированных постоянных первых интегралов уравнение $R(z)=0$ может иметь не более четырех корней. Поэтому на инвариантных торах существует конечное число точек, в которых $s_1=s_2$. Но в областях 3,5 и 7 таких точек бесконечно много.

Таким образом, движение может быть только в областях $1,2,4,6,8,9$. Покажем, что при малых значениях $u$ действительное движение происходит в «стаканах» 1 и 9 . Пусть сначала $u=0$. Выясним, в какую область попадут начальные условия для $s_1$ и $s_2$. При $u=0$ многочлен $\mathrm{\Phi }(z)$ не зависит от постоянной площадей $I_2$ и имеет вид
$$\mathrm{\Phi }(z)=z{(z-I_1-I_3)}^2{(z-I_1+I_3)}^2.$$

Интегралы энергии и интеграл Ковалевской запишутся так:
$$H=x_1^2+x_2^2+x_3^2/2=I_1,K=x_1^2+x_2^2=I_3(I_3>0).$$

Очевидно, что на любой из двух связных компонент множества $\{H=I_1,K=I_3\}$ в ${\mathbf{R}}^3\{x_1,x_2,x_3\}$ существуют точки,

$x_1$-координата которых равна нулю. Рассмотрим эти начальные условия. Тогда из (1.3) получим, что $s_1=0,s_2=I_1+I_2$. Заметим, что корень ( $I_1-I_3$ ) многочлена $\mathrm{\Phi }(z)$ лежит справа от нуля, так как $I_1-I_3=x_3^2/2>0$. Значит, область действительных движений в этом случае $s_1⩽0,s_2=I_1+I_3$. Пусть теперь $ueq0$, но очень мало. Тогда $s_1$ будет изменяться от $-\mathrm{\infty }$ до числа, близкого к нулю (так как $z=0$ — простой корень многочлена $\mathrm{\Phi }(z)$ при $u=0$ ), а $s_2$ будет заключено между двумя числами, мало отличающимися от $I_1=I_3$. Следовательно, действительное движение при малых значениях параметра $u$ имеет место в областях 1 и 9.

Для того, чтобы изучить это движение, перепишем уравнение (1.5) в виде
$${\dot{s}}_1=\frac{\sqrt{-\mathrm{\Phi }\left(s_1\right)}}{2(s_1-s_2)},{\dot{s}}_2=\frac{\sqrt{-\mathrm{\Phi }\left(s_2\right)}}{2(s_1-s_2)}.$$

Эти уравнения имеют тот же вид, что и уравнения (2.3) гл. VII в случае Горячева-Чаплыгина. Поэтому качественный характер изменения переменных $s_1,s_2$ в случае Ковалевской тот же самый, что в соответствующих переменных $s_1,s_2$ в случае Горячева-Чаплыгина, с той лишь разницей, что в рассматриваемой ситуации $s_1,s_2$ могут уходить в бесконечность. Заметим, что уход $s_1$ (или $s_2$ ) в бесконечность происходит за конечное время, так как сходится интеграл
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^a\frac{zdz}{\sqrt{-\mathrm{\Phi }(z)}}\left({\int }_a^{\mathrm{\infty }}\frac{zdz}{\sqrt{-\mathrm{\Phi }(z)}}\right),$$

где $a$ — наименьший (наибольший) простой корень многочлена $\mathrm{\Phi }(z)$. Возвращение переменной $s_1$ (или $s_2$ ) также происходит за конечное время.

Перейдем к вычислению инвариантов динамических систем, возникающих на $\mathcal{E}$ — чисел вращения касательных векторных полей, которые индуцируются уравнениями Эйлера-Пуассона.

Для определенности будем рассматривать двумерные инвариантные торы, которые соответствуют областям 1 и 9 на

плоскости ${\mathbf{R}}^2\{s_1,s_2\}$. Корни многочлена $\mathrm{\Phi }(z)$ обозначим $a_0$, $a_1,a_2,a_3,a_4$; они расположены в возрастающем порядке. Область 1 на рис. 18 определяется неравенствами $-\mathrm{\infty }⩽s_1⩽a_0$, $a_3⩽s_2⩽a_4$.

В уравнениях (1.6) сделаем замену переменных $s_1=s_1\left({\psi }_1\right)$, $s_2=s_2\left({\psi }_2\right)$ по формулам
$$\begin{array}{l}{\psi }_1=\frac{\pi }{{\tau }_1}{\int }_{s_1}^{a_0}\frac{ds}{\sqrt{-\mathrm{\Phi }(s)}},{\psi }_2=\frac{\pi }{{\tau }_2}{\int }_{a_3}^{s_2}\frac{ds}{\sqrt{-\mathrm{\Phi }(s)}},\\ {\tau }_1={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{a_0}\frac{ds}{\sqrt{-\mathrm{\Phi }(s)}},{\tau }_2={\int }_{a_3}^{a_4}\frac{ds}{\sqrt{-\mathrm{\Phi }(s)}},\\ s_1\in (-\mathrm{\infty },a_0],s_2\in (a_3,a_4].\end{array}$$

Тогда ${\psi }_1,{\psi }_{2}mod2\pi$ — угловые переменные на инвариантных торах ${\mathrm{T}}^2(I_1,I_2,I_3)$, соответствующих областям вида 1 при замене Ковалевской (1.3). В новых переменных ${\psi }_1,{\psi }_2$ $mod2\pi$ уравнения (1.6) приводятся к виду
$${\dot{\psi }}_1=\frac{\pi }{2{\tau }_1}\frac{1}{s_2\left({\psi }_2\right)-s_1\left({\psi }_1\right)},{\dot{\psi }}_2=\frac{\pi }{2{\tau }_2}\frac{1}{s_2\left({\psi }_2\right)-s_1\left({\psi }_1\right)},$$

где $s_i(z)$ — действительные гиперэллиптические функции с периодом $2\pi$, определяемые из соотношений (1.7).

Уравнения (1.8) имеют интегральный инвариант с плотностью $F=s_1\left({\psi }_1\right)-s_2\left({\psi }_2\right)$ (см. § 4 гл. VII); эта функция нигде в нуль не обращается. Из (1.8) следует, что числа вращения равны $\gamma ={\tau }_2/{\tau }_1$. Значит, числа вращения динамических систем на инвариантных торах задачи Ковалевской равны отношениям периодов гиперэллиптического интеграла
$${\int }_{z_0}^z\frac{dz}{\sqrt{-\mathrm{\Phi }(z)}}$$

где $\mathrm{\Phi }(z)$ — многочлен Ковалевской.
Из теоремы 1 гл. VII следует, что с помощью замены пе-

ременных
$$\begin{array}{c}{\phi }_1={\psi }_i+\frac{1}{J{\tau }_i}\sum _{j=1}^2{\tau }_j[F_j\left({\psi }_j\right)-J_j{\psi }_j],\\ F_1(t)={\int }_0^2{s}_2(x)dx,F_2(t)=-{\int }_0^t{s}_1(x)dx,\\ J_j=\frac{1}{2\pi }{F}_j(2\pi ),J=J_1+J_2,\end{array}$$

уравнения (1.8) приводятся к системе
$$\begin{array}{c}{\dot{\phi }}_1={\omega }_1=\frac{\pi }{{\tau }_1\mathrm{\Lambda }},{\dot{\phi }}_2={\omega }_2=\frac{\pi }{{\tau }_2\mathrm{\Lambda }},\\ \mathrm{\Lambda }=\frac{1}{2\pi }({\int }_0^{2\pi }{s}_1(x)dx-{\int }_0^{2\pi }{s}_2(y)dy)eq0.\end{array}$$

Данные преобразования содержат только алгебраические операции, вычисление интегралов от известных функций и обращение этих интегралов. Таким образом, уравнения (1.9), определяющие на двумерных инвариантных торах условнопериодическое движение, и есть те уравнения, которые должны существовать по теореме Лиувилля-Арнольда об интегрируемости.

Динамические системы на ${\mathbf{T}}^2$ вида ${\dot{\phi }}_1={\omega }_1,{\dot{\phi }}_2={\omega }_2$; ${\omega }_i=$ const вполне определяются одним инвариантом — числом вращения $\gamma ={\omega }_1/{\omega }_2$. При этом надо иметь в виду, что у этой системы есть бесконечно много чисел вращения, но все они выражаются через одно $\gamma ={\omega }_1/{\omega }_2$ при помощи соотношения
$$\mathrm{\Gamma }=\frac{a\gamma +b}{c\gamma +d}$$

где $\Vert \begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\Vert$ — унимодулярная матрица с целочисленными коэффициентами (см. $\mathrm{\S }2$ гл. II). В частности, $1/\gamma$ — также число вращения.

Для торов, соответствующих области 1 , числа вращения даются формулой $\gamma ={\tau }_1/{\tau }_2$. Ясно, что число вращения для области 9 то же, что и для области 1. Значит, при малых $u$

динамические системы, возникающие на двух связных компонентах множества $\mathcal{E}$, изоморфны.

ЗамЕчаниЕ. Число вращения векторных полей на двумерных инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо вычислены в § 2 гл. II. Нетрудно показать, что в случае Лангранжа-Пуассона числа вращения равны отношению периода изменения угла нутации к периоду среднего собственного вращения.