Переменные Эйлера-Пуассона $p, q, r, \gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$ снова (как в гл. VII) обозначим через $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{6}$. Уравнения движения тела в случае Ковалевской можно привести к следующему виду:
\[
\begin{aligned}
2 \dot{x}_{1} & =x_{2} x_{3}, & & \dot{x}_{4}=x_{3} x_{5}-x_{2} x_{6}, \\
2 \dot{x}_{2} & =-x_{1} x_{3}+
u x_{6}, & & \dot{x}_{5}=x_{1} x_{6}-x_{3} x_{4}, \\
\dot{x}_{3} & =-
u x_{5}, & & \dot{x}_{6}=x_{2} x_{4}-x_{1} x_{5} .
\end{aligned}
\]

Здесь $
u=\operatorname{Pr} / C, P$ – вес тела, $r$ – расстояние от центра тяжести до точки подвеса, $C$ – момент инерции относительно оси динамической симметрии. Уравнения (1.1) имеют четыре

первых интеграла:
\[
\begin{aligned}
2 I_{1} & =2\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)+2
u x_{4}, \\
2 I_{2} & =2\left(x_{1} x_{4}+x_{2} x_{5}\right)+x_{3} x_{6}, \\
I_{3}^{2} & =\left(x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-
u x_{4}\right)^{2}+\left(2 x_{1} x_{2}-
u x_{5}\right)^{2}, \\
I_{4} & =x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2} \quad\left(I_{4}=1\right) .
\end{aligned}
\]

Интеграл $I_{3}^{2}$ был найден С. В. Ковалевской.
При фиксированных значениях $I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}=1$ обозначим через $\mathscr{E}$ множество точек $x \in \mathbf{R}^{6}\left\{x_{1}, \ldots, x_{6}\right\}$, которые удовлетворяют системе уравнений (1.2). Ясно, что $\mathscr{E}$ инвариантно относительно группы $g^{t}$ сдвигов по траекториям уравнений (1.1). Так как $\mathscr{E}$ замкнуто и ограничено в $\mathbf{R}^{6}$, то оно компактно. Всюду ниже рассматриваются только такие множества $\mathscr{E}$, на которых первые интегралы (1.2) независимы. В этом случае $\mathscr{E}$ – гладкое двумерное многообразие. Исключительные значения параметров $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ образуют множество нулевой меры. Точно так, как в § 1 гл. VII, доказывается, что каждая связная компонента множества $\mathscr{E}$ является двумерным тором.
Лемма 1. Если $
u$ мало, то $\mathscr{E}$ – объединение двух торов.
Покажем теперь, как привести с помощью квадратур уравнения движения на этих торах к следующему виду:
\[
\dot{\varphi}_{1}=\omega_{1}, \quad \dot{\varphi}_{2}=\omega_{2} ; \quad \omega_{1}, \omega_{2}=\text { const. }
\]

Такая форма уравнений существует согласно теореме Лиувилля – Арнольда об интегрируемых системах [4]. Введем, следуя С. В. Ковалевской, новые переменные $s_{1}, s_{2}$, которые выражаются через переменные Эйлера-Пуассона по формулам
\[
\begin{array}{c}
s_{1,2}=I_{1}+\frac{R\left(z_{1}, z_{2}\right) \mp \sqrt{R\left(z_{1}\right) R\left(z_{2}\right)}}{\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}}, \\
z_{1,2}=x_{1} \pm i x_{2}, \quad R(z)=R(z, z), \\
R\left(z_{1}, z_{2}\right)=-z_{1}^{2} z_{2}^{2}+1 I_{1} z_{1} z_{2}+2
u I_{2}\left(z_{1}+z_{2}\right)+
u^{2}-I_{3}^{2} .
\end{array}
\]

Как показала С. В. Ковалевская [36], в новых переменных уравнения движения имеют следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d s_{1}}{\sqrt{\Phi\left(s_{1}\right)}}+\frac{d s_{2}}{\sqrt{\Phi\left(s_{2}\right)}}=0, \quad \frac{s_{1} d s_{1}}{\sqrt{\Phi\left(s_{1}\right)}}+\frac{s_{2} d s_{1}}{\sqrt{\Phi\left(s_{1}\right)}}=\frac{i d t}{2}, \\
\Phi(z)=\left\{z\left[\left(z-I_{1}\right)^{2}+
u^{2}-I_{3}^{2}\right]-2
u^{2} I_{2}^{2}\right\} \times \\
\times\left(z-I_{1}+I_{3}\right)\left(z-I_{1}-I_{3}\right) . \\
\end{array}
\]

Авторы работ, посвященных задаче Ковалевской, использовали уравнения (1.4), в которых явно присутствуют комплексные величины. Это создает определенные неудобства при исследовании действительных движений системы. Мнимых величин можно избежать, записывая уравнения (1.4) в форме
\[
\frac{d s_{1}}{\sqrt{-\Phi\left(s_{1}\right)}}+\frac{d s_{2}}{\sqrt{-\Phi\left(s_{2}\right)}}=0, \quad \frac{s_{1} d s_{1}}{\sqrt{-\Phi\left(s_{1}\right)}}+\frac{s_{2} d s_{2}}{\sqrt{-x x \Phi\left(s_{2}\right)}}=\frac{d t}{2} .
\]

Докажем, что в действительном движении переменные $s_{1}$ и $s_{2}$ принимают действительные значения. Ясно, что $z_{2} \bar{z}_{1}$, $\bar{z}_{2}=z_{1}$. Так как $R\left(z_{1}, z_{2}\right)$ и $\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}$ – симметрические многочлены относительно $z_{1}$ и $z_{2}$ с действительными коэффициентами, то они принимают только действительные значения. Далее, выражение
\[
R\left(z_{1}\right) R\left(z_{2}\right)=R\left(z_{1}\right) R\left(\bar{z}_{1}\right)=R\left(z_{1}\right) \overline{R\left(z_{1}\right)},
\]

очевидно, неотрицательно. Действительность переменных $s_{1}$ и $s_{2}$ вытекает теперь из формул (1.3).

Из формул (1.5) следует, что область действительных движений определяется на плоскости $\mathbf{R}^{2}\left\{s_{1}, s_{2}\right\}$ неравенствами $\Phi\left(s_{1}\right) \leqslant 0, \Phi\left(s_{2}\right) \leqslant 0$. На рис. 18 изображена область возможных движений для случая, когда многочлен $\Phi(z)$ имеет пять действительных корней (она заштрихована).

Движение не может происходить в областях 3,5 и 7 , так как внутри этих областей существуют точки $s_{1}$ и $s_{2}$ такие, что $s_{1}=s_{2}$. Из (1.3) следует тогда, что $R\left(z_{1}\right)=\overline{R\left(z_{2}\right)}=0$.

Так как $R(z)$ – многочлен четвертой степени, то при фиксированных постоянных первых интегралов уравнение $R(z)=0$ может иметь не более четырех корней. Поэтому на инвариантных торах существует конечное число точек, в которых $s_{1}=s_{2}$. Но в областях 3,5 и 7 таких точек бесконечно много.

Таким образом, движение может быть только в областях $1,2,4,6,8,9$. Покажем, что при малых значениях $
u$ действительное движение происходит в «стаканах» 1 и 9 . Пусть сначала $
u=0$. Выясним, в какую область попадут начальные условия для $s_{1}$ и $s_{2}$. При $
u=0$ многочлен $\Phi(z)$ не зависит от постоянной площадей $I_{2}$ и имеет вид
\[
\Phi(z)=z\left(z-I_{1}-I_{3}\right)^{2}\left(z-I_{1}+I_{3}\right)^{2} .
\]

Интегралы энергии и интеграл Ковалевской запишутся так:
\[
H=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2} / 2=I_{1}, \quad K=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=I_{3} \quad\left(I_{3}>0\right) .
\]

Очевидно, что на любой из двух связных компонент множества $\left\{H=I_{1}, K=I_{3}\right\}$ в $\mathbf{R}^{3}\left\{x_{1}, x_{2}, x_{3}\right\}$ существуют точки,

$x_{1}$-координата которых равна нулю. Рассмотрим эти начальные условия. Тогда из (1.3) получим, что $s_{1}=0, s_{2}=I_{1}+I_{2}$. Заметим, что корень ( $I_{1}-I_{3}$ ) многочлена $\Phi(z)$ лежит справа от нуля, так как $I_{1}-I_{3}=x_{3}^{2} / 2>0$. Значит, область действительных движений в этом случае $s_{1} \leqslant 0, s_{2}=I_{1}+I_{3}$. Пусть теперь $
u
eq 0$, но очень мало. Тогда $s_{1}$ будет изменяться от $-\infty$ до числа, близкого к нулю (так как $z=0$ – простой корень многочлена $\Phi(z)$ при $
u=0$ ), а $s_{2}$ будет заключено между двумя числами, мало отличающимися от $I_{1}=I_{3}$. Следовательно, действительное движение при малых значениях параметра $
u$ имеет место в областях 1 и 9.

Для того, чтобы изучить это движение, перепишем уравнение (1.5) в виде
\[
\dot{s}_{1}=\frac{\sqrt{-\Phi\left(s_{1}\right)}}{2\left(s_{1}-s_{2}\right)}, \quad \dot{s}_{2}=\frac{\sqrt{-\Phi\left(s_{2}\right)}}{2\left(s_{1}-s_{2}\right)} .
\]

Эти уравнения имеют тот же вид, что и уравнения (2.3) гл. VII в случае Горячева-Чаплыгина. Поэтому качественный характер изменения переменных $s_{1}, s_{2}$ в случае Ковалевской тот же самый, что в соответствующих переменных $s_{1}, s_{2}$ в случае Горячева-Чаплыгина, с той лишь разницей, что в рассматриваемой ситуации $s_{1}, s_{2}$ могут уходить в бесконечность. Заметим, что уход $s_{1}$ (или $s_{2}$ ) в бесконечность происходит за конечное время, так как сходится интеграл
\[
\int_{-\infty}^{a} \frac{z d z}{\sqrt{-\Phi(z)}}\left(\int_{a}^{\infty} \frac{z d z}{\sqrt{-\Phi(z)}}\right),
\]

где $a$ – наименьший (наибольший) простой корень многочлена $\Phi(z)$. Возвращение переменной $s_{1}$ (или $s_{2}$ ) также происходит за конечное время.

Перейдем к вычислению инвариантов динамических систем, возникающих на $\mathscr{E}$ – чисел вращения касательных векторных полей, которые индуцируются уравнениями Эйлера-Пуассона.

Для определенности будем рассматривать двумерные инвариантные торы, которые соответствуют областям 1 и 9 на

плоскости $\mathbf{R}^{2}\left\{s_{1}, s_{2}\right\}$. Корни многочлена $\Phi(z)$ обозначим $a_{0}$, $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$; они расположены в возрастающем порядке. Область 1 на рис. 18 определяется неравенствами $-\infty \leqslant s_{1} \leqslant a_{0}$, $a_{3} \leqslant s_{2} \leqslant a_{4}$.

В уравнениях (1.6) сделаем замену переменных $s_{1}=s_{1}\left(\psi_{1}\right)$, $s_{2}=s_{2}\left(\psi_{2}\right)$ по формулам
\[
\begin{array}{l}
\psi_{1}=\frac{\pi}{\tau_{1}} \int_{s_{1}}^{a_{0}} \frac{d s}{\sqrt{-\Phi(s)}}, \quad \psi_{2}=\frac{\pi}{\tau_{2}} \int_{a_{3}}^{s_{2}} \frac{d s}{\sqrt{-\Phi(s)}}, \\
\tau_{1}=\int_{-\infty}^{a_{0}} \frac{d s}{\sqrt{-\Phi(s)}}, \quad \tau_{2}=\int_{a_{3}}^{a_{4}} \frac{d s}{\sqrt{-\Phi(s)}}, \\
s_{1} \in\left(-\infty, a_{0}\right], \quad s_{2} \in\left(a_{3}, a_{4}\right] .
\end{array}
\]

Тогда $\psi_{1}, \psi_{2} \bmod 2 \pi$ – угловые переменные на инвариантных торах $\mathrm{T}^{2}\left(I_{1}, I_{2}, I_{3}\right)$, соответствующих областям вида 1 при замене Ковалевской (1.3). В новых переменных $\psi_{1}, \psi_{2}$ $\bmod 2 \pi$ уравнения (1.6) приводятся к виду
\[
\dot{\psi}_{1}=\frac{\pi}{2 \tau_{1}} \frac{1}{s_{2}\left(\psi_{2}\right)-s_{1}\left(\psi_{1}\right)}, \quad \dot{\psi}_{2}=\frac{\pi}{2 \tau_{2}} \frac{1}{s_{2}\left(\psi_{2}\right)-s_{1}\left(\psi_{1}\right)},
\]

где $s_{i}(z)$ – действительные гиперэллиптические функции с периодом $2 \pi$, определяемые из соотношений (1.7).

Уравнения (1.8) имеют интегральный инвариант с плотностью $F=s_{1}\left(\psi_{1}\right)-s_{2}\left(\psi_{2}\right)$ (см. § 4 гл. VII); эта функция нигде в нуль не обращается. Из (1.8) следует, что числа вращения равны $\gamma=\tau_{2} / \tau_{1}$. Значит, числа вращения динамических систем на инвариантных торах задачи Ковалевской равны отношениям периодов гиперэллиптического интеграла
\[
\int_{z_{0}}^{z} \frac{d z}{\sqrt{-\Phi(z)}}
\]

где $\Phi(z)$ – многочлен Ковалевской.
Из теоремы 1 гл. VII следует, что с помощью замены пе-

ременных
\[
\begin{array}{c}
\varphi_{1}=\psi_{i}+\frac{1}{J \tau_{i}} \sum_{j=1}^{2} \tau_{j}\left[F_{j}\left(\psi_{j}\right)-J_{j} \psi_{j}\right], \\
F_{1}(t)=\int_{0}^{2} s_{2}(x) d x, \quad F_{2}(t)=-\int_{0}^{t} s_{1}(x) d x, \\
J_{j}=\frac{1}{2 \pi} F_{j}(2 \pi), \quad J=J_{1}+J_{2},
\end{array}
\]

уравнения (1.8) приводятся к системе
\[
\begin{array}{c}
\dot{\varphi}_{1}=\omega_{1}=\frac{\pi}{\tau_{1} \Lambda}, \quad \dot{\varphi}_{2}=\omega_{2}=\frac{\pi}{\tau_{2} \Lambda}, \\
\Lambda=\frac{1}{2 \pi}\left(\int_{0}^{2 \pi} s_{1}(x) d x-\int_{0}^{2 \pi} s_{2}(y) d y\right)
eq 0 .
\end{array}
\]

Данные преобразования содержат только алгебраические операции, вычисление интегралов от известных функций и обращение этих интегралов. Таким образом, уравнения (1.9), определяющие на двумерных инвариантных торах условнопериодическое движение, и есть те уравнения, которые должны существовать по теореме Лиувилля-Арнольда об интегрируемости.

Динамические системы на $\mathbf{T}^{2}$ вида $\dot{\varphi}_{1}=\omega_{1}, \dot{\varphi}_{2}=\omega_{2}$; $\omega_{i}=$ const вполне определяются одним инвариантом – числом вращения $\gamma=\omega_{1} / \omega_{2}$. При этом надо иметь в виду, что у этой системы есть бесконечно много чисел вращения, но все они выражаются через одно $\gamma=\omega_{1} / \omega_{2}$ при помощи соотношения
\[
\Gamma=\frac{a \gamma+b}{c \gamma+d}
\]

где $\left\|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right\|$ – унимодулярная матрица с целочисленными коэффициентами (см. $\S 2$ гл. II). В частности, $1 / \gamma$ – также число вращения.

Для торов, соответствующих области 1 , числа вращения даются формулой $\gamma=\tau_{1} / \tau_{2}$. Ясно, что число вращения для области 9 то же, что и для области 1. Значит, при малых $
u$

динамические системы, возникающие на двух связных компонентах множества $\mathscr{E}$, изоморфны.

ЗамЕчаниЕ. Число вращения векторных полей на двумерных инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо вычислены в § 2 гл. II. Нетрудно показать, что в случае Лангранжа-Пуассона числа вращения равны отношению периода изменения угла нутации к периоду среднего собственного вращения.