Напомним некоторые обозначения. Переменные действие угол невозмущенной задачи снова обозначим через $I_{1} I_{2} I_{3} \varphi_{1} \varphi_{2} \varphi_{3}$ (см. гл. II). Переменная $I_{3}$ – интеграл площадей; его постоянную обозначим $I_{3}^{0}$. Отношение частот $\omega_{1} / \omega_{2}$ квазипериодических движений на инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо зависит только от $2 \mathscr{H}_{0} / I_{2}^{2}$ и моментов инерции $A, B, C$. Эта функция в гл. II обозначена через $\gamma$.

Разложение возмущающей функции $\mathscr{H}_{1}\left(I_{1} I_{2} I_{3}^{0} \varphi_{1} \varphi_{2}\right)$ в двойной ряд Фурье по переменным $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ имеет вид
\[
\sum_{-\infty}^{\infty} H_{m, 1} e^{i\left(m \varphi_{1}+\varphi_{2}\right)}+\sum_{-\infty}^{\infty} H_{m,-1} e^{i\left(m \varphi_{1}-\varphi_{2}\right)}+\sum_{-\infty}^{\infty} H_{m, 0} e^{i m \varphi_{2}} .
\]

Коэффициенты $H_{m, 1}, H_{m,-1}, H_{m, 0}$ – функции от $I_{1}, I_{2}, I_{3}^{0}$, аналитические при фиксированном значении $I_{3}^{0}$ в области $\Delta_{a}^{0}$.

Обозначим снова через $x, y, z$ координаты центра тяжести тела в главных осях инерции.

Теорема 3. Пусть $I=I^{0} \in \mathscr{B}, \mathscr{B} \subset \Delta^{0}$ – вековое множество возмущенной системы. Тогда из семейства периоди-

ческих решений задачи Эйлера-Пуансо, лежащих на торе $I=$ $=I^{0} \in \Delta_{a}^{0}$, рождаются при возмущении по крайней мере два изолированных периодических решения, существующие при достаточно малых $\mu$ и аналитически зависяцие от этого параметра. Іри этом одно из них устойчиво по первому приближению, а другое неустойчиво.

Пусть $I_{2}
eq 0, I_{2}
eq\left|I_{3}^{0}\right|$. Рассмотрим множество инвариантных торов приведенной задачи Эйлера-Пуансо с числами вращения
\[
\gamma\left(2 \mathscr{H}_{0} / I_{2}^{2} ; A, B, C\right)=k, \quad k \in \mathbf{Z} .
\]

Если $x^{2}+y^{2}
eq 0, z=0$, то $k$ нечетно, если $x^{2}+y^{2}=0, z
eq 0$, то $k$ четно, если, наконец, $z
eq 0$ и $x^{2}+y^{2}
eq 0$, то $k$ – любое целое число. Из результатов $§ 1$ гл. III вытекает, что для любого несимметричного тела существует $N(A, B, C)$, такое, что при $|k|>N$ инвариантные торы (3.3) принадлежат вековому множеству и, следовательно, на этих торах рождаются пары изолированных периодических решений.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3.
Пусть для $I=I^{0}=\left(I_{1}^{0}, I_{2}^{0}\right) \in \Delta_{a}^{0}$ частоты невозмущенной задачи Эйлера-Пуансо соизмеримы. Тогда функция $\mathscr{H}_{1}\left(I^{0}, \omega_{1} t, \omega_{2} t+\lambda\right)$ периодична по $t$. Обозначим через $\mathscr{\mathscr { H }}_{1}\left(I^{0}, \lambda\right)$ ее временное среднее. Для того, чтобы на торе $I=I^{0}$ рождались пары изолированных периодических решений, достаточно в силу теоремы Пуанкаре проверить выполнение следующих условий:
1) гессиан $\left|\frac{\partial^{2} \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{2}}\right|
eq 0$ для $I=I^{0}$;
2) $\frac{\partial^{2} \overline{\mathscr{H}}_{1}}{\partial \lambda^{2}}
eq 0$, когда $d s \frac{\partial \overline{\mathscr{H}}_{1}}{\partial \lambda}=0$;
3) квадратичная форма
\[
\omega_{1}^{2} \frac{\partial^{2} \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{2}^{2}}-2 \omega_{1} \omega_{2} \frac{\partial^{2} \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{1} \partial I_{2}}+\omega_{2}^{2} \frac{\partial^{2} \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{1}^{2}}
eq 0,
\]

когда $I=I_{0}$.
Условие 1) выполнено во всей области $\Delta_{a}$ (теорема 3 гл. III). Условие 3) означает геометрически, что линия уровня

функции $\mathscr{H}_{0}\left(I_{1}, I_{2}\right)$ не имеет перегиба в точке $\left(I_{1}, I_{2}\right)=I_{0}$. Предложение 1 гл. II утверждает, что это условие выполнено всюду в $\Delta_{a}$.

Осталось проверить условие 2). Если $I=I_{0} \in \mathscr{B}$, то $\omega_{2} / \omega_{1}=m, m \in \mathbf{Z} \backslash\{0\}$ и $H_{-m, 1}=\bar{H}_{m,-1}
eq 0$ (§ 1 гл. III). Положим $\varphi_{1}=\omega_{1} t, \varphi_{2}=\omega_{2} t+\lambda$. Тогда из разложения (2.1) вытекает, что
\[
\overline{\mathscr{H}}_{1}=H_{-m, 1} e^{i \lambda}+H_{m,-1} e^{-i \lambda}+H_{0,0} .
\]

Предположим, что при $I=I^{0}$ условие 2) теоремы Пуанкаре нарушено. Тогда при некотором $\lambda=\tilde{\lambda}$ одновременно выполнены равенства
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial \overline{\mathscr{H}}_{1}}{\partial \lambda} & =i H_{-m, 1} e^{i \lambda}-i H_{m,-1} e^{-i \lambda}=0, \\
\frac{\partial^{2} \overline{\mathscr{H}}_{1}}{\partial \lambda^{2}} & =-H_{-m, 1} e^{i \lambda}-H_{m,-1} e^{-i \lambda}=0 .
\end{aligned}
\]

Так как уравнения (3.4), являющиеся системой линейных уравнений относительно $e^{i \lambda}$ и $e^{-i \lambda}$, имеют нетривиальное решение $\left(e^{\tilde{\lambda}}, e^{-\tilde{\lambda}}\right)$, то определитель этой системы
\[
-2 i H_{-m, 1} H_{m,-1}
\]

должен быть равен нулю. Однако при $I^{0} \in \mathscr{B}$
\[
H_{-m, 1} H_{m,-1}=\bar{H}_{m,-1} H_{m,-1}
eq 0 .
\]

Замечание. Можно указать примеры канонических систем дифференциальных уравнений, мало отличающихся от интегрируемых, для которых вековое множество $\mathscr{B}$ не совпадает с множеством $\mathscr{P}$ резонансных торов невозмущенной задачи и которые удовлетворяют теореме А. Пуанкаре о рождении изолированных периодических решений.