Наиболее простой случаи движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки был изучен Л. Эйлером ( $x=$ $=y=z=0)$, затем, с геометрической точки зрения,

Л. Пуансо. Другой случай ( $A=B, x=y=0$ ) был исследован Ж. Лагранжем и С. Пуассоном. Позднее К. Г. Якоби доказал, что в этих случаях общие решения уравнений движения являются однозначными мероморфными функииями времени, рассматриваемого как комплексное переменное $[22,40]$.

Опираясь на этот результат, С.В.Ковалевская поставила следующую задачу: найти все случаи, когда общее решение задачи о тяжелом твердом теле с неподвижной точкой представляет собой функции, мероморфные во всей плоскости комплексного времени. В результате исследований С.В.Ковалевской выяснилось, что эти случаи весьма немногочисленны: к классическим случаям Эйлера-Пуансо и Лагранжа-Пуассона надо добавить еще один случай, когда $A=B=$ $=2 C, z=0$ (случай Ковалевской).

В случае, разобранном С.В.Ковалевской, так же как и в ранее известных, система уравнений движения имеет дополнительный первый интеграл, что и обеспечило возможность их интегрирования в кєадратурах. Іри этом оказалось, что в некоторых естественных переменных (переменные Эйлера-Пуассона) во всех случаях интегрируемости дополнительные интегралы являются многочленами, так же как и классические первые интегралы. Таким образом, общее решение представляется мероморфными функциями времени как раз в тех случаях, когда существует новый алгебрачческий интеграл. Этот результат, естественно, поставил общую задачу о связи между существованием алгебраческих интегралов аналитических систем дифференциальных уравнений и мероморфностью общего решения. На важность этой задачи впервые обратил внимание Пенлеве [41].

Выяснилось, однако, что однозначной связи здесь нет. Приведем соответствующие контрпримеры для гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.
Пусть
\[
\mathscr{H}=p_{1}^{2}+q_{1}^{2}+p_{2}^{2}+f\left(q_{2}\right),
\]

где $f(z)$ – многочлен не ниже пятой степени. Система канонических уравнений с гамильтонианом (1) имеет два неза-

висимых алгебрачческих интеграла
\[
\mathscr{F}_{1}=\mathscr{H}, \quad \mathscr{F}_{2}=p_{2}^{2}+f\left(q_{2}\right),
\]

с помощью которых уравнения можно разрешить в квадратурах. Однако у этой системы есть неоднозначное решение:
\[
p_{1}=q_{1}=0, \quad p_{2}=\sqrt{h-f\left(q_{2}\right)}, \quad \dot{q}_{2}=\sqrt{h-f\left(q_{2}\right)} ; \quad h=\text { const. }
\]

Действительно, $q_{2}(t)$ находится из обращения гиперэлиптического интеграла
\[
t-t_{0}=\int_{q_{2}^{0}}^{q_{2}} \frac{d z}{\sqrt{h-f(z)}}
\]
$u$, следовательно, является неоднозначной функцией $t \in \mathbf{C}$ [3].
Обратно, пусть
\[
\mathscr{H}=p_{1}+\frac{p_{2}^{2}}{2}-q_{1} q_{2}-2 q_{2}^{3} .
\]

Покажем, что все решения, канонической системы с гамильтонианом (2) мероморфны. Действительно, $\dot{q}_{1}=1$; следовательно, $q_{1}=t+c, c=$ const. Далее,
\[
\dot{q}_{2}=p_{2}, \quad \dot{p}_{2}=6 q_{2}^{2}+q_{1} .
\]

Откуда
\[
\ddot{q}_{2}=6 q_{2}^{2}+t+c .
\]

Хорошо известно, что все решения дифференциалного уравнения
\[
\ddot{x}=6 x^{2}+t
\]

являются мероморфными функциями с полюсами второго порядка $[3$, гл. II]. Следовательно, этим же свойством обладают решения уравнения (4). Так как $p_{2}=\dot{q}_{2}$ и вычеты функиии $q_{2}(t)$ в полюсах равны нулю $[3$, гл. II], то функция
\[
p_{2}(t)=\int_{0}^{t} q_{2}(t) d t+c_{1}, \quad c_{1}=\text { const }
\]

однозначна и мероморфна во всей комплексной плоскости $\mathbf{C}$. Утверждение доказано.

Предположим теперь, что система с гамильтонианом (2) имеет независимый от функции $\mathscr{H}$ алгебраческий интеграл $\mathscr{F}\left(p_{1} p_{2} q_{1} q_{2}\right)$. Тогда при фиксированном значении $h$ функция
\[
\mathscr{F}_{1}\left(p_{1}\left(h, p_{2}, q_{1}, q_{2}\right), p_{2}, q_{1}, q_{2}\right), p_{1}=h-\frac{p_{2}^{2}}{2}+q_{1} q_{2}+2 q_{2}^{3}
\]

есть алебрачческий интеграл системы уравнений (3). Следовательно, уравнение (4) имеет интеграл, являющийся алгебрачческой функцией по $\dot{q}_{2}, q_{2}, t, u$, что то же самое, уравнение (5) имеет интеграл, алгебраческий по $\dot{x}, x, t$. Однако, как доказал Пенлеве [41], такого быть не может.

Вернемся к динамике твердого тела. Теорема С.В.Ковалевской о мероморфных обцих решениях была существенно усилена А.М.Ляпуновым [42] и Г.Г.Аппельротом [43], доказавшим, что общее решение уравнений движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки представляется однозначными (в частности, мероморфными) функциями времени $t \in \mathbf{C}$ только в классических случалх Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. В этих случаях дополнительные интегралы, как и классические интегралы, являются многочленами, т. е. рассматриваемые как функции многих комплексных переменных, они однозначны в прямом произведении комплексных плоскостей. Эти результаты указывают на целесообразность расширения задачи Пенлеве: какова связь между существованием новых однозначных интегралов и однозначностью общего решения?

Формально задача Пенлеве об алгебрачческих интегралах и мероморфных решениях не включается в эту задачу, так как алгебраческие функции в общем случае неоднозначны. Однако следует отметить, что при доказательстве отсутствия алгебраческих интегралов уравнений задачи о тяжелом твердом теле основная трудность состоит в доказательстве несуществования дополнительного интеграла, являющегося отношением двух многочленов (или просто многочленом), который, конечно, однозначен [44]. Кроме того, свойство системы аналитических дифференцальных уравнений иметь ал-

гебраческие интегралы в сильной степени зависит от выбора координат.

Наличие неоднозначных решений накладывает сильные ограничения на однозначный первый интеграл. Действительно, пусть решение $z(t), z \in \mathbf{C}^{n}$ неоднозначно вдоль некоторого контура $\Gamma \subset \mathbf{C}$; т.е. функция $z(t)$ после обхода контура $\Gamma$ получает приращение $\xi
eq 0$. Если $f(z)$ – однозначный интеграл, то, очевидно,
\[
f(z(\tau)+\xi)=f(z(\tau)), \quad \tau \in \Gamma .
\]

Пример канонической системы с гамильтонианом (1) показывает, что из неоднозначности общего решения еще не вытекает несуцествование однозначных первых интегралов. Однако, как утверждет теорема 1 , если на ветвление решений наложить дополнительные условия, которые выполняются в общем случае, то из неоднозначности общего решения вытекает отсутствие дополнительных однозначных интегралов гамильтоновых уравнений.

Отметим в заключение, что вековое множество задачи о вращении тяжелого несимметричного твердого тела вокруг неподвижной точки играет важную роль при доказательстве отсутствия действительного аналитического интеграла (гл. III), при исследовании рождения изолированных периодических решений (§2 гл. IV) и, наконец, при решении задачи Пенлеве о ветвлении решений и несуществовании однозначных интегралов (§ 3-4 гл. V). Это позволяет с разных сторон рассмотреть классическую задачу об интегрируемости уравнений динамики твердого тела.