Разложим функцию $\mathscr{F}(I, \varphi, \mu)$ в ряд по степеням $\mu$ :
\[
\mathscr{F}=\mathscr{F}_{0}(I, \varphi)+\mu \mathscr{F}_{1}(I, \varphi)+\ldots
\]

Если $(I, \varphi) \in \Delta(V,
u) \times \Omega(V \subset W,
u$ – достаточно мало), то этот ряд сходится при малых значениях параметра $\mu$.
Лемма 1. Функиия $\mathscr{F}_{0}$ не зависит от $\varphi$.
Действительно, если $(I, \varphi) \in D \times \mathrm{T}^{2}$, то из невырожденности невозмущенной функции вытекает, что $\mathscr{F}_{0}$ не зависит от $\varphi$ (§1, гл. I). Если же $\varphi \in \Omega$, то это утверждение следует из связности области $\Omega$. якобиан
\[
\frac{\partial\left(\mathscr{H}_{0}, \mathscr{F}_{0}\right)}{\partial\left(I_{1}, I_{2}\right)} \equiv 0,
\]

когда $I \in W$.
ДоКАЗаТЕЛЬСТВо.
Так как $\mathscr{F}(I, \varphi, \mu)$ – первый интеграл канонической системы уравнений с гамильтонианом (1.1), то эта функция постоянна вдоль решений (1.2). Следовательно, ее значения в момент времени $\tau \in \Gamma$ и после обхода контура $\Gamma$ совпадают. Отсюда
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{F}_{0}\left(I^{0}+\mu I^{1}(\tau)+\ldots\right)+\mu \mathscr{F}_{1}\left(I^{0}+\mu I^{1}(\tau)+\ldots,\right. \\
\left.\varphi^{0}+\omega t+\mu \varphi^{1}(\tau)+\ldots\right)+\ldots \equiv \\
\equiv \mathscr{F}_{0}\left(I^{0}+\mu\left(I^{1}(\tau)+\xi\left(I^{0}\right)\right)+\ldots\right)+ \\
\quad+\mu \mathscr{F}_{1}\left(I^{0}+\ldots, \varphi^{0}+\omega t+\ldots\right)+\ldots
\end{array}
\]

Разлагая это тождество в степенные ряды по $\mu$ и приравнивая нулю коэффициент при первой степени $\mu$, получим
\[
\frac{\partial \mathscr{F}_{0}}{\partial I_{1}} \xi_{1}+\frac{\partial \mathscr{F}_{0}}{\partial I_{2}} \xi_{2}=0
\]

Так как $\mathscr{H}(I, \varphi, \mu)$ – тоже первый однозначный интеграл, то
\[
\frac{\partial \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{1}} \xi_{1}+\frac{\partial \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{2}} \xi_{2}=0
\]

Сравнивая (2.2) и (2.3), заключаем, что при $I^{0} \in U \cap W$ якобиан
\[
\frac{\partial\left(\mathscr{H}_{0}, \mathscr{F}_{0}\right)}{\partial\left(I_{1}, I_{2}\right)} \equiv 0 .
\]

Следовательно, эти функции зависимы в области $U \cap W$, а значит и во всей области $W$.

Предположим теперь, что функции (1.1) и (2.1) независимы. Пусть $J$ – ненулевой минор второго порядка матрицы Якоби
\[
\frac{\partial(\mathscr{H}, \mathscr{F})}{\partial\left(I_{1}, I_{2}, \varphi_{1}, \varphi_{2}\right)} .
\]

Функция $J(I, \varphi, \mu)$ аналитична, и ее можно разложить в сходящийся степенной ряд по $\mu$. Предположим, что в этом разложении коэффициент при $\mu^{p}(p \geqslant 0)$ отличен от нуля. Из леммы 2 вытекает, что $p \geqslant 1$.

Так как гессиан $\partial^{2} \mathscr{H}_{0} / \partial I^{2}
ot \equiv 0$, то в некоторой малой области $V \subset W \subset D$ производная $\partial \mathscr{H}_{0} / \partial I_{1}
eq 0$. Следовательно, в этой области уравнение $\mathscr{H}_{0}\left(I_{1}, I_{2}\right)=\mathscr{H}_{0}$ можно разрешить относительно $I_{1}$ и подставить полученное выражение в функцию $\mathscr{F}_{0}\left(I_{1}, I_{2}\right)$. Тогда $\mathscr{F}_{0}=\mathscr{F}_{0}\left(I_{1}\left(\mathscr{H}_{0}, I_{2}\right), I_{2}\right)$. Так как $\mathscr{H}_{0}$ и $\mathscr{F}_{0}$ зависимы, то $\mathscr{F}_{0}=\mathscr{R}\left(\mathscr{H}_{0}\right)$, где $\mathscr{R}(x)$ – аналитическая функция в интервале $\left(\min _{V} \mathscr{H}_{0}, \max _{V} \mathscr{H}_{0}\right)$. Заметим, что $\mathscr{R}(z)$ аналитична в малой комплексной окрестности этого интервала.

Если $\mu$ достаточно мало, то функция $\mathscr{R}(\mathscr{H})$ аналитична по $I, \varphi$ в области $V^{\prime} \times \Omega$, где $V^{\prime}$ – компактная область, лежащая внутри $V$. Так как разложение функции $\mathscr{F}-\mathscr{R}(\mathscr{H})$ в ряд по степеням $\mu$ не содержит свободного члена, то $\mathscr{F}-\mathscr{R}(\mathscr{H})=$ $=\mu \mathscr{F}^{\prime}$. Функция $\mathscr{F}^{\prime}(I, \varphi, \mu)$ – первый однозначный интеграл, аналитический в области $\Delta\left(V^{\prime},
u^{\prime}\right) \times \Omega \times\left(-\varepsilon^{\prime}, \varepsilon^{\prime}\right)$, где $
u^{\prime}, \varepsilon^{\prime}$ достаточно малы. По леммам 1 и 2 функция $\mathscr{F}_{0}^{\prime}$ не содержит $\varphi$ и $\mathscr{H}_{0}(I)$ и $\mathscr{F}_{0}^{\prime}(I)$ зависимы в области $V^{\prime} \subset D$. Так как
\[
\mathscr{F}=\mathscr{R}(\mathscr{H})+\mu \hat{F}_{0}^{\prime}+\mu^{2} \mathscr{F}^{\prime}{ }_{1}+\ldots,
\]

то разложение минора $J$ в ряд по степеням $\mu$ начинается с членов порядка $\mu^{2}$.

Повторяя эту операцию $p$ раз, мы придем к заключению, что разложение функции $J$ начинается с членов порядка $\mu^{p+1}$, а не $\mu^{p}$, как предполагалось выше. Полученное противоречие доказывает теорему 1.