Сформулируем сначала одну теорему А. Пуанкаре о существовании периодических решений системы канонических уравнений следующего вида (см. гл. I, § I):
$$\begin{array}{c}\dot{I}=-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \phi },\dot{\phi }=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial I},I=(I_1,I_2)\in D\subset {\mathbf{R}}^2,\\ \phi =({\phi }_1,{\phi }_2)\in {\mathbf{T}}^2,\mathcal{H}={\mathcal{H}}_0(I)+\mu {\mathcal{H}}_1(I,\phi )+\dots \end{array}$$

Пусть для $I=I^0\in D$ частоты ${\omega }_1$ и ${\omega }_2$ невозмущенной задачи соизмеримы. Тогда функция ${\mathcal{H}}_1(I^0,{\omega }_{1}t,{\omega }_{2}t+\lambda )$ периодична по времени с некоторым периодом $T$. Положим
$${\bar{\mathcal{H}}}_1(I^0,\lambda )=\frac{1}{T}{\int }_0^T{\mathcal{H}}_1(I^0,{\omega }_{1}t,{\omega }_{2}t+\lambda )dt.$$

Инвариантный тор $I=I^0$ невозмущенной задачи сплошь заполнен траекториями периодических решений. Спрашивается, если $\mu eq0$, но очень мало, существуют ли периодические решения возмущенной задачи, аналитически зависящие от параметра $\mu$ и при $\mu =0$, совпадающие с некоторыми периодическими решениями невозмущенной системы?

Теорема (А. Пуанкаре). Іредположим, что выполнены следующие условия:
1) гессиан $\left|\frac{{\partial }^2{\mathcal{H}}_0}{\partial I^2}\right|eq0$ для $I+I^0$,
2) при некотором $\lambda =\overline{\lambda }\frac{\partial {\bar{\mathcal{H}}}_1}{\partial \lambda }=0$, а $\frac{{\partial }^2{\bar{\mathcal{H}}}_1}{\partial {\lambda }^2}eq0$.

Тогда при малых $\mu eq0$ существует периодическое решение возмущенной системы, период которого равен $T$; оно аналитически зависит от параметра $\mu$ и при $\mu =0$ совпадает с периодическим решением невозмуценной системы
$$I=I^0,{\phi }_1={\omega }_{1}t,{\phi }_2={\omega }_{2}t+\overline{\lambda }.$$

Два характеристических показателя этого решения всегда равны нулю, а два других $\pm \alpha$ можно разложить в сходящийся ряд по степеням $\sqrt{\mu }$ :
$$\alpha ={\alpha }_1\sqrt{\mu }+{\alpha }_2\mu +{\alpha }_3\mu \sqrt{\mu }+\dots ,$$

причем
$${\omega }_1^2{\alpha }_1^2={\frac{{\partial }^2{\bar{\mathcal{H}}}_1}{\partial {\lambda }^2}|}_{\lambda =\overline{\lambda }}({\omega }_1^2\frac{{\partial }^2{\mathcal{H}}_0}{\partial I_2^2}-2{\omega }_1{\omega }_2\frac{{\partial }^2{\mathcal{H}}_0}{\partial I_1\partial I_2}+{\omega }_2^2\frac{{\partial }^2{\mathcal{H}}_0}{\partial I_1^2}).$$

Все детали доказательства (которое мы ниже кратко воспроизводим) можно найти в книге $[1$, пп. 42,79$]$; там же рассмотрен случай систем со многими степенями свободы.

ДоказательСтво.
Пусть в начальный момент времени $I=I^0,{\phi }_1={\phi }_1^0,{\phi }_2=$ $={\phi }_2^0$. Так как ${\omega }_1\left(I_0\right)eq0$, то можно положить ${\phi }_1^0=0$. Через время $T$ значения переменных действие-угол станут равными
$$\begin{array}{c}{I}_1=I_1^0+{\tilde{I}}_1,I_2=I_2^0+{\tilde{I}}_2,{\phi }_1=2\pi m_1+{\tilde{\phi }}_1,\\ {\phi }_1=2\pi m_2+{\phi }_2^0+{\tilde{\phi }}_2(m_1,m_2\in \mathbf{Z}).\end{array}$$

Величины $\tilde{I},\tilde{\phi }$ аналитически зависят от $I^0,{\phi }^0$ и параметра $\mu$. Условия периодичности записываются в виде: ${\tilde{I}}_1={\tilde{I}}_2={\tilde{\phi }}_1=$ $={\tilde{\phi }}_2=0$. Эти уравнения не все независимы; они связаны следующим соотношением:
$$\mathcal{H}(I^0,{\phi }^0,\mu )=\mathcal{H}(I^0+\tilde{I},{\phi }^0+\tilde{\phi },\mu ).$$

Поэтому отбросим условие ${\tilde{I}}_1=0$. Из уравнений движения легко вывести, что ${\tilde{I}}_2=\mu J$, где $J$ — аналитическая функция начальных данных и параметра $\mu$.

Если уравнения периодичности ${\tilde{\phi }}_1={\tilde{\phi }}_2=J=0$ удовлетворяются при $I=I^0$ и ${\phi }_2=\lambda ,\mu =0$ и при $\mu =0$ функциональный определитель
$$\left|\begin{array}{lll}\frac{\partial {\tilde{\phi }}_1}{\partial I_1^0}& \frac{\partial {\tilde{\phi }}_1}{\partial I_2^0}& \frac{\partial {\tilde{\phi }}_1}{\partial {\phi }_2^0}\\ \frac{\partial {\tilde{\phi }}_2}{\partial I_1^0}& \frac{\partial {\tilde{\phi }}_2}{\partial I_2^0}& \frac{\partial {\tilde{\phi }}_2}{\partial {\phi }_2^0}\\ \frac{\partial J}{\partial I_1^0}& \frac{\partial J}{\partial I_2^0}& \frac{\partial J}{\partial {\phi }_2^0}\end{array}\right|$$

отличен от нуля, то по теореме о неявных функциях существуют аналитические решения $I^0(\mu ),{\phi }_2^0(\mu )$ уравнений периодичности и, следовательно, решения возмущенных канонических уравнений с этими начальными данными периодичны с периодом $T$.
Подсчитаем значения функций ${\tilde{\phi }}_1,{\tilde{\phi }}_2$ при $\mu =0$. Так как
$${\dot{\phi }}_i=\partial {\mathcal{H}}_0/\partial I_i={\omega }_i=\text{ const, }$$

то ${\tilde{\phi }}_i=T{\omega }_i-2\pi m_i(i=1,2)$. Для вычисления функции $J$ воспользуемся уравнением
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{I_2-I_2^0}{\mu }\right)=\left(\frac{I_2}{\mu }\right)=\frac{\partial {\mathcal{H}}_1}{\partial {\phi }_2}+\mu \frac{\partial {\mathcal{H}}_2}{\partial {\phi }_2}+\dots$$

Полагаем $\mu =0,I=I^0,{\phi }_1={\omega }_{1}t,{\phi }_2={\omega }_{2}t+\lambda$. В результате получим, что
$$J={\int }_0^T\frac{\partial {\mathcal{H}}_1}{\partial {\phi }_2}dt=\frac{\partial }{\partial \lambda }{\int }_0^T{\mathcal{H}}_1(I^0,{\omega }_{1}t,{\omega }_{2}t+\lambda )dt=T\frac{\partial }{\partial \lambda }{\bar{\mathcal{H}}}_1(I^0,\lambda ).$$

Уравнениям ${\tilde{\phi }}_1={\tilde{\phi }}_2=0$ удовлетворяет, очевидно, значение $I=I^0$. Предположим, что $\lambda =\overline{\lambda }$ удовлетворяет уравнению $J=0$. Якобиан
$$\frac{\partial ({\tilde{\phi }}_1,{\tilde{\phi }}_1,J)}{\partial (I_1,I_2,\lambda )}$$

при $I=I^0,\lambda =\overline{\lambda }$ равен
$$T^3\left|\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^2{\mathcal{H}}_0}{\partial I_1^2}& \frac{{\partial }^2{\mathcal{H}}_0}{\partial I_1\partial I_2}\\ \frac{{\partial }^2{\mathcal{H}}_0}{\partial I_2\partial I_1}& \frac{{\partial }^2{\mathcal{H}}_0}{\partial I_2^2}\end{array}\right|\frac{{\partial }^2{\bar{\mathcal{H}}}_1}{\partial {\lambda }^2}.$$

В силу предположений теоремы Пуанкаре этот якобиан отличен от нуля. Итак, существование периодических решений доказано. Обозначим их через $I=I^0+\tilde{I}(t,I^0,{\phi }^0,\mu ),\phi =$ $={\phi }^0+\omega t+\tilde{\phi }(t,I^0,{\phi }^0,\mu )$. Функции $I(t)$ и $\phi (t)$ периодические с периодом $T$. Матрица монодромии этого решения есть
$$X=\Vert \begin{array}{cccc}1+\frac{\partial {\tilde{I}}_1}{\partial I_1^0}& \frac{\partial {\tilde{I}}_1}{\partial I_2^0}& \frac{\partial {\tilde{I}}_1}{\partial {\phi }_1^0}& \frac{\partial {\tilde{I}}_1}{\partial {\phi }_2^0}\\ \frac{\partial {\tilde{I}}_2}{\partial I_1^0}& 1+\frac{\partial {\tilde{I}}_2}{\partial I_2^0}& \frac{\partial {\tilde{I}}_2}{\partial {\phi }_1^0}& \frac{\partial {\tilde{I}}_2}{\partial {\phi }_2^0}\\ \frac{\partial {\omega }_1}{\partial I_1^0}T+\frac{\partial {\tilde{\phi }}_1}{\partial I_1^0}& \frac{\partial {\omega }_1}{\partial I_2^0}T+\frac{\partial {\tilde{\phi }}_1}{\partial I_2^0}& 1+\frac{\partial {\tilde{\phi }}_1}{\partial {\phi }_1^0}& \frac{\partial {\tilde{\phi }}_1}{\partial {\phi }_2^0}\\ \frac{\partial {\omega }_2}{\partial I_1^0}T+\frac{\partial {\tilde{\phi }}_2}{\partial I_1^0}& \frac{\partial {\omega }_2}{\partial I_2^0}T+\frac{\partial {\tilde{\phi }}_2}{\partial I_2^0}& \frac{\partial {\tilde{\phi }}_2}{\partial {\phi }_1^0}& 1+\frac{\partial {\tilde{\phi }}_2}{\partial {\phi }_2^0}\end{array}\Vert$$

Пусть $Y=X-E$. Тогда собственными числами матрицы $Y$ будут величины $e^{\alpha T}-1$, где $\alpha$ — характеристические показатели. Обозначим через $G(\alpha ,\mu )$ определитель $|Y-SE|$, где $S=e^{\alpha T}-1$. Очевидно, что $G$ аналитична по $\alpha$ и $\mu$. Положим $\alpha =\epsilon \sqrt{\mu }$. Разделим первые две строки и последние два

столбца определителя $|Y-SE|$ на $\sqrt{\mu }$. В результате получим следующий определитель:
$$\left|\begin{array}{cccc}\frac{1}{\sqrt{\mu }}\frac{\partial {\tilde{I}}_1}{\partial I_1^0}-\frac{S}{\sqrt{\mu }}& \frac{1}{\sqrt{\mu }}\frac{\partial {\tilde{I}}_1}{\partial I_2^0}& \frac{1}{\mu }\frac{\partial {\tilde{I}}_1}{\partial {\phi }_1^0}& \frac{1}{\mu }\frac{\partial {\tilde{I}}_1}{\partial {\phi }_2^0}\\ \frac{1}{\sqrt{\mu }}\frac{\partial {\tilde{I}}_2}{\partial I_1^0}& \frac{1}{\sqrt{\mu }}\frac{\partial {\tilde{I}}_2}{\partial I_2^0}-\frac{S}{\sqrt{\mu }}& \frac{1}{\mu }\frac{\partial {\tilde{I}}_2}{\partial {\phi }_1^0}& \frac{1}{\mu }\frac{\partial {\tilde{I}}_2}{\partial {\phi }_2^0}\\ \frac{\partial {\omega }_1}{\partial I_1^0}T+\frac{\partial {\tilde{\phi }}_1}{\partial I_1^0}& \frac{\partial {\omega }_1}{\partial I_2^0}T+\frac{\partial {\tilde{\phi }}_1}{\partial I_2^0}& \frac{1}{\sqrt{\mu }}\frac{\partial {\tilde{\phi }}_1}{\partial {\phi }_1^0}-\frac{S}{\sqrt{\mu }}& \frac{1}{\sqrt{\mu }}\frac{\partial {\tilde{\phi }}_1}{\partial {\phi }_2^0}\\ \frac{\partial {\omega }_2}{\partial I_1^0}T+\frac{\partial {\tilde{\phi }}_2}{\partial I_1^0}& \frac{\partial {\omega }_2}{\partial I_2^0}T+\frac{\partial {\tilde{\phi }}_2}{\partial I_2^0}& \frac{1}{\sqrt{\mu }}\frac{\partial {\tilde{\phi }}_2}{\partial {\phi }_1^0}& \frac{1}{\sqrt{\mu }}\frac{\partial {\tilde{\phi }}_2}{\partial {\phi }_2^0}-\frac{S}{\sqrt{\mu }}\end{array}\right|$$

При этом уравнение $G(\alpha ,\mu )=0$ превращается в уравнение ${\mu }^{-2}G(\epsilon \sqrt{\mu },\mu )=G_1(\epsilon ,\sqrt{\mu })=0$. Вычислим $\underset{\mu \to 0}{lim}{G}_1(\epsilon ,\sqrt{\mu })$. Для этого воспользуемся следующими соотношениями:
$$\begin{array}{c}\underset{\mu \to 0}{lim}\frac{1}{\sqrt{\mu }}\frac{\partial {\tilde{I}}_i}{\partial I_j^0}=\underset{\mu \to 0}{lim}\frac{1}{\sqrt{\mu }}\frac{\partial {\tilde{\phi }}_i}{\partial {\phi }_j^0}=\underset{\mu \to 0}{lim}\frac{\partial {\tilde{\phi }}_i}{\partial I_j^0}=0,\\ \underset{\mu \to 0}{lim}\frac{S}{\sqrt{\mu }}=\underset{\mu \to 0}{lim}\frac{e^{T\epsilon \sqrt{\mu }}-1}{\sqrt{\mu }}=\epsilon T,\underset{\mu \to 0}{lim}\frac{1}{\mu }\frac{\partial {\tilde{I}}_i}{\partial {\phi }_j^0}=T\frac{{\partial }^{2}R}{\partial {\phi }_j^0\partial {\phi }_i^0},\\ R(I^0,{\phi }_1^0,{\phi }_2^0)=\frac{1}{T}{\int }_0^T{\mathcal{H}}_1(I^0,{\omega }_{1}t+{\phi }_1^0,{\omega }_{2}t+{\phi }_2^0)dt.\end{array}$$

Тогда
$$G_1(\epsilon ,0)=\left|\begin{array}{cccc}-\epsilon T& 0& T\frac{{\partial }^{2}R}{\partial {\phi }_1^{0^2}}& T\frac{{\partial }^{2}R}{\partial {\phi }_1^0\partial {\phi }_2^0}\\ 0& -\epsilon T& T\frac{{\partial }^{2}R}{\partial {\phi }_2^0\partial {\phi }_1^0}& T\frac{{\partial }^{2}R}{\partial {\phi }_2^{0^2}}\\ T\frac{{\partial }^2{\mathcal{H}}_0}{\partial I_1^{0^2}}& T\frac{{\partial }^2{\mathcal{H}}_0}{\partial I_1^0\partial I_2^0}& -\epsilon T& 0\\ T\frac{{\partial }^2{\mathcal{H}}_0}{\partial I_2^0\partial I_1^0}& T\frac{{\partial }^2{\mathcal{H}}_0}{\partial I_2^{0^2}}& 0& -\epsilon T\end{array}\right|.$$

Так как
$$\frac{{\partial }^{2}R}{\partial {\phi }_1^{0^2}}{\omega }_1+\frac{{\partial }^{2}R}{\partial {\phi }_1^0\partial {\phi }_2^0}{\omega }_2=0,\frac{{\partial }^{2}R}{\partial {\phi }_1^0\partial {\phi }_2^0}{\omega }_1+\frac{{\partial }^{2}R}{\partial {\phi }_2^{0^2}}{\omega }_2=0,$$

To
$$G_1(\epsilon ,0)={\epsilon }^2{T}^4(\mathrm{\Gamma }\frac{{\partial }^{2}R}{\partial {\phi }_2^{0^2}}+{\epsilon }^2,{\omega }_1^2)$$

где
$$\begin{array}{c}\mathrm{\Gamma }=\left|\begin{array}{ccc}-{\omega }_1& -{\omega }_2& 0\\ \frac{{\partial }^2{\mathcal{H}}_0}{\partial I_1^{0^2}}& \frac{{\partial }^2{\mathcal{H}}_0}{\partial I_1^0\partial I_2^0}& -{\omega }_1\\ \frac{{\partial }^2{\mathcal{H}}_0}{\partial I_2^0\partial I_1^0}& \frac{{\partial }^2{\mathcal{H}}_0}{\partial I_2^{0^2}}& -{\omega }_2\end{array}\right|=\\ =-(\frac{{\partial }^2{\mathcal{H}}_0}{\partial I_1^{0^2}}{\omega }_2^2-2\frac{{\partial }^2{\mathcal{H}}_0}{\partial I_1^0\partial I_2^0}{\omega }_1{\omega }_2+\frac{{\partial }^2{\mathcal{H}}_0}{\partial I_2^{0^2}}{\omega }_1^2).\end{array}$$

Два корня уравнения $G_1(\epsilon ,0)=0$ равны нулю, а два других
$${\epsilon }_{1,2}=-\frac{\mathrm{\Gamma }}{{\omega }_1^2}\frac{{\partial }^{2}R}{\partial {\phi }_2^{0^2}}$$

отличны от нуля. Поскольку функция $G_1(\epsilon ,\sqrt{\mu })$ аналитична по обоим аргументам и $\epsilon =0$ — двукратный корень уравнения $G_1(\epsilon ,\sqrt{\mu })=0$ при всех достаточно малых значениях $\mu$ (так как у периодических решений гамильтоновых систем с двумя степенями свободы два характеристических показателя всегда равны нулю), то функция $G_2(\epsilon ,\sqrt{\mu })={\epsilon }^{-2}{G}_1(\epsilon ,\sqrt{\mu })$ тоже аналитична. Так как $\partial G_2/\partial \epsilon eq0$ при $\mu =0$ и $\epsilon ={\epsilon }_{1,2}$, то по теореме о неявных функциях существуют аналитические решения $\epsilon (\sqrt{\mu })$ уравнения $G(\epsilon \sqrt{\mu },\mu )=0$, значения которых при $\mu =0$ равны ${\epsilon }_{1,2}$. Следовательно, характеристические показатели найденных решений действительно можно разложить по степеням $\sqrt{\mu }$, причем коэффициенты при $\sqrt{\mu }$ равны ${\epsilon }_{1,2}$.

Функция ${\bar{\mathcal{H}}}_1(I^0,\lambda )$ периодическая, поэтому существуют по крайней мере два значения $\lambda$, при которых $\overline{\partial {\mathcal{H}}_1}/\partial \lambda =0$. В общем случае эти критические точки невырождены, т.е. в этих точках ${\partial }^2{\bar{\mathcal{H}}}_1/\partial {\lambda }^{2}eq0$. При этом локальных минимулокальных максимумов (где ${\overline{\partial }}^2{\mathcal{H}}_1/\partial {\lambda }^2<0$ ). Если при $I=I^0$

квадратичная форма
$${\omega }_1^2\frac{{\partial }^2{\mathcal{H}}_0}{\partial I_2^2}-2{\omega }_1{\omega }_2\frac{{\partial }^2{\mathcal{H}}_0}{\partial I_1\partial I_2}+{\omega }_2^2\frac{{\partial }^2{\mathcal{H}}_0}{\partial I_1^2}eq0,$$

то в силу соотношения (3.1) уравнение $\partial {\bar{\mathcal{H}}}_1/\partial \lambda =0$ будет иметь столько корней, для которых ${\alpha }_1^2>0$, сколько корней, для которых ${\alpha }_1^2<0$. Это равносильно тому, что при малых значениях $\mu eq0$ возмущенная система будет иметь ровно столько устойчивых в линейном приближении периодических решений, сколько неустойчивых. В этой ситуации обычно говорят, что на невозмущенном резонансном инвариантном торе $I=I^0$ рождаются пары изолированных периодических решений.

Применим теорему Пуанкаре к задаче о вращении твердого тела с неподвижной точкой в слабом поле сил тяжести.