Сформулируем сначала одну теорему А. Пуанкаре о существовании периодических решений системы канонических уравнений следующего вида (см. гл. I, § I):
\[
\begin{array}{c}
\dot{I}=-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \varphi}, \quad \dot{\varphi}=\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial I}, \quad I=\left(I_{1}, I_{2}\right) \in D \subset \mathbf{R}^{2}, \\
\varphi=\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right) \in \mathbf{T}^{2}, \quad \mathscr{H}=\mathscr{H}_{0}(I)+\mu \mathscr{H}_{1}(I, \varphi)+\ldots
\end{array}
\]

Пусть для $I=I^{0} \in D$ частоты $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ невозмущенной задачи соизмеримы. Тогда функция $\mathscr{H}_{1}\left(I^{0}, \omega_{1} t, \omega_{2} t+\lambda\right)$ периодична по времени с некоторым периодом $T$. Положим
\[
\overline{\mathscr{H}}_{1}\left(I^{0}, \lambda\right)=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \mathscr{H}_{1}\left(I^{0}, \omega_{1} t, \omega_{2} t+\lambda\right) d t .
\]

Инвариантный тор $I=I^{0}$ невозмущенной задачи сплошь заполнен траекториями периодических решений. Спрашивается, если $\mu
eq 0$, но очень мало, существуют ли периодические решения возмущенной задачи, аналитически зависящие от параметра $\mu$ и при $\mu=0$, совпадающие с некоторыми периодическими решениями невозмущенной системы?

Теорема (А. Пуанкаре). Іредположим, что выполнены следующие условия:
1) гессиан $\left|\frac{\partial^{2} \mathscr{H}_{0}}{\partial I^{2}}\right|
eq 0$ для $I+I^{0}$,
2) при некотором $\lambda=\bar{\lambda} \frac{\partial \overline{\mathscr{H}}_{1}}{\partial \lambda}=0$, а $\frac{\partial^{2} \overline{\mathscr{H}}_{1}}{\partial \lambda^{2}}
eq 0$.

Тогда при малых $\mu
eq 0$ существует периодическое решение возмущенной системы, период которого равен $T$; оно аналитически зависит от параметра $\mu$ и при $\mu=0$ совпадает с периодическим решением невозмуценной системы
\[
I=I^{0}, \quad \varphi_{1}=\omega_{1} t, \quad \varphi_{2}=\omega_{2} t+\bar{\lambda} .
\]

Два характеристических показателя этого решения всегда равны нулю, а два других $\pm \alpha$ можно разложить в сходящийся ряд по степеням $\sqrt{\mu}$ :
\[
\alpha=\alpha_{1} \sqrt{\mu}+\alpha_{2} \mu+\alpha_{3} \mu \sqrt{\mu}+\ldots,
\]

причем
\[
\omega_{1}^{2} \alpha_{1}^{2}=\left.\frac{\partial^{2} \overline{\mathscr{H}}_{1}}{\partial \lambda^{2}}\right|_{\lambda=\bar{\lambda}}\left(\omega_{1}^{2} \frac{\partial^{2} \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{2}^{2}}-2 \omega_{1} \omega_{2} \frac{\partial^{2} \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{1} \partial I_{2}}+\omega_{2}^{2} \frac{\partial^{2} \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{1}^{2}}\right) .
\]

Все детали доказательства (которое мы ниже кратко воспроизводим) можно найти в книге $[1$, пп. 42,79$]$; там же рассмотрен случай систем со многими степенями свободы.

ДоказательСтво.
Пусть в начальный момент времени $I=I^{0}, \varphi_{1}=\varphi_{1}^{0}, \varphi_{2}=$ $=\varphi_{2}^{0}$. Так как $\omega_{1}\left(I_{0}\right)
eq 0$, то можно положить $\varphi_{1}^{0}=0$. Через время $T$ значения переменных действие-угол станут равными
\[
\begin{array}{c}
I_{1}=I_{1}^{0}+\widetilde{I}_{1}, \quad I_{2}=I_{2}^{0}+\widetilde{I}_{2}, \quad \varphi_{1}=2 \pi m_{1}+\widetilde{\varphi}_{1}, \\
\varphi_{1}=2 \pi m_{2}+\varphi_{2}^{0}+\widetilde{\varphi}_{2} \quad\left(m_{1}, m_{2} \in \mathbf{Z}\right) .
\end{array}
\]

Величины $\widetilde{I}, \widetilde{\varphi}$ аналитически зависят от $I^{0}, \varphi^{0}$ и параметра $\mu$. Условия периодичности записываются в виде: $\widetilde{I}_{1}=\widetilde{I}_{2}=\widetilde{\varphi}_{1}=$ $=\widetilde{\varphi}_{2}=0$. Эти уравнения не все независимы; они связаны следующим соотношением:
\[
\mathscr{H}\left(I^{0}, \varphi^{0}, \mu\right)=\mathscr{H}\left(I^{0}+\widetilde{I}, \varphi^{0}+\widetilde{\varphi}, \mu\right) .
\]

Поэтому отбросим условие $\widetilde{I}_{1}=0$. Из уравнений движения легко вывести, что $\widetilde{I}_{2}=\mu J$, где $J$ – аналитическая функция начальных данных и параметра $\mu$.

Если уравнения периодичности $\widetilde{\varphi}_{1}=\widetilde{\varphi}_{2}=J=0$ удовлетворяются при $I=I^{0}$ и $\varphi_{2}=\lambda, \mu=0$ и при $\mu=0$ функциональный определитель
\[
\left|\begin{array}{lll}
\frac{\partial \widetilde{\varphi}_{1}}{\partial I_{1}^{0}} & \frac{\partial \widetilde{\varphi}_{1}}{\partial I_{2}^{0}} & \frac{\partial \widetilde{\varphi}_{1}}{\partial \varphi_{2}^{0}} \\
\frac{\partial \widetilde{\varphi}_{2}}{\partial I_{1}^{0}} & \frac{\partial \widetilde{\varphi}_{2}}{\partial I_{2}^{0}} & \frac{\partial \widetilde{\varphi}_{2}}{\partial \varphi_{2}^{0}} \\
\frac{\partial J}{\partial I_{1}^{0}} & \frac{\partial J}{\partial I_{2}^{0}} & \frac{\partial J}{\partial \varphi_{2}^{0}}
\end{array}\right|
\]

отличен от нуля, то по теореме о неявных функциях существуют аналитические решения $I^{0}(\mu), \varphi_{2}^{0}(\mu)$ уравнений периодичности и, следовательно, решения возмущенных канонических уравнений с этими начальными данными периодичны с периодом $T$.
Подсчитаем значения функций $\widetilde{\varphi}_{1}, \widetilde{\varphi}_{2}$ при $\mu=0$. Так как
\[
\dot{\varphi}_{i}=\partial \mathscr{H}_{0} / \partial I_{i}=\omega_{i}=\text { const, }
\]

то $\tilde{\varphi}_{i}=T \omega_{i}-2 \pi m_{i}(i=1,2)$. Для вычисления функции $J$ воспользуемся уравнением
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{I_{2}-I_{2}^{0}}{\mu}\right)=\left(\frac{I_{2}}{\mu}\right)=\frac{\partial \mathscr{H}_{1}}{\partial \varphi_{2}}+\mu \frac{\partial \mathscr{H}_{2}}{\partial \varphi_{2}}+\ldots
\]

Полагаем $\mu=0, I=I^{0}, \varphi_{1}=\omega_{1} t, \varphi_{2}=\omega_{2} t+\lambda$. В результате получим, что
\[
J=\int_{0}^{T} \frac{\partial \mathscr{H}_{1}}{\partial \varphi_{2}} d t=\frac{\partial}{\partial \lambda} \int_{0}^{T} \mathscr{H}_{1}\left(I^{0}, \omega_{1} t, \omega_{2} t+\lambda\right) d t=T \frac{\partial}{\partial \lambda} \overline{\mathscr{H}}_{1}\left(I^{0}, \lambda\right) .
\]

Уравнениям $\widetilde{\varphi}_{1}=\widetilde{\varphi}_{2}=0$ удовлетворяет, очевидно, значение $I=I^{0}$. Предположим, что $\lambda=\bar{\lambda}$ удовлетворяет уравнению $J=0$. Якобиан
\[
\frac{\partial\left(\widetilde{\varphi}_{1}, \widetilde{\varphi}_{1}, J\right)}{\partial\left(I_{1}, I_{2}, \lambda\right)}
\]

при $I=I^{0}, \lambda=\bar{\lambda}$ равен
\[
T^{3}\left|\begin{array}{cc}
\frac{\partial^{2} \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{1}^{2}} & \frac{\partial^{2} \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{1} \partial I_{2}} \\
\frac{\partial^{2} \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{2} \partial I_{1}} & \frac{\partial^{2} \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{2}^{2}}
\end{array}\right| \frac{\partial^{2} \overline{\mathscr{H}}_{1}}{\partial \lambda^{2}} .
\]

В силу предположений теоремы Пуанкаре этот якобиан отличен от нуля. Итак, существование периодических решений доказано. Обозначим их через $I=I^{0}+\widetilde{I}\left(t, I^{0}, \varphi^{0}, \mu\right), \varphi=$ $=\varphi^{0}+\omega t+\widetilde{\varphi}\left(t, I^{0}, \varphi^{0}, \mu\right)$. Функции $I(t)$ и $\varphi(t)$ периодические с периодом $T$. Матрица монодромии этого решения есть
\[
X=\left\|\begin{array}{cccc}
1+\frac{\partial \widetilde{I}_{1}}{\partial I_{1}^{0}} & \frac{\partial \widetilde{I}_{1}}{\partial I_{2}^{0}} & \frac{\partial \widetilde{I}_{1}}{\partial \varphi_{1}^{0}} & \frac{\partial \widetilde{I}_{1}}{\partial \varphi_{2}^{0}} \\
\frac{\partial \widetilde{I}_{2}}{\partial I_{1}^{0}} & 1+\frac{\partial \widetilde{I}_{2}}{\partial I_{2}^{0}} & \frac{\partial \widetilde{I}_{2}}{\partial \varphi_{1}^{0}} & \frac{\partial \widetilde{I}_{2}}{\partial \varphi_{2}^{0}} \\
\frac{\partial \omega_{1}}{\partial I_{1}^{0}} T+\frac{\partial \widetilde{\varphi}_{1}}{\partial I_{1}^{0}} & \frac{\partial \omega_{1}}{\partial I_{2}^{0}} T+\frac{\partial \widetilde{\varphi}_{1}}{\partial I_{2}^{0}} & 1+\frac{\partial \widetilde{\varphi}_{1}}{\partial \varphi_{1}^{0}} & \frac{\partial \widetilde{\varphi}_{1}}{\partial \varphi_{2}^{0}} \\
\frac{\partial \omega_{2}}{\partial I_{1}^{0}} T+\frac{\partial \widetilde{\varphi}_{2}}{\partial I_{1}^{0}} & \frac{\partial \omega_{2}}{\partial I_{2}^{0}} T+\frac{\partial \widetilde{\varphi}_{2}}{\partial I_{2}^{0}} & \frac{\partial \widetilde{\varphi}_{2}}{\partial \varphi_{1}^{0}} & 1+\frac{\partial \widetilde{\varphi}_{2}}{\partial \varphi_{2}^{0}}
\end{array}\right\|
\]

Пусть $Y=X-E$. Тогда собственными числами матрицы $Y$ будут величины $e^{\alpha T}-1$, где $\alpha$ – характеристические показатели. Обозначим через $G(\alpha, \mu)$ определитель $|Y-S E|$, где $S=e^{\alpha T}-1$. Очевидно, что $G$ аналитична по $\alpha$ и $\mu$. Положим $\alpha=\varepsilon \sqrt{\mu}$. Разделим первые две строки и последние два

столбца определителя $|Y-S E|$ на $\sqrt{\mu}$. В результате получим следующий определитель:
\[
\left|\begin{array}{cccc}
\frac{1}{\sqrt{\mu}} \frac{\partial \widetilde{I}_{1}}{\partial I_{1}^{0}}-\frac{S}{\sqrt{\mu}} & \frac{1}{\sqrt{\mu}} \frac{\partial \widetilde{I}_{1}}{\partial I_{2}^{0}} & \frac{1}{\mu} \frac{\partial \widetilde{I}_{1}}{\partial \varphi_{1}^{0}} & \frac{1}{\mu} \frac{\partial \widetilde{I}_{1}}{\partial \varphi_{2}^{0}} \\
\frac{1}{\sqrt{\mu}} \frac{\partial \widetilde{I}_{2}}{\partial I_{1}^{0}} & \frac{1}{\sqrt{\mu}} \frac{\partial \widetilde{I}_{2}}{\partial I_{2}^{0}}-\frac{S}{\sqrt{\mu}} & \frac{1}{\mu} \frac{\partial \widetilde{I}_{2}}{\partial \varphi_{1}^{0}} & \frac{1}{\mu} \frac{\partial \widetilde{I}_{2}}{\partial \varphi_{2}^{0}} \\
\frac{\partial \omega_{1}}{\partial I_{1}^{0}} T+\frac{\partial \widetilde{\varphi}_{1}}{\partial I_{1}^{0}} & \frac{\partial \omega_{1}}{\partial I_{2}^{0}} T+\frac{\partial \widetilde{\varphi}_{1}}{\partial I_{2}^{0}} & \frac{1}{\sqrt{\mu}} \frac{\partial \widetilde{\varphi}_{1}}{\partial \varphi_{1}^{0}}-\frac{S}{\sqrt{\mu}} & \frac{1}{\sqrt{\mu}} \frac{\partial \widetilde{\varphi}_{1}}{\partial \varphi_{2}^{0}} \\
\frac{\partial \omega_{2}}{\partial I_{1}^{0}} T+\frac{\partial \widetilde{\varphi}_{2}}{\partial I_{1}^{0}} & \frac{\partial \omega_{2}}{\partial I_{2}^{0}} T+\frac{\partial \widetilde{\varphi}_{2}}{\partial I_{2}^{0}} & \frac{1}{\sqrt{\mu}} \frac{\partial \widetilde{\varphi}_{2}}{\partial \varphi_{1}^{0}} & \frac{1}{\sqrt{\mu}} \frac{\partial \widetilde{\varphi}_{2}}{\partial \varphi_{2}^{0}}-\frac{S}{\sqrt{\mu}}
\end{array}\right|
\]

При этом уравнение $G(\alpha, \mu)=0$ превращается в уравнение $\mu^{-2} G(\varepsilon \sqrt{\mu}, \mu)=G_{1}(\varepsilon, \sqrt{\mu})=0$. Вычислим $\lim _{\mu \rightarrow 0} G_{1}(\varepsilon, \sqrt{\mu})$. Для этого воспользуемся следующими соотношениями:
\[
\begin{array}{c}
\lim _{\mu \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{\mu}} \frac{\partial \widetilde{I}_{i}}{\partial I_{j}^{0}}=\lim _{\mu \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{\mu}} \frac{\partial \widetilde{\varphi}_{i}}{\partial \varphi_{j}^{0}}=\lim _{\mu \rightarrow 0} \frac{\partial \widetilde{\varphi}_{i}}{\partial I_{j}^{0}}=0, \\
\lim _{\mu \rightarrow 0} \frac{S}{\sqrt{\mu}}=\lim _{\mu \rightarrow 0} \frac{e^{T \varepsilon \sqrt{\mu}}-1}{\sqrt{\mu}}=\varepsilon T, \quad \lim _{\mu \rightarrow 0} \frac{1}{\mu} \frac{\partial \widetilde{I}_{i}}{\partial \varphi_{j}^{0}}=T \frac{\partial^{2} R}{\partial \varphi_{j}^{0} \partial \varphi_{i}^{0}}, \\
R\left(I^{0}, \varphi_{1}^{0}, \varphi_{2}^{0}\right)=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \mathscr{H}_{1}\left(I^{0}, \omega_{1} t+\varphi_{1}^{0}, \omega_{2} t+\varphi_{2}^{0}\right) d t .
\end{array}
\]

Тогда
\[
G_{1}(\varepsilon, 0)=\left|\begin{array}{cccc}
-\varepsilon T & 0 & T \frac{\partial^{2} R}{\partial \varphi_{1}^{0^{2}}} & T \frac{\partial^{2} R}{\partial \varphi_{1}^{0} \partial \varphi_{2}^{0}} \\
0 & -\varepsilon T & T \frac{\partial^{2} R}{\partial \varphi_{2}^{0} \partial \varphi_{1}^{0}} & T \frac{\partial^{2} R}{\partial \varphi_{2}^{0^{2}}} \\
T \frac{\partial^{2} \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{1}^{0^{2}}} & T \frac{\partial^{2} \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{1}^{0} \partial I_{2}^{0}} & -\varepsilon T & 0 \\
T \frac{\partial^{2} \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{2}^{0} \partial I_{1}^{0}} & T \frac{\partial^{2} \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{2}^{0^{2}}} & 0 & -\varepsilon T
\end{array}\right| .
\]

Так как
\[
\frac{\partial^{2} R}{\partial \varphi_{1}^{0^{2}}} \omega_{1}+\frac{\partial^{2} R}{\partial \varphi_{1}^{0} \partial \varphi_{2}^{0}} \omega_{2}=0, \quad \frac{\partial^{2} R}{\partial \varphi_{1}^{0} \partial \varphi_{2}^{0}} \omega_{1}+\frac{\partial^{2} R}{\partial \varphi_{2}^{0^{2}}} \omega_{2}=0,
\]

To
\[
G_{1}(\varepsilon, 0)=\varepsilon^{2} T^{4}\left(\Gamma \frac{\partial^{2} R}{\partial \varphi_{2}^{0^{2}}}+\varepsilon^{2}, \omega_{1}^{2}\right)
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\Gamma=\left|\begin{array}{ccc}
-\omega_{1} & -\omega_{2} & 0 \\
\frac{\partial^{2} \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{1}^{0^{2}}} & \frac{\partial^{2} \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{1}^{0} \partial I_{2}^{0}} & -\omega_{1} \\
\frac{\partial^{2} \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{2}^{0} \partial I_{1}^{0}} & \frac{\partial^{2} \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{2}^{0^{2}}} & -\omega_{2}
\end{array}\right|= \\
=-\left(\frac{\partial^{2} \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{1}^{0^{2}}} \omega_{2}^{2}-2 \frac{\partial^{2} \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{1}^{0} \partial I_{2}^{0}} \omega_{1} \omega_{2}+\frac{\partial^{2} \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{2}^{0^{2}}} \omega_{1}^{2}\right) .
\end{array}
\]

Два корня уравнения $G_{1}(\varepsilon, 0)=0$ равны нулю, а два других
\[
\varepsilon_{1,2}=-\frac{\Gamma}{\omega_{1}^{2}} \frac{\partial^{2} R}{\partial \varphi_{2}^{0^{2}}}
\]

отличны от нуля. Поскольку функция $G_{1}(\varepsilon, \sqrt{\mu})$ аналитична по обоим аргументам и $\varepsilon=0$ – двукратный корень уравнения $G_{1}(\varepsilon, \sqrt{\mu})=0$ при всех достаточно малых значениях $\mu$ (так как у периодических решений гамильтоновых систем с двумя степенями свободы два характеристических показателя всегда равны нулю), то функция $G_{2}(\varepsilon, \sqrt{\mu})=\varepsilon^{-2} G_{1}(\varepsilon, \sqrt{\mu})$ тоже аналитична. Так как $\partial G_{2} / \partial \varepsilon
eq 0$ при $\mu=0$ и $\varepsilon=\varepsilon_{1,2}$, то по теореме о неявных функциях существуют аналитические решения $\varepsilon(\sqrt{\mu})$ уравнения $G(\varepsilon \sqrt{\mu}, \mu)=0$, значения которых при $\mu=0$ равны $\varepsilon_{1,2}$. Следовательно, характеристические показатели найденных решений действительно можно разложить по степеням $\sqrt{\mu}$, причем коэффициенты при $\sqrt{\mu}$ равны $\varepsilon_{1,2}$.

Функция $\overline{\mathscr{H}}_{1}\left(I^{0}, \lambda\right)$ периодическая, поэтому существуют по крайней мере два значения $\lambda$, при которых $\overline{\partial \mathscr{H}_{1}} / \partial \lambda=0$. В общем случае эти критические точки невырождены, т.е. в этих точках $\partial^{2} \overline{\mathscr{H}}_{1} / \partial \lambda^{2}
eq 0$. При этом локальных минимулокальных максимумов (где $\bar{\partial}^{2} \mathscr{H}_{1} / \partial \lambda^{2}<0$ ). Если при $I=I^{0}$

квадратичная форма
\[
\omega_{1}^{2} \frac{\partial^{2} \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{2}^{2}}-2 \omega_{1} \omega_{2} \frac{\partial^{2} \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{1} \partial I_{2}}+\omega_{2}^{2} \frac{\partial^{2} \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{1}^{2}}
eq 0,
\]

то в силу соотношения (3.1) уравнение $\partial \overline{\mathscr{H}}_{1} / \partial \lambda=0$ будет иметь столько корней, для которых $\alpha_{1}^{2}>0$, сколько корней, для которых $\alpha_{1}^{2}<0$. Это равносильно тому, что при малых значениях $\mu
eq 0$ возмущенная система будет иметь ровно столько устойчивых в линейном приближении периодических решений, сколько неустойчивых. В этой ситуации обычно говорят, что на невозмущенном резонансном инвариантном торе $I=I^{0}$ рождаются пары изолированных периодических решений.

Применим теорему Пуанкаре к задаче о вращении твердого тела с неподвижной точкой в слабом поле сил тяжести.