Задача о существовании дополнительного интеграла уравнений вращения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, аналитического по каноническим переменным и параметру $\mu$, впервые поставлена А. Пуанкаре в $n$. 86 его «Новых методов небесной механики». Анализируя разложение возмущающей функции, А. Пуанкаре показал, что (в нашей терминологии) вековое множество не является всюду плотным, и, следовательно, его общая теорема об отсутствии новых аналитических интегралов не применима: «…ничто не препятствует существованию третьего однозначного интеграла, если только якобиан трех интегралов обращается в нуль, как только $n^{\prime}$ ( $у$ нас $\omega_{2}$, В. К.) становится кратным $n$ ( $у$ нас $\omega_{1}$, В. К.); отсюда следует, что этот третий интеграл не может в общем случае быть алгебраческим.

Поскольку сформулированные в этой главе условия являются необходимыми, но не достаточными, ничто не доказывает, что этот третий интеграл существует …» [1, с. 226].

Фактически в этих строках содержится постановка задачи о существовании новых алгебраческих интегралов и утверждение, которое сейчас принято называть теоремой Пуанкаре-Гюссона: если твердое тело несимметрично, и центр тяжести не совпадает с точкой подвеса, то нового алгебрачческого интеграла нет. Общая задача А. Пуанкаре о дополнительных алгебраческих интегралах решена в работах Лиувилля, Гюссона, Бургатти. Исследования этих авторов аналогичны работам Брунса и Пенлеве, посвященным задаче трех тел. Прекрасное изложение истории вопроса об алгебраческих интегралах можно найти в статье II. Я. Полубариновой-Кочиной [44]. Следует сослаться также на недавние работы А. И. Докиевича $[88,89]$, в которых исправлены и упрощены некоторые существенные моменты доказательства теоремы об отсутствии новых алеебраческих интегралов.