Натуральная механическая система – тройка $(M, d s, \mathscr{V})$, где $M$ – гладкое $n$-мерное многообразие (конфигурационное пространство), $d s$ – риманова метрика на $M$ (которая задает кинетическую энергию системы $\left.\mathscr{T}=(d s / d t)^{2} / 2\right), \mathscr{V}$ – гладкая функция на $M$ (потенциал поля сил). Движения натуральной системы – это отображения $m: \Delta \rightarrow M(\Delta$ – интервал в R), удовлетворяющие в локальных координатах на $M$ уравнениям Лагранжа с лагранжианом $\mathscr{L}=\mathscr{T}+\mathscr{V}$. Так как форма $\mathscr{T}$ положительно определена, то движение $m(t)$ с начальными условиями $m(0)=a \in M, \frac{d}{d t} m(0)=v(v-$ касательный вектор к $M$ в точке $a$ ) существует и единственно (подробности см. в $[4$, гл. IV]). Уравнения движения имеют первый интеграл интеграл энергии: $\mathscr{T}-\mathscr{V}=h$. При каждом фиксированном значении $h$ движение происходит в области $D=\{h+\mathscr{V} \geqslant 0\}$, которая называется областью возможных движений.