Согласно теореме 3 вековое множество $\mathscr{B}$ совпадает с множеством $\mathscr{P}$ резонансных торов задачи Эйлера-Пуансо, которые удовлетворяют условиям теоремы Пуанкаре о рождении изолированных периодических решений. Ниже будет показано, что как раз рождение большого числа невырожденных периодических решений уравнений движения несимметричного тяжелого твердого тела с неподвижной точкой несовместимо с интегрируемостью этой задачи.

Принципиальной основой доказательства несуществования нового аналитического интеграла является лемма Пуанкаре ( $\S 1$, гл. I): если
\[
\mathscr{F}=\mathscr{F}_{0}(I, \varphi)+\mu \mathscr{F}_{1}(I, \varphi)+\ldots
\]
– первый интеграл канонической системы с гамильтонианом (1.1), то $\mathscr{F}_{0}$ не зависит от $\varphi$ и функции $\mathscr{H}_{0}$ и $\mathscr{F}_{0}$ зависимы на множестве $\mathscr{B}$. Мы сейчас докажем это утверждение с использованием изолированных периодических решений, существование которых устанавливает теорема 3.

Действительно, периодические решения $\Gamma(\mu)$, рождающиеся из состава периодических решений, расположенных на произвольном резонансном торе $\mathbf{T}_{0}^{2} \subset \mathscr{B}$ задачи Эйлера-Пуансо, невырождены, поэтому, как доказано в § 1, функции $\mathscr{H}$ и $\mathscr{F}$ зависимы во всех точках траектории $\Gamma(\mu)$. Устремим $\mu$ к нулю. Периодическое решение $\Gamma(\mu)$ перейдет в периодическое решение $\Gamma(0)$ невозмущенной задачи, лежащее на $\mathbf{T}_{0}^{2}$, а функции $\mathscr{H}$ и $\mathscr{F}$ перейдут соответственно в $\mathscr{H}_{0}$ и $\mathscr{F}_{0}$. По непрерывности функции $\mathscr{H}_{0}$ и $\mathscr{F}_{0}$ будут зависимы во всех точках траектории периодического решения $\Gamma(0)$. В некоторой окрестности тора $\mathbf{T}_{0}^{2}$, на котором лежит $\Gamma(0)$, введем переменные действие-угол задачи Эйлера-Пуансо: $I_{1}, I_{2}, \varphi_{1}, \varphi_{2}$. Тогда $\mathscr{H}_{0}$ и $\mathscr{F}_{0}$ будут зависеть только от $I_{1}$ и $I_{2}$ (последняя – в силу невырожденности приведенной задачи Эйлера-Пуансо). Так как функции $\mathscr{H}_{0}$ и $\mathscr{F}_{0}$ зависимы на $\Gamma(0)$,

то матрица Якоби
\[
\frac{\partial\left(\mathscr{H}_{0}, \mathscr{F}_{0}\right)}{\partial(I, \varphi)}
\]

имеет ранг единицу, когда $(I, \varphi) \in \Gamma(0)$. В частности, в этих точках
\[
\operatorname{det} \frac{\partial\left(\mathscr{H}_{0}, \mathscr{F}_{0}\right)}{\partial\left(I_{1}, I_{2}\right)}=0 .
\]

Для завершения доказательства осталось заметить, что функции $\mathscr{H}_{0}$ и $\mathscr{F}_{0}$ не зависят от $\varphi$.

ЗАМЕчАниЕ. Основная идея проделанных рассуждений содержится в первом доказательстве Пуанкаре общей теоремы о неинтегрируемости канонических уравнений, близких к интегрируемым $([13, \S 22])$.