У канонической системы с функцией Гамильтона (1.1) в общем случае вековое множество всюду плотно в $D$. По теореме 1 у таких систем, вообще говоря, не существует, кроме интеграла энергии, дополнительного интеграла, аналитического по каноническим переменным и параметру $\mu$.

Возможно, однако, что общего второго интеграла не существует, но может существовать частный интеграл при каком-то фиксированном значении постоянной энергии $h$. Ниже мы покажем, что в общем случае этого также быть не может: не существует частного интеграла, аналитического по каноническим переменным и по малому параметру, который введен в общей задаче. Мы воспользуемся редукцией канонической автономной системы с двумя степенями свободы

к системе с одной степенью свободы с гамильтонианом, зависящим от времени (такой переход осуществляется на уровне энергии) $[2,4]$. Часто новый гамильтониан зависит от времени периодически.

Итак, предположим, что на множестве $(I^{\prime },I^{\prime \prime })\times {\mathbf{T}}^2\{\phi ,t$ $mod2\pi \}\times (-\epsilon ,\epsilon )$ задана аналитическая функция
$$\mathcal{H}(I,\phi ,t,\mu )={\mathcal{H}}_0(I)+\mu {\mathcal{H}}_1(I,\phi ,t)+\dots$$

Функции ${\mathcal{H}}_k(I,\phi ,t)(k=0,1,\dots )$ аналитичны на $(I^{\prime },I^{\prime \prime })\times$ $\times {\mathbf{T}}^2$ и разлагаются в сходящиеся двойные ряды Фурье. Пусть, например,
$${\mathcal{H}}_1=\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{H}_{m_1{m}_2}(I)e^{i(m_1\phi +m_{2}t)}.$$

Определение 3. Вековым множеством $\tilde{\mathcal{B}}$ системы с гамильтонианом (3.1) называется множество всех импульсов $I\in (I^{\prime },I^{\prime \prime })$, удовлетворяющих следующим условиям:
1) $m_1\omega +m_2=0,\omega (I)=\partial {\mathcal{H}}_0/\partial I,m_1,m_2\in \mathbf{Z}$;
2) $\left|m_1\right|+\left|m_2\right|eq0$
3) $H_{m_1{m}_2}(I)eq0$.
Теорема 2. Пусть система с гамильтонианом ${\mathcal{H}}_0$ невырождена, т.е. ${\partial }^2{\mathcal{H}}_0/\partial I^{2}ot\equiv 0$. Пусть вековое множество $\tilde{\mathcal{B}}$ задачи с функцей Гамильтона (3.1) является ключевым множеством для класса $A(I^{\prime },I^{\prime \prime })$. Тогда система с гамильтонианом (3.1) не имеет интеграла $\mathcal{F}(I,\phi ,t,\mu )$, аналитического в области $(I^{\prime },I^{\prime \prime })\times {\mathbf{T}}^2\{\phi ,tmod2\pi \}\times (-\epsilon ,\epsilon )$.

ЗамечаниЕ. С помощью теоремы Вейерштрасса о бесконечном произведении [5] можно доказать, что множество $M\subset (I^{\prime },I^{\prime \prime })$ является ключевым для класса $A(I^{\prime },I^{\prime \prime })$ тогда и только тогда, когда $M$ имеет предельную точку, лежащую внутри интервала $(I^{\prime },I^{\prime \prime })$.

Доказательство теоремы 2 вытекает из следующей индуктивной леммы, которая потребуется нам в дальнейшем.

Лемма 4. Пусть ${\partial }^2{\mathcal{H}}_0/\partial I^{2}ot\equiv 0$. Предположим, что у системы с функцией Гамильтона (3.1) существует аналитический интеграл
$$\mathcal{F}(I,\phi ,t,\mu )={\mathcal{F}}_0(I,\phi ,t)+\mu {\mathcal{F}}_1(I,\phi ,t)+\dots$$

Тогда
1) ${\mathcal{F}}_0(I,\phi ,t)$ зависит только от $I$;
2) $\partial {\mathcal{F}}_0/\partial I=0$, когда $I\in \tilde{\mathcal{B}}$.

ДоКаЗаТЕЛЬСТВо (СР. С $[1$, ГЛ. V ]).
1. Разложим функцию ${\mathcal{F}}_0(I,\phi ,t)$ в сходящийся двойной ряд Фурье:
$${\mathcal{F}}_0=\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{F}_{m_1{m}_2}(I)e^{i(m_1\phi +m_{2}t)}.$$

Так как ${\mathcal{F}}_0$ — первый интеграл канонической системы дифференциальных уравнений с гамильтонианом ${\mathcal{H}}_0$, то
$$\frac{\partial {\mathcal{F}}_0}{\partial t}+\frac{\partial {\mathcal{F}}_0}{\partial \phi }\omega \equiv 0$$

Используя разложение (3.3), получим равенства
$$i{F}_{m_1{m}_2}(m_1\omega +m_2)\equiv 0.$$

Предположим, что при некоторых целых $m_1,m_2(\left|m_1\right|+\left|m_2\right|eq$ $eq0$ ) функция $F_{m_1{m}_2}(I)ot\equiv 0$. Тогда из (3.4) следует, что
$$m_1\omega (I)+m_2\equiv 0.$$

Следовательно, $\omega (I)=$ const, что противоречит невырожденности невозмущенной системы. Итак, коэффициенты $F_{m_1{m}_2}\equiv$ $\equiv 0$, когда $\left|m_1\right|+\left|m_2\right|eq0$ и ${\mathcal{F}}_0(I,\phi ,t)=F_{00}(I)$.
2. Разложим функцию ${\mathcal{F}}_1(I,\phi ,t)$ в сходящийся двойной ряд Фурье:
$${\mathcal{F}}_1=\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{F}_{m_1{m}_2}(I)e^{i(m_1\phi +m_{2}t)}.$$

Так как $\mathcal{F}$ является первым интегралом системы с гамильтонианом (3.1), то
$$\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial t}+\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial \phi }\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial I}-\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial I}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \phi }\equiv 0.$$

Разлагая левую часть этого тождества в ряд по степеням $\mu$ и приравнивая нулю коэффициент при $\mu$, получим
$$\frac{\partial {\mathcal{F}}_1}{\partial t}+\frac{\partial {\mathcal{F}}_1}{\partial \phi }\frac{\partial {\mathcal{H}}_0}{\partial I}-\frac{\partial {\mathcal{F}}_0}{\partial I}\frac{\partial {\mathcal{H}}_1}{\partial \phi }\equiv 0.$$

Воспользовавшись разложениями (3.2) и (3.5), будем иметь
$$i(m_1\omega +m_2)F_{m_1{m}_2}-i{m}_1\frac{\partial {\mathcal{F}}_0}{\partial I}{H}_{m_1{m}_2}\equiv 0.$$

Пусть $I\in \tilde{\mathcal{B}}$. Тогда
$$m_1\frac{\partial {\mathcal{F}}_0}{\partial I}=0.$$

Коэффициент $m_1$ отличен от нуля, так как в противном случае $m_2=-m_1\omega =0$. Следовательно, $\partial {\mathcal{F}}_0/\partial I=0$ на множестве $\tilde{\mathcal{B}}$.

Рассмотрим снова систему канонических уравнений с гамильтонианом (1.1)
$$\mathcal{H}={\mathcal{H}}_0(I)+\mu {\mathcal{H}}_1(I,\phi )+\dots$$

Функция $\mathcal{H}$ предполагается аналитической в прямом произведении $D\times {\mathbf{T}}^2\times (-\epsilon ,\epsilon )$. Пусть $G-$ выпуклая подобласть связной ограниченной области $D,\overline{G}\subset D$, и всюду в $\overline{G}$ производная $\partial {\mathcal{H}}_0/\partial I_2$ отлична от нуля. Тогда при малых значениях параметра $\mu$ производная $\partial \mathcal{H}/\partial I_{2}eq0$, когда $(I,\phi )\in G\times {\mathbf{T}}^2$.
Разрешим уравнение
$$\mathcal{H}(I_1,I_2,{\phi }_1,{\phi }_2,\mu )=h$$

относительно $I_2$ :
$$I_2=\mathcal{K}(h,I_1{\phi }_1,{\phi }_2,\mu ).$$

Разложение функции $\mathcal{K}$ в сходящийся степенной ряд имеет следующий вид:
$$\mathcal{K}={\mathcal{K}}_0(h,I_1)+\mu {\mathcal{K}}_1(h,I_1,{\phi }_1,{\phi }_2)+\dots$$

Нетрудно установить, что функция ${\mathcal{K}}_0$ удовлетворяет уравнению
$${\mathcal{H}}_0(I_1,{\mathcal{K}}_0(h,I_1))=h,$$

а функция ${\mathcal{K}}_1$ равна
$$-\frac{1}{{\omega }_2}{\mathcal{H}}_1(I_1,{\mathcal{K}}_0(h,I_1),{\phi }_1,{\phi }_2).$$

Рис. 3

Зафиксируем значение постоянной интеграла энергии $h$. Положим $I_1=I,{\phi }_1=\phi ,{\phi }_2=t$. Тогда на трехмерном уровне интеграла $\mathcal{H}=h$ возникает каноническая система дифференциальных уравнений с функцией Гамильтона $[2,4]$
$$\mathcal{L}=-K={\mathcal{L}}_0(I)+\mu {\mathcal{L}}_1(I,\phi ,t)+\dots$$

Функция $\mathcal{L}(I,\phi ,t,\mu )$ аналитична в некоторой области
$$(I^{\prime },I^{\prime \prime })\times {\mathbf{T}}^2\{\phi ,tmod2\pi \}\times (-{\epsilon }^{\prime },{\epsilon }^{\prime }),$$
${\epsilon }^{\prime }>0$ (рис. 3 ).
Если невозмущенная система с функцией Гамильтона ${\mathcal{L}}_0(I)$ невырождена, и вековое множество $\tilde{\mathcal{B}}$ полной системы имеет предельные точки внутри интервала ( $I^{\prime },I^{\prime \prime }$ ), то согласно теореме 2 пониженная система канонических уравнений с гамильтонианом (3.8) не имеет аналитического и аналитически зависящего от параметра $\mu$ первого интеграла, $2\pi$-периодического по переменным $\phi ,t$. Другими словами, в этом случае исходная автономная система с функцией Гамильтона (1.1) не имеет частного аналитического интеграла при фиксированном значении постоянной энергии $h$. Невырожденность невозмущенной системы ( ${\partial }^2{\mathcal{L}}_0/\partial I^{2}ot\equiv 0$ ) означает геометрически, что линия уровня $\{I\in G:{\mathcal{H}}_0(I)=h\}$ не есть прямая.

Вековое множество системы с полным гамильтонианом $\tilde{\mathcal{B}}$ тоже описывается достаточно просто:
$$\tilde{\mathcal{B}}={\mathrm{pr}}_{I_1}(\mathcal{B}\cap \{I:{\mathcal{H}}_0(I)=h\}).$$

Действительно, дифференцируя соотношение (3.6) по $I_1(=I)$, получим, что
$$\begin{array}{c}\frac{\partial {\mathcal{L}}_0}{\partial I}=-\frac{\partial {\mathcal{K}}_0}{\partial I_1}=\frac{\partial {\mathcal{H}}_0}{\partial I_1}/\frac{\partial {\mathcal{H}}_0}{\partial I_2}=\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}\\ I_1=I,{\mathcal{H}}_0\left(I_1{I}_2\right)=h.\end{array}$$

Разложим возмущающую функцию ${\mathcal{L}}_1(I,\phi ,t)$ в сходящийся двойной ряд Фурье по угловым переменным $\phi ,t$ :
$${\mathcal{L}}_1=\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{L}_{m_1{m}_2}(I)e^{i(m_1\phi +m_{2}t)}.$$

Так как ${\mathcal{L}}_1=-K_1$, то с учетом равенства (3.7)
$$L_{m_1{m}_2}(I)=\frac{1}{{\omega }_2}{H}_{m_1{m}_2}(I,{\mathcal{K}}_0(h,I)).$$

Соотношения (3.9) и (3.10) позволяют описать вековое множество $\tilde{\mathcal{B}}$. Оно состоит из точек $I=I_1$ таких, что
$$(I_1,I_2)\in \mathcal{B},{\mathcal{H}}_0(I_1,I_2)=h.$$

Другими словами, $\tilde{\mathcal{B}}$ состоит из проекций на ось $I_1$ точек пересечения линии уровня $\{I:{\mathcal{H}}_0(I)=h\}$ с аналитическими кривыми, составляющими вековое множество $\mathcal{B}$ системы с гамильтонианом (1.1).