У канонической системы с функцией Гамильтона (1.1) в общем случае вековое множество всюду плотно в $D$. По теореме 1 у таких систем, вообще говоря, не существует, кроме интеграла энергии, дополнительного интеграла, аналитического по каноническим переменным и параметру $\mu$.

Возможно, однако, что общего второго интеграла не существует, но может существовать частный интеграл при каком-то фиксированном значении постоянной энергии $h$. Ниже мы покажем, что в общем случае этого также быть не может: не существует частного интеграла, аналитического по каноническим переменным и по малому параметру, который введен в общей задаче. Мы воспользуемся редукцией канонической автономной системы с двумя степенями свободы

к системе с одной степенью свободы с гамильтонианом, зависящим от времени (такой переход осуществляется на уровне энергии) $[2,4]$. Часто новый гамильтониан зависит от времени периодически.

Итак, предположим, что на множестве $\left(I^{\prime}, I^{\prime \prime}\right) \times \mathbf{T}^{2}\{\varphi, t$ $\bmod 2 \pi\} \times(-\varepsilon, \varepsilon)$ задана аналитическая функция
\[
\mathscr{H}(I, \varphi, t, \mu)=\mathscr{H}_{0}(I)+\mu \mathscr{H}_{1}(I, \varphi, t)+\ldots
\]

Функции $\mathscr{H}_{k}(I, \varphi, t)(k=0,1, \ldots)$ аналитичны на $\left(I^{\prime}, I^{\prime \prime}\right) \times$ $\times \mathbf{T}^{2}$ и разлагаются в сходящиеся двойные ряды Фурье. Пусть, например,
\[
\mathscr{H}_{1}=\sum_{-\infty}^{\infty} H_{m_{1} m_{2}}(I) e^{i\left(m_{1} \varphi+m_{2} t\right)} .
\]

Определение 3. Вековым множеством $\widetilde{\mathscr{B}}$ системы с гамильтонианом (3.1) называется множество всех импульсов $I \in\left(I^{\prime}, I^{\prime \prime}\right)$, удовлетворяющих следующим условиям:
1) $m_{1} \omega+m_{2}=0, \omega(I)=\partial \mathscr{H}_{0} / \partial I, m_{1}, m_{2} \in \mathbf{Z}$;
2) $\left|m_{1}\right|+\left|m_{2}\right|
eq 0$
3) $H_{m_{1} m_{2}}(I)
eq 0$.
Теорема 2. Пусть система с гамильтонианом $\mathscr{H}_{0}$ невырождена, т.е. $\partial^{2} \mathscr{H}_{0} / \partial I^{2}
ot \equiv 0$. Пусть вековое множество $\widetilde{\mathscr{B}}$ задачи с функцей Гамильтона (3.1) является ключевым множеством для класса $A\left(I^{\prime}, I^{\prime \prime}\right)$. Тогда система с гамильтонианом (3.1) не имеет интеграла $\mathscr{F}(I, \varphi, t, \mu)$, аналитического в области $\left(I^{\prime}, I^{\prime \prime}\right) \times \mathbf{T}^{2}\{\varphi, t \bmod 2 \pi\} \times(-\varepsilon, \varepsilon)$.

ЗамечаниЕ. С помощью теоремы Вейерштрасса о бесконечном произведении [5] можно доказать, что множество $M \subset\left(I^{\prime}, I^{\prime \prime}\right)$ является ключевым для класса $A\left(I^{\prime}, I^{\prime \prime}\right)$ тогда и только тогда, когда $M$ имеет предельную точку, лежащую внутри интервала $\left(I^{\prime}, I^{\prime \prime}\right)$.

Доказательство теоремы 2 вытекает из следующей индуктивной леммы, которая потребуется нам в дальнейшем.

Лемма 4. Пусть $\partial^{2} \mathscr{H}_{0} / \partial I^{2}
ot \equiv 0$. Предположим, что у системы с функцией Гамильтона (3.1) существует аналитический интеграл
\[
\mathscr{F}(I, \varphi, t, \mu)=\mathscr{F}_{0}(I, \varphi, t)+\mu \mathscr{F}_{1}(I, \varphi, t)+\ldots
\]

Тогда
1) $\mathscr{F}_{0}(I, \varphi, t)$ зависит только от $I$;
2) $\partial \mathscr{F}_{0} / \partial I=0$, когда $I \in \widetilde{\mathscr{B}}$.

ДоКаЗаТЕЛЬСТВо (СР. С $[1$, ГЛ. V ]).
1. Разложим функцию $\mathscr{F}_{0}(I, \varphi, t)$ в сходящийся двойной ряд Фурье:
\[
\mathscr{F}_{0}=\sum_{-\infty}^{\infty} F_{m_{1} m_{2}}(I) e^{i\left(m_{1} \varphi+m_{2} t\right)} .
\]

Так как $\mathscr{F}_{0}$ – первый интеграл канонической системы дифференциальных уравнений с гамильтонианом $\mathscr{H}_{0}$, то
\[
\frac{\partial \mathscr{F}_{0}}{\partial t}+\frac{\partial \mathscr{F}_{0}}{\partial \varphi} \omega \equiv 0
\]

Используя разложение (3.3), получим равенства
\[
i F_{m_{1} m_{2}}\left(m_{1} \omega+m_{2}\right) \equiv 0 .
\]

Предположим, что при некоторых целых $m_{1}, m_{2}\left(\left|m_{1}\right|+\left|m_{2}\right|
eq\right.$ $
eq 0$ ) функция $F_{m_{1} m_{2}}(I)
ot \equiv 0$. Тогда из (3.4) следует, что
\[
m_{1} \omega(I)+m_{2} \equiv 0 .
\]

Следовательно, $\omega(I)=$ const, что противоречит невырожденности невозмущенной системы. Итак, коэффициенты $F_{m_{1} m_{2}} \equiv$ $\equiv 0$, когда $\left|m_{1}\right|+\left|m_{2}\right|
eq 0$ и $\mathscr{F}_{0}(I, \varphi, t)=F_{00}(I)$.
2. Разложим функцию $\mathscr{F}_{1}(I, \varphi, t)$ в сходящийся двойной ряд Фурье:
\[
\mathscr{F}_{1}=\sum_{-\infty}^{\infty} F_{m_{1} m_{2}}(I) e^{i\left(m_{1} \varphi+m_{2} t\right)} .
\]

Так как $\mathscr{F}$ является первым интегралом системы с гамильтонианом (3.1), то
\[
\frac{\partial \mathscr{F}}{\partial t}+\frac{\partial \mathscr{F}}{\partial \varphi} \frac{\partial \mathscr{H}}{\partial I}-\frac{\partial \mathscr{F}}{\partial I} \frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \varphi} \equiv 0 .
\]

Разлагая левую часть этого тождества в ряд по степеням $\mu$ и приравнивая нулю коэффициент при $\mu$, получим
\[
\frac{\partial \mathscr{F}_{1}}{\partial t}+\frac{\partial \mathscr{F}_{1}}{\partial \varphi} \frac{\partial \mathscr{H}_{0}}{\partial I}-\frac{\partial \mathscr{F}_{0}}{\partial I} \frac{\partial \mathscr{H}_{1}}{\partial \varphi} \equiv 0 .
\]

Воспользовавшись разложениями (3.2) и (3.5), будем иметь
\[
i\left(m_{1} \omega+m_{2}\right) F_{m_{1} m_{2}}-i m_{1} \frac{\partial \mathscr{F}_{0}}{\partial I} H_{m_{1} m_{2}} \equiv 0 .
\]

Пусть $I \in \widetilde{\mathscr{B}}$. Тогда
\[
m_{1} \frac{\partial \mathscr{F}_{0}}{\partial I}=0 .
\]

Коэффициент $m_{1}$ отличен от нуля, так как в противном случае $m_{2}=-m_{1} \omega=0$. Следовательно, $\partial \mathscr{F}_{0} / \partial I=0$ на множестве $\widetilde{\mathscr{B}}$.

Рассмотрим снова систему канонических уравнений с гамильтонианом (1.1)
\[
\mathscr{H}=\mathscr{H}_{0}(I)+\mu \mathscr{H}_{1}(I, \varphi)+\ldots
\]

Функция $\mathscr{H}$ предполагается аналитической в прямом произведении $D \times \mathbf{T}^{2} \times(-\varepsilon, \varepsilon)$. Пусть $G-$ выпуклая подобласть связной ограниченной области $D, \bar{G} \subset D$, и всюду в $\bar{G}$ производная $\partial \mathscr{H}_{0} / \partial I_{2}$ отлична от нуля. Тогда при малых значениях параметра $\mu$ производная $\partial \mathscr{H} / \partial I_{2}
eq 0$, когда $(I, \varphi) \in G \times \mathbf{T}^{2}$.
Разрешим уравнение
\[
\mathscr{H}\left(I_{1}, I_{2}, \varphi_{1}, \varphi_{2}, \mu\right)=h
\]

относительно $I_{2}$ :
\[
I_{2}=\mathscr{K}\left(h, I_{1} \varphi_{1}, \varphi_{2}, \mu\right) .
\]

Разложение функции $\mathscr{K}$ в сходящийся степенной ряд имеет следующий вид:
\[
\mathscr{K}=\mathscr{K}_{0}\left(h, I_{1}\right)+\mu \mathscr{K}_{1}\left(h, I_{1}, \varphi_{1}, \varphi_{2}\right)+\ldots
\]

Нетрудно установить, что функция $\mathscr{K}_{0}$ удовлетворяет уравнению
\[
\mathscr{H}_{0}\left(I_{1}, \mathscr{K}_{0}\left(h, I_{1}\right)\right)=h,
\]

а функция $\mathscr{K}_{1}$ равна
\[
-\frac{1}{\omega_{2}} \mathscr{H}_{1}\left(I_{1}, \mathscr{K}_{0}\left(h, I_{1}\right), \varphi_{1}, \varphi_{2}\right) .
\]

Рис. 3

Зафиксируем значение постоянной интеграла энергии $h$. Положим $I_{1}=I, \varphi_{1}=\varphi, \varphi_{2}=t$. Тогда на трехмерном уровне интеграла $\mathscr{H}=h$ возникает каноническая система дифференциальных уравнений с функцией Гамильтона $[2,4]$
\[
\mathscr{L}=-K=\mathscr{L}_{0}(I)+\mu \mathscr{L}_{1}(I, \varphi, t)+\ldots
\]

Функция $\mathscr{L}(I, \varphi, t, \mu)$ аналитична в некоторой области
\[
\left(I^{\prime}, I^{\prime \prime}\right) \times \mathbf{T}^{2}\{\varphi, t \bmod 2 \pi\} \times\left(-\varepsilon^{\prime}, \varepsilon^{\prime}\right),
\]
$\varepsilon^{\prime}>0$ (рис. 3 ).
Если невозмущенная система с функцией Гамильтона $\mathscr{L}_{0}(I)$ невырождена, и вековое множество $\widetilde{\mathscr{B}}$ полной системы имеет предельные точки внутри интервала ( $I^{\prime}, I^{\prime \prime}$ ), то согласно теореме 2 пониженная система канонических уравнений с гамильтонианом (3.8) не имеет аналитического и аналитически зависящего от параметра $\mu$ первого интеграла, $2 \pi$-периодического по переменным $\varphi, t$. Другими словами, в этом случае исходная автономная система с функцией Гамильтона (1.1) не имеет частного аналитического интеграла при фиксированном значении постоянной энергии $h$. Невырожденность невозмущенной системы ( $\partial^{2} \mathscr{L}_{0} / \partial I^{2}
ot \equiv 0$ ) означает геометрически, что линия уровня $\left\{I \in G: \mathscr{H}_{0}(I)=h\right\}$ не есть прямая.

Вековое множество системы с полным гамильтонианом $\widetilde{\mathscr{B}}$ тоже описывается достаточно просто:
\[
\widetilde{\mathscr{B}}=\operatorname{pr}_{I_{1}}\left(\mathscr{B} \cap\left\{I: \mathscr{H}_{0}(I)=h\right\}\right) .
\]

Действительно, дифференцируя соотношение (3.6) по $I_{1}(=I)$, получим, что
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \mathscr{L}_{0}}{\partial I}=-\frac{\partial \mathscr{K}_{0}}{\partial I_{1}}=\frac{\partial \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{1}} / \frac{\partial \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{2}}=\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}} \\
I_{1}=I, \quad \mathscr{H}_{0}\left(I_{1} I_{2}\right)=h .
\end{array}
\]

Разложим возмущающую функцию $\mathscr{L}_{1}(I, \varphi, t)$ в сходящийся двойной ряд Фурье по угловым переменным $\varphi, t$ :
\[
\mathscr{L}_{1}=\sum_{-\infty}^{\infty} L_{m_{1} m_{2}}(I) e^{i\left(m_{1} \varphi+m_{2} t\right)} .
\]

Так как $\mathscr{L}_{1}=-K_{1}$, то с учетом равенства (3.7)
\[
L_{m_{1} m_{2}}(I)=\frac{1}{\omega_{2}} H_{m_{1} m_{2}}\left(I, \mathscr{K}_{0}(h, I)\right) .
\]

Соотношения (3.9) и (3.10) позволяют описать вековое множество $\widetilde{\mathscr{B}}$. Оно состоит из точек $I=I_{1}$ таких, что
\[
\left(I_{1}, I_{2}\right) \in \mathscr{B}, \mathscr{H}_{0}\left(I_{1}, I_{2}\right)=h .
\]

Другими словами, $\widetilde{\mathscr{B}}$ состоит из проекций на ось $I_{1}$ точек пересечения линии уровня $\left\{I: \mathscr{H}_{0}(I)=h\right\}$ с аналитическими кривыми, составляющими вековое множество $\mathscr{B}$ системы с гамильтонианом (1.1).