Теорема 5. Пусть $f$ непрерывна и имеет две непрерывные производные по $\varphi_{2}, \lambda=0$, а отношение частот $\omega_{1} / \omega_{2}$ иррационально. Если $f\left(\varphi_{1}^{0}, \varphi_{2}^{0}\right)
eq 0$, то $\forall T>0 \exists t_{1}, t_{2}>T$ : $I\left(t_{1}, \varphi_{1}^{0}, \varphi_{2}^{0}\right)>0, I\left(t_{2}, \varphi_{1}^{0}, \varphi_{2}^{0}\right)<0$.

Следствие (теорема о нулях). Пусть выполнены условия теоремы 5. Если $f\left(\varphi_{1}^{0}, \varphi_{2}^{0}\right)
eq 0$, то функция $I\left(t, \varphi_{1}^{0}, \varphi_{2}^{0}\right)$ имеет бесконечно много нулей при $t \rightarrow \infty$.
ДоКАЗаТЕЛЬСТВо ТЕОРЕМЫ 5.
Расстояние $d\left\{a_{1}, a_{2}\right\}$ между точками $a_{1}, a_{2} \in \mathbf{T}^{2}$ будем определять в метрике
\[
d s^{2}=d \varphi_{1}^{2}+d \varphi_{2}^{2} .
\]

Докажем сначала, что
\[
\begin{array}{c}
\forall \varepsilon>0, \forall T>0 \exists \tau>T:\left|I\left(\tau, \varphi_{1}^{0}, \varphi_{2}^{0}\right)\right|<\varepsilon, \\
d\left\{\left(\omega_{1} \tau+\varphi_{1}^{0}, \omega_{2} \tau+\varphi_{2}^{0}\right),\left(\varphi_{1}^{0}, \varphi_{2}^{0}\right)\right\}<\varepsilon .
\end{array}
\]

Рассмотрим на $\mathbf{T}^{2}$ окружность $S^{1}=\left\{\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right): \varphi_{1}=\varphi_{1}^{0}\right\}$ и на ней функцию
\[
F\left(x, \varphi_{1}^{0}\right)=\int_{0}^{1 / \omega_{1}} f\left(\omega_{1} t+\varphi_{1}^{0}, \omega_{2} t+x\right) d t .
\]

Так как за время $t$, кратное $1 / \omega_{1}$, точка $\left(\omega_{1} t+\varphi_{1}^{0}, \omega_{2} t+\varphi_{2}^{0}\right)$ снова вернется на $S^{1}$, то
\[
I\left(n \omega_{1}^{-1}, \varphi_{1}^{0}, \varphi_{2}^{0}\right)=\sum_{k=1}^{n-1} F\left(k \alpha+\varphi_{2}^{0}, \varphi_{1}^{0}\right), \alpha=\omega_{2} / \omega_{1} .
\]

Функция $F \in C^{2}\left(S^{1}\right)$ и
\[
\int_{0}^{1} F\left(x, \varphi_{1}^{0}\right) d x=0 .
\]

Предположим, что $\alpha \in K_{2}$. По лемме 5 для фиксированного $\varphi_{1}^{0}$ существует непрерывная функция $\Phi(x)$ на $S^{1}$ такая, что
\[
I\left(n \omega_{1}^{-1}, \varphi_{1}^{0}, \varphi_{2}^{0}\right)=\Phi\left(n \alpha+\varphi_{2}^{0}\right)-\Phi\left(\varphi_{2}^{0}\right) .
\]

Так как точки на $S^{1}$ с угловыми координатами $n \alpha+\varphi_{2}^{0}(n \in \mathbf{Z})$ всюду плотны, то для случая $\alpha \in K_{2}$ утверждение (3.1) доказано.

Если $\alpha \in K_{1}$, то по лемме 6 существует бесконечно много натуральных чисел $N$, удовлетворяющих при некоторых целых $m$ неравенству $|N \alpha-m|<N^{-3 / 2}$, таких, что
\[
\begin{array}{c}
\left|I\left(N \omega_{1}^{-1}, \varphi_{1}^{0}, \varphi_{2}^{0}\right)\right|<\frac{M_{1}}{\sqrt{N}}+\frac{M_{2}}{24 N}, \\
M_{1}=\max _{x \in S^{1}}\left|F^{\prime}(x)\right|, \quad M_{2}=\max _{x \in S^{1}}\left|F^{\prime \prime}(x)\right| .
\end{array}
\]

При этом точка
\[
\left(\omega_{1} \tau+\varphi_{1}^{0}, \omega_{2} \tau+\varphi_{2}^{0}\right), \quad \tau=N \omega_{1}^{-1}
\]

отстоит от $\left(\varphi_{1}^{0}, \varphi_{2}^{0}\right)$ на расстоянии
\[
d \leqslant|N \alpha-m|<N^{-3 / 2} .
\]

Так как $N$ может быть выбрано сколь угодно большим, то из (3.2) и (3.3) следует (3.1). Утверждение (3.1) доказано полностью.

Обозначим через $U_{\rho}$ окрестность точки $\left(\varphi_{1}^{0}, \varphi_{2}^{0}\right.$ ) радиуса $\rho>0$. Пусть, для определенности, $f\left(\varphi_{1}^{0}, \varphi_{2}^{0}\right)>0$. Тогда в некоторой области $U_{\delta}$ функция $f>\gamma>0, \gamma=$ const. Существуют $\varepsilon>0$ и $\beta>0$, зависящие от $\delta$, такие, что если в момент времени $t=\tau$ точка $\left(\omega_{1} \tau+\varphi_{1}^{0}, \omega_{2} \tau+\varphi_{2}^{0}\right) \in U_{\varepsilon_{0}}$, то $\left(\omega_{1} t+\right.$ $+\varphi_{1}^{0}, \omega_{2} t+\varphi_{2}^{0}$ ) $\in U_{\delta}$ при $\tau-\beta<t<\tau+\beta$. Следовательно, если $\varepsilon<\varepsilon_{0}$, то согласно (3.1) существуют сколь угодно большие $\tau$ такие, что
\[
\left|I\left(\tau, \varphi_{1}^{0}, \varphi_{2}^{0}\right)\right|<\varepsilon, \quad \dot{I}\left(t, \varphi_{1}^{0}, \varphi_{2}^{0}\right)=f\left(\omega_{1} t+\varphi_{1}^{0}, \omega_{2} t+\varphi_{2}^{0}\right)>\gamma
\]

при $\tau-\beta<t<\tau+\beta$. Так как постоянные $\varepsilon_{0}, \gamma$ и $\beta$ не зависят от $\varepsilon$, то при малых $\varepsilon$ функция $I\left(t, \varphi_{1}^{0}, \varphi_{2}^{0}\right)$ принимает значения разных знаков в интервале ( $\tau-\beta, \tau+\beta)$.

Теорема 5 неверна, если функция $f$ только непрерывна. Действительно, в примере, рассмотренном в § $2, f(0,0)>0$, а $I(t, 0,0) \rightarrow+\infty$ при $t \rightarrow+\infty$. Более того, нетрудно показать, что $I(t, 0,0)>0$ при $t>0$. Это вытекает из следующего утверждения: если $(\Lambda+1) / 2<A<\Lambda$, то
\[
I(t)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{A}{\Lambda}\right)^{n} \sin \frac{t}{\Lambda^{n}}>0
\]

при $t>0$. Действительно, если $0<t \leqslant \pi / 2$, то, очевидно, $I(t)>0$. При доказательстве леммы 7 было установлено, что при $t \in\left[\frac{\pi}{2} \Lambda^{n-1}, \frac{\pi}{2} \Lambda^{n}\right], n=1,2, \ldots$, справедливо неравенство
\[
I(t) \geqslant \frac{A^{n}}{\Lambda-A}-\frac{A^{n}-1}{A-1} .
\]

Так как $1<\frac{\Lambda+1}{2}<A<\Lambda$, то в этих интервалах функция $I(t)>0$.