Приведем пример механической системы с двумя степенями свободы, удовлетворяющей условиям теоремы 1 , но для которой замыкание $\bar{\mathcal{B}}$ не совпадает с областью $D$.

Рассмотрим на плоскости непересекающиеся эллипс и окружность; пусть (для упрощения вычислений) центр окружности совпадает с одним из фокусов эллипса. По этим кривым
Рис. 2 могут свободно перемещаться две точки с массами $m_1$ и $m_2$, которые связаны между собой упругой пружиной с коэффициентом упругости $k$.
При $k=0$ имеем интегрируемый случай: независимое движение точек по инерции.
Параметры эллипса обозначим через $p$ и $e(eeq0)$, радиус окружности — через $R$. Положение масс на окружности и эллипсе будем задавать угловыми координатами ${\vartheta }_1,{\vartheta }_2$ (в полярной системе координат с началом в центре окружности).

В канонических переменных ${\vartheta }_1,{\vartheta }_2,{\mathrm{\Theta }}_1,{\mathrm{\Theta }}_2$ гамильтониан ${\mathcal{H}}_0$ невозмущенной задачи (при $k=0$ ) тождественен живой силе движения точек и имеет вид
$${\mathcal{H}}_0=\frac{{\mathrm{\Theta }}_1^2}{2m_1{R}^2}+\frac{{\mathrm{\Theta }}_2^2{(1+e\cos {\vartheta }_2)}^4}{2m_2{p}^2(1+2e\cos {\vartheta }_2+e^2)}.$$

Функция Гамильтона возмущенной задачи есть
$$\mathcal{H}={\mathcal{H}}_0+\mu {\mathcal{H}}_1,\mu =k,$$

где
$${\mathcal{H}}_1=R^2+\frac{p^2}{{(1+e\cos {\vartheta }_2)}^2}-\frac{2Rp}{1+e\cos {\vartheta }_2}\cos ({\vartheta }_2-{\vartheta }_1).$$

Переменные действие-угол $I_1,I_2,{\phi }_1,{\phi }_2$ в невозмущенной задаче суть следующие:
$$\begin{array}{l}{I}_1={\mathrm{\Theta }}_1,{\phi }_1={\vartheta }_1,\\ I_2=\frac{p}{2\pi }\sqrt{2m_2({\mathcal{H}}_0-\frac{I_1^2}{2m_1{R}^2})}{\int }_0^{2\pi }\frac{\sqrt{1+2e\cos x+e^2}}{(1+e\cos x{)}^2}dx,\\ {\phi }_2=\frac{p}{\mathrm{\Lambda }}{\int }_0^{{\vartheta }_2}\frac{\sqrt{1+2e\cos x+e^2}}{(1+e\cos x{)}^2}dx.\end{array}$$

Здесь
$$2\pi \mathrm{\Lambda }=p{\int }_0^{2\pi }\frac{\sqrt{1+2e\cos x+e^2}}{(1+e\cos x{)}^2}dx$$
— периметр эллипса. Отметим, что переменная ${\phi }_2$ является натуральным параметром (длиной дуги) на эллипсе.

Интеграл (2.2) можно упростить. Для этого перейдем от ${\vartheta }_2$ к эксцентрической аномали $E$ по формуле
$$\frac{1}{1+e\cos {\vartheta }_2}=\frac{1-e\cos E}{{(1-e^2)}^2}.$$

Тогда интеграл (2.2) запишется так:
$${\phi }_2=\frac{p}{(1-e^2)\mathrm{\Lambda }}{\int }_0^E\sqrt{1-e^2{\cos }^{2}E}dE.$$

В канонических переменных действие-угол
$${\mathcal{H}}_0=\frac{I_1^2}{2m_1{R}^2}+\frac{I_2^2}{2m_2{\mathrm{\Lambda }}^2}.$$

Возмущение в новых переменных примет вид
$$\begin{array}{rl}{\mathcal{H}}_1=R^2+& \sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{H}_{m,0}{e}^{im{\phi }_2}+\\ & +\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{H}_{m,1}{e}^{i(m{\phi }_2+{\phi }_1)}+\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{H}_{m,-1}{e}^{i(m{\phi }_2-{\phi }_1)},\end{array}$$

коэффициенты $H_{m,0},H_{m,1},H_{m,-1}$ зависят только от $p,e,R$, но не от $I$.

Докажем, что среди коэффициентов $H_{m,1},H_{m,-1}$ содержится бесконечно много отличных от нуля. Для этого, очевидно, достаточно показать, что разложение функции
$$\frac{\cos {\vartheta }_2}{1+e\cos {\vartheta }_2}$$

в ряд Фурье по переменной ${\phi }_2$ имеет бесконечно много членов. Предположим противное, т.е. функция (2.4) — тригонометрический полином. Из равенства (2.3) вытекает тогда, что $\cos E$ равен отношению двух полиномов. Следовательно, функция $\cos E$, рассматриваемая как функция комплексного переменного ${\phi }_2$, является однозначной мероморфной функцией. Положим $w\left({\phi }_2\right)=\cos E$, тогда
$${\left(w^{\prime }\right)}^2=\frac{1-w^2}{c^2(1-e^2{w}^2)},c=\frac{p}{(1-e^2)\mathrm{\Lambda }}.$$

Из одной теоремы Фукса [3, гл. II] следует, что все решения этого дифференциального уравнения имеют критические подвижные особые точки и, следовательно, неоднозначны на комплексной плоскости. Полученное противоречие доказывает высказанное выше утверждение.

Уравнения ${\omega }_1+m{\omega }_2=0(m\in \mathbf{Z})$, где ${\omega }_i(i=1,2)-$ частоты невозмущенной задачи, определяют на плоскости ${\mathbf{R}}^2\{I_1,I_2\}$ прямые линии, проходящие через начало координат. Соответствующие коэффициенты в разложении возмущающей функции не зависят от переменных действие, и среди них есть бесконечно много, не равных нулю. Поэтому вековое

множество $\mathcal{B}$ задачи с функцией Гамильтона (2.1) состоит из бесконечного числа прямых, проходящих через начало координат и имеющих единственную предельную прямую $I_2=0$. Гессиан
$$\left|\frac{{\partial }^2{\mathcal{H}}_0}{\partial I_1\partial I_2}\right|=\frac{1}{m_1{m}_2{R}^2{\mathrm{\Lambda }}^2}eq0.$$

Очевидно, что $I_1=I_2=0$ — единственная критическая точка ${\mathcal{H}}_0$.

Пусть область $D$ плоскости ${\mathbf{R}}^2\{I_1,I_2\}$ имеет с прямой $I_2=0$ непустое пересечение. Тогда $\mathcal{B}\cap D$ является множеством, ключевым для класса $A(D)$. Действительно, пусть аналитическая функция $f(I_1,I_2)$ равна нулю на $\mathcal{B}\cap D$. Фиксируя $I_1=I_1^0$, получаем аналитическую функцию одного переменного, нули которой имеют предельную точку $I_2=0$, лежащую внутри ее области аналитичности. Значит, $f$ равна нулю на любой прямой $I_1=I_1^0$ и, следовательно, во всей области $D$. Таким образом, на множестве $D\{I_1,I_2\}\times {\mathbf{T}}^2\{{\phi }_1,{\phi }_2$ $mod2\pi \}\times (-\epsilon ,\epsilon )$ для системы с гамильтонианом (2.1) выполнены все условия теоремы 1 , но множество $\mathcal{B}\cap D$ не всюду плотно в $D$.