Будем исследовать движение тела в углах Эйлера $\vartheta, \varphi, \psi$. Очевидно, что $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{6}$ – условно-периодические функции времени. Так как $\cos \vartheta=x_{6}$ и $0 \leqslant \vartheta \leqslant \pi$, то функция $\vartheta(t)$ тоже условно-периодична.

Лемма 2. Если в начальный момент времени $I_{1}
u^{2}<4 I_{2}^{2}$, то существует $\varepsilon>0$ такое, что при всех $t \in \mathbf{R}$
\[
\left|x_{6}(t)\right|<1-\varepsilon .
\]

ДОКАЗаТЕЛЬСТВО.
Пусть $\left|x_{6}\right|=1$. Тогда $x_{3}=x_{4}=x_{5}=0$. Из интегралов (2.1) вытекают равенства $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=I_{1} / 4,\left|x_{1}\right|=\left|I_{2} /
u\right|$ $(
u
eq 0)$. Отсюда $x_{2}^{2}=I_{1} / 4-I_{2}^{2} /
u^{2}$. Следовательно, если в некоторый момент времени на $E$ выполнено равенство $\left|x_{6}\right|=1$, то $I_{1}
u^{2} \geqslant 4 I_{2}^{2}$. Так как множество $E$ компактно, то в условиях леммы при некотором $\varepsilon>0$ справедливо неравенство (3.1).

ЗАмЕчАниЕ. Если $I_{1}
u^{2} \geqslant 4 \boldsymbol{I}_{2}^{2}$, то при некоторых начальных данных, удовлетворяющих этому неравенству, ось динамической симметрии занимает вертикальное положение.

Будем использовать следующую терминологию (ср. с $[17$, 63]). Величина $\xi(t)$ обладает средним движением $\lambda=$ const, если для всех $t \in \mathbf{R}$
\[
\xi(t)=\lambda t+O(1) .
\]

Величина $\xi(t)$ обладает главным движением $\lambda$, если $\xi(t)=$ $=\lambda t+o(t)$ при $t \rightarrow \infty$, т. е.
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{\xi(t)-\lambda t}{t}=0 .
\]

Предложение 1. Пусть выполнены условия леммы 2. Тогда собственное вращение обладает средним движением.
ДоКазательство.
Так как $1-x_{6}^{2}>\varepsilon>0$ для всех $t$, то
\[
e^{i \varphi}=\frac{x_{5}+i x_{4}}{\sqrt{1-x_{6}^{2}}}
\]

есть двухчастотная условно-периодическая функция времени. По теореме Боля об аргументе [64]
\[
\varphi=\left(m_{1} \omega_{1}+m_{2} \omega_{2}\right) t+f(t)
\]

где $m_{1}, m_{2}$ – целые числа, а $f$ условно-периодична по $t$. Следовательно, $\varphi=\lambda t+O(1)$.

Если в некоторый момент времени $t=t^{\prime}$ выполняется равенство $x_{6}^{2}=1$, то формально угол $\varphi$ не определен. В этом случае можно поступить следующим образом. Известно, что
\[
\dot{\varphi}=x_{3}-x_{6} \frac{x_{1} x_{4}+x_{2} x_{5}}{1-x_{6}^{2}}=\frac{x_{3}\left(4-3 x_{6}^{2}\right)}{4\left(1-x_{6}^{2}\right)} .
\]

Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, когда $I_{1}
eq 0$, получим
\[
\lim _{t \rightarrow t^{\prime}} \dot{\varphi}=\frac{I_{2}}{2 I_{1}} .
\]

Поскольку значение угла $\varphi$ при $t=t^{\prime}$ не определено, то мы можем положить
\[
\varphi(t)=\varphi(0)+\int_{0}^{t} \dot{\varphi}(s) d s, \quad \dot{\varphi}\left(t^{\prime}\right)=I_{2} / 2 I_{1} .
\]

Тогда функция $\varphi(t)$ будет определена и непрерывна при всех $-\infty<t<\infty$.

Эти рассуждения указывают на целесообразность изучения собственного вращения даже в том случае, когда ось симметрии может занимать вертикальные положения.

Теорема 2. Пусть $I_{1}
eq 0, I_{1}
u^{2}
eq 4 I_{2}^{2}$. Если при заданных постоянных интегралах $I_{1}, I_{2}$ частоты $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ соизмеримы, то собственное вращение обладает средним движением. Если $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ несоизмеримы, то собственное вращение обладает главным движением, зависящим только от $I_{1}, I_{2}$.
ДоКаЗаТЕЛЬСТво.
В силу предложения 1 достаточно рассмотреть случай, когда $I_{1}
u^{2}>4 I_{2}^{2}$. Если отношение $\omega_{1} / \omega_{2}$ рационально, что $\dot{\varphi}-$ непрерывная периодическая функция времени (в точках, где $x_{6}^{2}=1$, функция $\dot{\varphi}$ полагается равной $I_{2} / 2 I_{1}$ ). Следовательно, в этом случае $\varphi=\lambda t+O(1)$.

Пусть теперь отношение $\omega_{1} / \omega_{2}$ иррационально. Рассмотрим на $\mathbf{T}^{2}\left\{\varphi_{1}, \varphi_{2} \bmod 2 \pi\right\}$ окружность $S^{1}=\left\{\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right) \in \mathbf{T}^{2}\right.$ :

$\left.\varphi_{1}=\varphi_{1}^{0}\right\}$. Переменная $\varphi_{2} \bmod 2 \pi$ является угловой переменной на $S^{1}$. Определим на прямом произведении $S^{1} \times\left[0,2 \pi / \omega_{1}\right]$ функцию
\[
F\left(\varphi_{2}, t\right)=\int_{0}^{t} \Phi\left(\omega_{1} \tau+\varphi_{1}^{0}, \omega_{2} \tau+\varphi_{2}\right) d \tau, \quad \varphi_{2} \in S^{1}, \quad t \in\left[0,2 \pi / \omega_{1}\right] .
\]

Здесь $\Phi\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)=\dot{\varphi}$. Ясно, что $f\left(\varphi_{2}\right)=F\left(\varphi_{2}, 2 \pi / \omega_{1}\right)-$ изменение угла $\varphi$ за время, когда точка на $\mathbf{T}^{2}$, двигаясь по иррациональной обмотке из точки $\left(\varphi_{1}^{0}, \varphi_{2}\right) \in S^{1}$, снова вернется на $S^{1}$. Докажем, что $f\left(\varphi_{2}\right)$ интегрируема по Риману.

Если $f\left(\varphi_{2}\right)$ имеет разрыв в точке $\varphi_{2}=\varphi_{2}^{\prime}$, то траектория $\left(\omega_{1} t+\varphi_{1}^{0}, \omega_{2} t+\varphi_{2}\right), 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi / \omega_{1}$ проходит через точки на $\mathbf{T}^{2}$, где $x_{6}^{2}=1$. Таких точек четыре, поэтому $f\left(\varphi_{2}\right)$ может иметь только конечное число точек разрыва. Следовательно, достаточно доказать ограниченность этой функции. Докажем, что $F\left(\varphi_{2}, t\right)$ ограничена на $S^{1} \times\left[0,2 \pi / \omega_{1}\right]$.

Рассмотрим поведение угла $\varphi$, когда точка $m(t)=\left(\omega_{1} t+\right.$ $+\varphi_{1}^{0}, \omega_{2} t+\varphi_{2}$ ) находится вблизи точек $a_{1}, \ldots, a_{4}$, где $x_{6}^{2}=1$. Так как $I_{1}
u^{2}
eq 4 I_{2}^{2}$, то якобиан
\[
\frac{\partial\left(I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}\right)}{\partial\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{6}\right)}
\]

отличен от нуля в точках $a_{1}, \ldots, a_{4} \in \mathbf{T}^{2}$. Следовательно, в малых окрестностях этих точек можно принять переменные $x_{4}$ и $x_{5}$ за локальные координаты на $\mathbf{T}^{2}$, и переменные $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ и $x_{6}$ – однозначные аналитические функции от $x_{4}$ и $x_{5}$.
Рассмотрим дифференциальные уравнения Пуассона
\[
\dot{x}_{4}=x_{3} x_{5}-x_{2} x_{6}, \quad \dot{x}_{5}=x_{1} x_{6}-x_{3} x_{4},
\]

где вместо $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ и $x_{6}$ подставлены их выражения через $x_{4}$ и $x_{5}$. Так как $I_{1}
eq 0$, то уравнения (3.2) не имеют особых точек вблизи $a_{1}, \ldots, a_{4}$.

Существуют достаточно малые окрестности $U_{i}$ точек $a_{i}$ такие, что, когда $m(t) \in U_{i}$, то колебание функции $F\left(\varphi_{2}, t\right)$ не превосходит $2 \pi$.

Действительно, когда $m$ движется по траекториям уравнений (2.2), то $F\left(\varphi_{2}, t\right)$ совпадает с углом $\varphi$, изображенным на рис. 17. Траектория $\Gamma$, проходящая через точку $x_{4}=x_{5}=0$, делит $U_{i}=U$ на две части, в каждой из которых изменение $\varphi$ непрерывно, а при переходе через $\Gamma$ функция $\varphi$ испытывает скачок на $\pi$. Но во всех случаях колебание $\varphi$ ограничено заведомо числом $2 \pi$, так как в малой

Рис. 17 окрестности $U$ траектории уравнений (3.2) почти прямые.

В дополнении к $U_{1}, \ldots, U_{4}$ функция $1-x_{6}^{2}>\varepsilon>0$, следовательно, функция $\Phi\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)$ ограничена, а вместе с ней ограничено колебание функции $F\left(\varphi_{2}, t\right)$. Объединяя сказанное, заключаем, что $F\left(\varphi_{2}, t\right)$ ограничена в $S^{1} \times\left[0,2 \pi / \omega_{1}\right]$.
За время $t=2 \pi n / \omega_{1}$ угол $\varphi$ станет равным
\[
\sum_{k=0}^{n-1} f\left(k 2 \pi \omega_{2} / \omega_{1}+\varphi_{2}\right)=\sigma_{n} .
\]

Так как $\omega_{2} / \omega_{1}$ иррационально, то по теореме Вейля о равномерном распределении [65] существует
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{\sigma_{n}}{n}=\lambda .
\]

Из ограниченности функции $F\left(\varphi_{2}, t\right)$ следует, что
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{\varphi(t)}{t}=\frac{2 \pi \lambda}{\omega_{1}}=\Lambda .
\]

По той же теореме Вейля число $\Lambda$ зависит только от $I_{1}, I_{2}$.
Идея доказательства этой теоремы восходит к исследованиям Вейля о среднем движении перигелиев планет [63].