Так как граница $\partial D=\{h+\mathscr{V}=0\}$ компактна и в некоторой ее окрестности нет критических точек функции $\mathscr{V}$, то при малых $\varepsilon>0$ область $V_{\varepsilon}=\{0 \leqslant h+\mathscr{V} \leqslant \varepsilon\} \subset D$ диффеоморфна прямому произведению $\partial D \times[0,1]$ (см., например, [47]).

Введем в $D$ локальные координаты $x, y ; x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}\right)$, так, что $x_{1}, \ldots, x_{n-1}$ – локальные координаты на многообразии $\partial D$, а множества $\left\{x, y: y=y_{0}\right\} \subset D$ являются уровнями функции $\mathscr{V}$. Будем считать, что в области $D$ координата $y \geqslant 0$, причем $y=0$ на границе $\partial D$. Заметим, что функция $\mathscr{V}(y)$ монотонно возрастает в окрестности нуля.

Рассмотрим решения уравнений движения со следующими начальными условиями: $x=x_{0}, y=\dot{x}=\dot{y}=0$. Обозначим их через
\[
x=x\left(t, x_{0}\right), \quad y=y\left(t, x_{0}\right) \quad\left(x_{0} \in \partial D\right) .
\]

Траектории этих решений являются, конечно, геодезическими метрики Якоби.

На границе нет положений равновесия, следовательно, формулы (2.1) можно представить в виде
\[
x=x_{0}+t^{2} X\left(t, x_{0}\right), \quad y=t^{2} Y\left(t, x_{0}\right),
\]

где $X, Y$ – гладкие функции на $\mathbf{R} \times \partial D$, причем $T\left(0, x_{0}\right)$ для всех $x_{0} \in \partial D$.

Обозначим $p\left(\tau, x_{0}\right)$ длину геодезической (2.1) в метрике Якоби $d p$, когда $t$ изменяется в интервале $[0, \tau]$. Так как $d p=$ $=\sqrt{h+\mathscr{V}} d s$, а $(d s / d t)^{2}=2 \mathscr{T}$, то
\[
p\left(t, x_{0}\right)=\int_{0}^{t} \sqrt{h+\mathscr{V}} \sqrt{2 \mathscr{T}} d t=\sqrt{2} \int_{0}^{t}[h+\mathscr{V}(y)] d t .
\]

Откуда
\[
\begin{array}{c}
\dot{p}=\sqrt{2}\left[h+\mathscr{V}\left(y\left(t, x_{0}\right)\right)\right], \quad \ddot{p}=\sqrt{2} \frac{\partial \mathscr{V}}{\partial y} \dot{y} \\
\dddot{p}=\sqrt{2}\left(\frac{\partial^{2 \mathscr{V}}}{\partial y^{2}} \dot{y}^{2}+\frac{\partial^{\mathscr{V}}}{\partial y} \ddot{y}\right) .
\end{array}
\]

Следовательно, при $t=0 \dot{p}=\ddot{p}=0$, а $\dddot{p}>0$. Значит, $p\left(t, x_{0}\right)=$ $=t^{3} P\left(t, x_{0}\right)$, где $P$ – гладкая функция на $\mathbf{R} \times \partial D$, причем $P\left(0, x_{0}\right)>0$ при всех $x_{0} \in \partial D$.

Рассмотрим взаимно однозначное отображение окрестности границы $\partial D \times[0,1)$ на $D$, определенное функциями $x^{\prime}=x, y^{\prime}=\sqrt{y}$. Это отображение является диффеоморфизмом вне $\partial D$. В новых переменных
\[
y^{\prime}=t Y^{\prime}\left(t, x_{0}\right),
\]

где $Y^{\prime}=\sqrt{Y\left(t, x_{0}\right)}$ – гладкая функция. Так как $Y^{\prime}\left(0, x_{0}\right)>0$, то при малых значениях $t$ равенство (2.2) можно разрешить относительно $t$. В результате получим функцию $t=t\left(y^{\prime}, x_{0}\right)$, гладкую на прямом произведении $[q, \varepsilon) \times \partial D$. Следовательно, функция $p\left(t, x_{0}\right)=p\left(y^{\prime}, x_{0}\right)$ тоже гладкая. Ее можно представить в виде
\[
p=y^{\prime 3} P^{\prime}\left(y^{\prime}, x_{0}\right), \quad P^{\prime}\left(0, x_{0}\right)>0 .
\]

Обозначим через $\sum_{p}$ множество точек из $D$, расстояние от которых до границы $\partial D$ вдоль геодезических (2.1) равно $p$. Очевидно, что $\sum_{0}=\partial D$.

Лемма 3. При малых $p \geqslant 0$ множество $\sum_{p}$ – гладкал гиперповерхисть в $D$, диффеоморфная $\partial D$.

ДоКаЗаТЕЛЬСТво.
Из формулы (2.3) следует, что множества $\sum_{p}$ суть уровни гладкой функции $f=\sqrt[3]{p}$, не имеющей критических точек при малых значениях переменной $y^{\prime}$. Следовательно, $\sum_{p}-$ гладкое многообразие, когда $0 \leqslant p \leqslant p_{0}, p_{0}$ мало. Так как уровень $\{f=0\}$ совпадает с $\partial D$, то по теореме Mорса [45] $\sum_{p}$ диффеоморфно $\partial D$.

Лемма 4. Существует $p_{0}>0$ такое, что при $0 \leqslant p_{1}<$ $<p_{2} \leqslant p_{0}$ гиперповерности $\sum_{p_{1}} u \sum_{p_{2}}$ не пересекаются.

Действительно, в этом случае $\sum_{p_{1}}$ и $\sum_{p_{2}}$ являются различными уровнями гладкой функции $f=\sqrt[3]{p}$ и поэтому не имеют общих точек.

Лемма 5. Существует $p_{0}>0$ такое, что для всех точек $a \in \sum_{p}, 0 \leqslant p \leqslant p_{0}$, расстояние $\partial(a)=p$.
ДоКазательСтво.
Расстояние $\partial(a)$, очевидно, не превосходит $p$. Предположим, что для некоторых $a \in \sum_{p}, p \in\left[0, p_{0}\right]$, выполнено неравенство $\partial<p$. По теореме 1 сушествует геодезическая метрики Якоби с концами в точках $a$ и $b \in \partial D$ такая, что ее длина равна в точности $\partial(a)=p^{\prime}$. Рассмотрим геодезическую $\gamma$, исходящую из точки $b$, лежащей на границе. Тогда, очевидно, точка $a$, отстоящая от границы $\partial D$ на расстоянии $p^{\prime}$ вдоль $\gamma$, будет по определению принадлежать $\sum_{p^{\prime}}$. Так как $p^{\prime}<p \leqslant p_{0}$, то согласно лемме 4 множества $\sum_{p^{\prime}}$ и $\sum_{p}$ не пересекаются. Полученное противоречие доказывает справедливость леммы.

Теорема 2 («лемма Гаусса»). Суцествует $p_{0}>0$ такое, что для всех $p \in\left(0, p_{0}\right]$ геодезические, исходящие из точек границы углом.

Замечание. Геодезические, выходящие из $\partial D$, ортогональны $\sum_{p}$ как в метрике $\partial p$, так и в метрике $d s$, ибо эти метрики конформно эквивалентны.

ДоКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2.
Предположим противное, т.е. что некоторая геодезическая $\gamma$ с концом в точке $x_{0} \in \partial D$ не ортогональна $\sum_{p}$ (рис. 16).

Пусть $a$ – точка на $\gamma$, достаточно близкая к $\sum_{p}$. Рассмотрим геодезическую $\gamma^{\prime}$, проходящую через точку $a$ и ортогональную $\sum_{p}$ (такая геодезическая всегда Рис. 16 существует $[49,50]$ ). Дуга $a c \subset \gamma^{\prime}$ короче дуги $a b \subset \gamma$ (см. [49,

гл. VIII]). Но тогда кусочно-гладкая кривая, состоящая из дуги $x_{0} a \subset \gamma$ и дуги $a c \subset \gamma^{\prime}$ имеет длину меньше $p$. Это противоречит, однако, заключению леммы 5.

Замечание. Можно показать, что при малых $p>0$ «полоса» $\sigma_{p}$, заключенная между $\sum_{0}=\partial D$ и $\sum_{p}$, локально выпукла, т.е. геодезическая, соединяющая две достаточно близкие точки из $\sigma_{p}$, целиком лежит в $\sigma_{p}$. Это утверждение аналогично теореме Уайтхеда о выпуклых окрестностях в римановой геометрии [51]. Мы здесь не доказываем этот факт, так как в дальнейшем он не используется.