Лемма 6. Не существует решения уравнений движения, траектория которого пересекает границу $\partial D$ более чем в двух различных точках.
ДоказательСтво.
Предположим, что существует решение, траектория которого пересекает $\partial D$ последовательно в трех точках $a, b, c$. Тогда точка $m$, двигаясь из точки $a$, через некоторое время попадет в точку $b$. Дойдя до $b$, точка $m$ согласно следствию из леммы 1 будет двигаться по той же траектории в противоположную сторону и через конечное время попадет снова в точку $a$. По следствию из леммы 1 точка $m$ затем будет двигаться по той же траектории от $a$ к $b$ и так далее. Следовательно, точка $m$ никогда не попадет в $c$. Полученное противоречие доказывает лемму 6 .

Предложение 1. Если траектория некоторого решения уравнений движения имеет с $\partial D$ две общие точки, то других общих точен нет, и решение является периодическим.
ДоказатЕЛЬСТво.
Пусть $\gamma$ – траектория этого решения. Согласно лемме 6 кривая $\gamma$ имеет с $\partial D$ только две общие точки. При этом точка $m$ совершает периодические колебания между концами $\gamma$ (по следствию из леммы 1).

Периодические решения, о которых идет речь в предложении 1 , по аналогии с системами с одной степенью свободы, назовем либрациями. Вращениями естественно назвать периодические решения, траектории которых не имеют общих точек с границей области возможных движений. Легко сообразить, что в натуральных механических системах периодических решений другого типа нет.

Если $h>\max _{m}(-\mathscr{V})$, то $D$ совпадает со всем конфигурационным пространством, и задача о существовании периодических решений уравнений движения сводится к нахождению замкнутых геодезических линий гладкого риманова многообразия ( $M, d p$ ). Каждой замкнутой геодезической отвечают два различных периодических решения исходной задачи (движения по этой кривой в противоположных направлениях). Они являются, конечно, вращениями. Существуют оценки числа замкнутых геодезических, зависящие отчасти от топологического строения $M$, отчасти от римановой метрики $d p[52]$. Наилучшей универсальной нижней оценкой является пока 2 [53]. Таким образом, на ( $2 n-1$ )-мерных уровнях интеграла энергии с постоянной $h>\max (-\mathscr{V})$ существуют, по крайней мере, четыре различных периодических решения.

Теорема 3. Предположим, что граница дD несвязна. Тогда для каждого разбиения границы на два непересекающихся гладких многообразия $E_{1}$ и $E_{2}\left(\partial D=E_{1} \cup E_{2}, E_{1} \cap E_{2}=\varnothing\right)$ существует либрационное периодическое движение с несамопересекающейся траекторией, концы которой лежат на $E_{1}$ $u E_{2}$.

Следствие 4. Если граница области возможных движений имеет $k$ связных компонент, то количество различных либраций, по крайней мере, $k-1$.

Следствие 5. Iредположим, что граница дD несвязна. Тогда для любой связной компоненты $E$ многообразия $\partial D$ существует аибрационное периодическое решение с несамопересекающейся траекторией и с концами на $E$ и $\partial D \backslash E$.
ДОКАЗаТЕЛЬСТВ0 ТЕОРЕМЫ 3.
Обозначим через $\sum_{\varepsilon}$ множество точек из области $D$, отстоящих от границы на расстоянии $\varepsilon>0$ в метрике Якоби.

Согласно леммам 3 и 5 при малом фиксированном значении $\varepsilon$ множество $\sum=\sum_{\varepsilon}$ – гладкое многообразие, диффеоморфное $\partial D$. Пусть $P$ и $Q$ – гладкие непересекающиеся многообразия, составляющие $\sum$, причем $P(Q)$ близко к $E_{2}\left(E_{2}\right)$.

Многообразие $\sum$ ограничивает некоторое гладкое многообразие с краем $N \subset D$. Покажем, что в $N$ существует несамопересекаюаяся геодезическая $\gamma$ с концами на $P$ и $Q$, ортогональная $\partial N=\sum$ в своих концах.

Будем считать, что $D$ – подмногообразие гладкого многообразия $M^{\prime}$ той же размерности, полученного «склеиванием» двух многообразий $D$ и $\partial D \times[0, \infty)$ по диффеоморфным краям (подробности см. в $[47,54]$ ). Метрика $d p$ определена в $N \subset D \subset M^{\prime}$ и в некоторой окрестности множества $N$ в $D$. Пусть $d p^{\prime}$ – гладкая метрика на $m^{\prime}$ такая, что $d p^{\prime}$ совпадает с $d p$ на $N$, и риманово пространство ( $M^{\prime}, d p^{\prime}$ ) полно (т.е. каждый отрезок геодезической $\gamma_{0}:[a, b] \rightarrow M^{\prime}$ продолжается до бесконечной геодезической $\gamma: \mathbf{R} \rightarrow M^{\prime}$ ). Такую метрику легко построить, используя утверждение о гладком продолжении тензорных полей [51]. Ясно, что геодезические в новой метрике $d p^{\prime}$ совпадают на $N$ с геодезическими линиями в метрике $d p$.

Пусть $p \in P$ и $q \in Q$. Расстоянием $\rho(p, q)$ между точками $p$ и $q$ назовем точную нижнюю грань длин кусочно-гладких кривых с началом в $p$ и концом в $q$. Расстоянием $\rho(P, Q)$ между $P$ и $Q$ назовем точную нижнюю грань расстояний между любыми точками из $P$ и $Q$. Так как $\rho(p, q)$ непрерывна на $P \times Q$ и множества $P$ и $Q$ компактны, то на $P$ и $Q$ существуют точки $p_{0}$ и $q_{0}$, расстояние между которыми равно $\rho(P, Q)$.

Риманово пространство ( $M^{\prime}, d p^{\prime}$ ) полно, следовательно, по теореме Хопфа-Ринова точки $p_{0}$ и $q_{0}$ можно соединить геодезической длины $\rho\left(p_{0}, q_{0}\right)=\rho(P, Q)$. Эта кривая не имеет самопересечений и целиком лежит в области $N$. Действительно, если это не так, то существует часть $\gamma$, соединяющая некоторые точки из $P$ и $Q$ и длина которой меньше $\rho(P, Q)$. Геодезическая $\gamma$ ортогональна $\sum=P \cup Q$ в своих концах. В противном случае можно указать кусочно-гладкую кривую, соединяющую $P$ и $Q$, длина которой меньше $\rho(P, Q)$ (ср. с доказательством теоремы 2).

По теоремам 1 и 2 существуют геодезические линии $\gamma^{\prime}$ и $\gamma^{\prime \prime}$, выходящие из некоторых точек края $\partial D$ и пересекающие ортогонально гиперповерхность $\sum$ соответственно в точках $p_{0}$ и $q_{0}$. Положим $\Gamma=\gamma^{\prime} \cup \gamma \cup \gamma^{\prime \prime}$. Эта кривая, очевидно, является геодезической линией метрики $d p$. Она не имеет самопересечений, и ее концы лежат на $E_{1}$ и $E_{2}$. Следовательно, $\Gamma$ есть траектория некоторого либрационного периодического движения.