Лемма 6. Не существует решения уравнений движения, траектория которого пересекает границу $\partial D$ более чем в двух различных точках.
ДоказательСтво.
Предположим, что существует решение, траектория которого пересекает $\partial D$ последовательно в трех точках $a,b,c$. Тогда точка $m$, двигаясь из точки $a$, через некоторое время попадет в точку $b$. Дойдя до $b$, точка $m$ согласно следствию из леммы 1 будет двигаться по той же траектории в противоположную сторону и через конечное время попадет снова в точку $a$. По следствию из леммы 1 точка $m$ затем будет двигаться по той же траектории от $a$ к $b$ и так далее. Следовательно, точка $m$ никогда не попадет в $c$. Полученное противоречие доказывает лемму 6 .

Предложение 1. Если траектория некоторого решения уравнений движения имеет с $\partial D$ две общие точки, то других общих точен нет, и решение является периодическим.
ДоказатЕЛЬСТво.
Пусть $\gamma$ — траектория этого решения. Согласно лемме 6 кривая $\gamma$ имеет с $\partial D$ только две общие точки. При этом точка $m$ совершает периодические колебания между концами $\gamma$ (по следствию из леммы 1).

Периодические решения, о которых идет речь в предложении 1 , по аналогии с системами с одной степенью свободы, назовем либрациями. Вращениями естественно назвать периодические решения, траектории которых не имеют общих точек с границей области возможных движений. Легко сообразить, что в натуральных механических системах периодических решений другого типа нет.

Если $h>\underset{m}{max}(-\mathcal{V})$, то $D$ совпадает со всем конфигурационным пространством, и задача о существовании периодических решений уравнений движения сводится к нахождению замкнутых геодезических линий гладкого риманова многообразия ( $M,dp$ ). Каждой замкнутой геодезической отвечают два различных периодических решения исходной задачи (движения по этой кривой в противоположных направлениях). Они являются, конечно, вращениями. Существуют оценки числа замкнутых геодезических, зависящие отчасти от топологического строения $M$, отчасти от римановой метрики $dp[52]$. Наилучшей универсальной нижней оценкой является пока 2 [53]. Таким образом, на ( $2n-1$ )-мерных уровнях интеграла энергии с постоянной $h>max(-\mathcal{V})$ существуют, по крайней мере, четыре различных периодических решения.

Теорема 3. Предположим, что граница дD несвязна. Тогда для каждого разбиения границы на два непересекающихся гладких многообразия $E_1$ и $E_2(\partial D=E_1\cup E_2,E_1\cap E_2=\varnothing )$ существует либрационное периодическое движение с несамопересекающейся траекторией, концы которой лежат на $E_1$ $u{E}_2$.

Следствие 4. Если граница области возможных движений имеет $k$ связных компонент, то количество различных либраций, по крайней мере, $k-1$.

Следствие 5. Iредположим, что граница дD несвязна. Тогда для любой связной компоненты $E$ многообразия $\partial D$ существует аибрационное периодическое решение с несамопересекающейся траекторией и с концами на $E$ и $\partial D\mathrm{\setminus }E$.
ДОКАЗаТЕЛЬСТВ0 ТЕОРЕМЫ 3.
Обозначим через $\sum _{\epsilon }$ множество точек из области $D$, отстоящих от границы на расстоянии $\epsilon >0$ в метрике Якоби.

Согласно леммам 3 и 5 при малом фиксированном значении $\epsilon$ множество $\sum =\sum _{\epsilon }$ — гладкое многообразие, диффеоморфное $\partial D$. Пусть $P$ и $Q$ — гладкие непересекающиеся многообразия, составляющие $\sum$, причем $P(Q)$ близко к $E_2\left(E_2\right)$.

Многообразие $\sum$ ограничивает некоторое гладкое многообразие с краем $N\subset D$. Покажем, что в $N$ существует несамопересекаюаяся геодезическая $\gamma$ с концами на $P$ и $Q$, ортогональная $\partial N=\sum$ в своих концах.

Будем считать, что $D$ — подмногообразие гладкого многообразия $M^{\prime }$ той же размерности, полученного «склеиванием» двух многообразий $D$ и $\partial D\times [0,\mathrm{\infty })$ по диффеоморфным краям (подробности см. в $[47,54]$ ). Метрика $dp$ определена в $N\subset D\subset M^{\prime }$ и в некоторой окрестности множества $N$ в $D$. Пусть $d{p}^{\prime }$ — гладкая метрика на $m^{\prime }$ такая, что $d{p}^{\prime }$ совпадает с $dp$ на $N$, и риманово пространство ( $M^{\prime },d{p}^{\prime }$ ) полно (т.е. каждый отрезок геодезической ${\gamma }_0:[a,b]\to M^{\prime }$ продолжается до бесконечной геодезической $\gamma :\mathbf{R}\to M^{\prime }$ ). Такую метрику легко построить, используя утверждение о гладком продолжении тензорных полей [51]. Ясно, что геодезические в новой метрике $d{p}^{\prime }$ совпадают на $N$ с геодезическими линиями в метрике $dp$.

Пусть $p\in P$ и $q\in Q$. Расстоянием $\rho (p,q)$ между точками $p$ и $q$ назовем точную нижнюю грань длин кусочно-гладких кривых с началом в $p$ и концом в $q$. Расстоянием $\rho (P,Q)$ между $P$ и $Q$ назовем точную нижнюю грань расстояний между любыми точками из $P$ и $Q$. Так как $\rho (p,q)$ непрерывна на $P\times Q$ и множества $P$ и $Q$ компактны, то на $P$ и $Q$ существуют точки $p_0$ и $q_0$, расстояние между которыми равно $\rho (P,Q)$.

Риманово пространство ( $M^{\prime },d{p}^{\prime }$ ) полно, следовательно, по теореме Хопфа-Ринова точки $p_0$ и $q_0$ можно соединить геодезической длины $\rho (p_0,q_0)=\rho (P,Q)$. Эта кривая не имеет самопересечений и целиком лежит в области $N$. Действительно, если это не так, то существует часть $\gamma$, соединяющая некоторые точки из $P$ и $Q$ и длина которой меньше $\rho (P,Q)$. Геодезическая $\gamma$ ортогональна $\sum =P\cup Q$ в своих концах. В противном случае можно указать кусочно-гладкую кривую, соединяющую $P$ и $Q$, длина которой меньше $\rho (P,Q)$ (ср. с доказательством теоремы 2).

По теоремам 1 и 2 существуют геодезические линии ${\gamma }^{\prime }$ и ${\gamma }^{\prime \prime }$, выходящие из некоторых точек края $\partial D$ и пересекающие ортогонально гиперповерхность $\sum$ соответственно в точках $p_0$ и $q_0$. Положим $\mathrm{\Gamma }={\gamma }^{\prime }\cup \gamma \cup {\gamma }^{\prime \prime }$. Эта кривая, очевидно, является геодезической линией метрики $dp$. Она не имеет самопересечений, и ее концы лежат на $E_1$ и $E_2$. Следовательно, $\mathrm{\Gamma }$ есть траектория некоторого либрационного периодического движения.