Качественное исследование движения волчка Горячева-Чаплыгина начато Л. Н. Сретенским в работе [67]. В ней подробно изучается случай, когда тело приведено в быстрое вращение относительно горизонтально расположенной главной оси эллипсоида инерции, на которой лежит центр тяжести. Нетрудно показать, что в этом случае справедливо неравенство $I_{1}
u^{2} \geqslant 4 I_{2}^{2}$, т.е. ось динамической симметрии может занимать вертикальные положения. Л. Н. Сретенский вводит в уравнения движения малый параметр, соответствующий быстрым вращениям тела, и в первом приближении по этому параметру получает формулы:
\[
\begin{array}{c}
\cos \vartheta=-\cos \varphi_{1} \cos \varphi_{2}, \quad \operatorname{tg} \varphi=\sin \varphi_{1} \operatorname{ctg} \varphi_{2} \\
\dot{\psi}=\frac{\cos \varphi_{1} \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2}}{1-\cos ^{2} \varphi_{1} \cos ^{2} \varphi_{2}} ; \quad \dot{\varphi}_{1}=-\frac{3
u}{4 \omega_{0}} \ll 1, \quad \dot{\varphi}_{2}=\omega_{0} \gg 1 .
\end{array}
\]
$\left(\omega_{0}\left(\omega_{0} \gg 1\right)\right.$ – начальная угловая скорость тела). Отсюда вытекает, например, что нутация твердого тела имеет характер «биений».

Однако из формул для $\varphi$ и $\psi$ не удалось сделать качественных выводов о характере собственного вращения и прецессии тела при изменении времени от $-\infty$ до $\infty$. Ірепятствием оказалось то обстоятельтво, что в общем случае,

когда отношение частот иррационально, ось симметрии подходит сколь угодно близко к вертикали, и в эти моменты функиии $\varphi(t)$ и $\psi(t)$ изменяются скачкообразно. С аналогичной трудностью встретились в свое время в небесной механике при решении задачи Лагранжа о среднем движении перигелиев планет $[17,63]$. Идея исследования особенностей собственного вращения и движения линии узлов, проведенного в этой главе, восходит к П. Болю [68] и Г. Вейлю [63], вычисливиим главное движение в задаче Лагранжа.

Исследования Л.Н.Сретенского были продолжены Ю.А.Архангельским [69], рассмотревиим быстрое вращение тела в случае, когда $I_{1}
u^{2}<4 I_{2}^{2}$. Из результатов Ю. А. Архангельского вытекает, в частности, что в первом приближении линия узлов совершает ограниченные колебания. Этот факт согласуется с заключением теоремы 4.

Работа А. И. Докшевича [70] посвящена анализу изменения специальных переменных, введенных Чаплыгиным для интегрирования уравнений движения. В ней же исследована бифуркация корней «характеристического» многочлена $\Phi(z)$.

Отметим, что не только в задаче Горячева-Чаплыгина уравнения движения можно свести к системе
\[
\frac{d s_{1}}{d t}=\frac{\sqrt{\Phi\left(s_{1}\right)}}{s_{1} \pm s_{2}}, \quad \frac{d s_{2}}{d t}=\frac{\sqrt{\Phi\left(s_{2}\right)}}{s_{1} \pm s_{2}} .
\]

Такое сведение можно сделать, например, в задаче С. В. Ковалевской, в задаче двух центров, в системах Лиувилля (гл. IX). Приведение системы дифференциальных, уравнений (1) к виду $\dot{\varphi}_{1}=\omega_{1}, \dot{\varphi}_{2}=\omega_{2}, \omega_{2}=$ const, выполненное в $\S 1$, фактически является эффективным способом введения переменных «угол».

Укажем еще на работу Г. В. Горра [72], в которой дана качественная картина вращения тела в некоторых вырожденных случаях, когда первые интегралы зависимы.