Качественное исследование движения волчка Горячева-Чаплыгина начато Л. Н. Сретенским в работе [67]. В ней подробно изучается случай, когда тело приведено в быстрое вращение относительно горизонтально расположенной главной оси эллипсоида инерции, на которой лежит центр тяжести. Нетрудно показать, что в этом случае справедливо неравенство $I_1{u}^2⩾4I_2^2$, т.е. ось динамической симметрии может занимать вертикальные положения. Л. Н. Сретенский вводит в уравнения движения малый параметр, соответствующий быстрым вращениям тела, и в первом приближении по этому параметру получает формулы:
$$\begin{array}{c}\cos \vartheta =-\cos {\phi }_1\cos {\phi }_2,\mathrm{tg}\phi =\sin {\phi }_1\mathrm{ctg}{\phi }_2\\ \dot{\psi }=\frac{\cos {\phi }_1\sin {\phi }_1\cos {\phi }_2}{1-{\cos }^2{\phi }_1{\cos }^2{\phi }_2};{\dot{\phi }}_1=-\frac{3u}{4{\omega }_0}\ll 1,{\dot{\phi }}_2={\omega }_0\gg 1.\end{array}$$
$({\omega }_0({\omega }_0\gg 1)$ — начальная угловая скорость тела). Отсюда вытекает, например, что нутация твердого тела имеет характер «биений».

Однако из формул для $\phi$ и $\psi$ не удалось сделать качественных выводов о характере собственного вращения и прецессии тела при изменении времени от $-\mathrm{\infty }$ до $\mathrm{\infty }$. Ірепятствием оказалось то обстоятельтво, что в общем случае,

когда отношение частот иррационально, ось симметрии подходит сколь угодно близко к вертикали, и в эти моменты функиии $\phi (t)$ и $\psi (t)$ изменяются скачкообразно. С аналогичной трудностью встретились в свое время в небесной механике при решении задачи Лагранжа о среднем движении перигелиев планет $[17,63]$. Идея исследования особенностей собственного вращения и движения линии узлов, проведенного в этой главе, восходит к П. Болю [68] и Г. Вейлю [63], вычисливиим главное движение в задаче Лагранжа.

Исследования Л.Н.Сретенского были продолжены Ю.А.Архангельским [69], рассмотревиим быстрое вращение тела в случае, когда $I_1{u}^2<4I_2^2$. Из результатов Ю. А. Архангельского вытекает, в частности, что в первом приближении линия узлов совершает ограниченные колебания. Этот факт согласуется с заключением теоремы 4.

Работа А. И. Докшевича [70] посвящена анализу изменения специальных переменных, введенных Чаплыгиным для интегрирования уравнений движения. В ней же исследована бифуркация корней «характеристического» многочлена $\mathrm{\Phi }(z)$.

Отметим, что не только в задаче Горячева-Чаплыгина уравнения движения можно свести к системе
$$\frac{d{s}_1}{dt}=\frac{\sqrt{\mathrm{\Phi }\left(s_1\right)}}{s_1\pm s_2},\frac{d{s}_2}{dt}=\frac{\sqrt{\mathrm{\Phi }\left(s_2\right)}}{s_1\pm s_2}.$$

Такое сведение можно сделать, например, в задаче С. В. Ковалевской, в задаче двух центров, в системах Лиувилля (гл. IX). Приведение системы дифференциальных, уравнений (1) к виду ${\dot{\phi }}_1={\omega }_1,{\dot{\phi }}_2={\omega }_2,{\omega }_2=$ const, выполненное в $\mathrm{\S }1$, фактически является эффективным способом введения переменных «угол».

Укажем еще на работу Г. В. Горра [72], в которой дана качественная картина вращения тела в некоторых вырожденных случаях, когда первые интегралы зависимы.