В специальных канонических переменных функция Гамильтона невозмущенной интегрируемой задачи Эйлера-Пуансо записывается следующим образом (см. §1 гл. II):
$${\mathcal{H}}_0=\frac{1}{2}(a{\sin }^{2}l+b{\cos }^{2}l)(G^2-L^2)+\frac{c}{2}{L}^2,$$

где $a,b,c$ — величины, обратные главным моментам инерции твердого тела. Далее всюду рассматриваем несимметричное тело и без ущерба общности считаем, что $a<b<c$. При каждом значении интеграла энергии ${\mathcal{H}}_0$ уравнения задачи Эйлера-Пуансо имеют два изолированных периодических решения гиперболического типа — постоянные вращения тела вокруг средней оси инерции в противоположных направлениях. Записанные в специальных канонических переменных, они таковы:
$$\begin{array}{c}{\mathrm{\Gamma }}_i:l=\pi (i-1),g=G_{0}bt,L=0,\\ G=G_0,({\mathcal{H}}_0=b{G}_0^2/2),i=1,2.\end{array}$$

Через траектории решений (5.1) проходят две двумерные инвариантные асимптотические поверхности с уравнениями
$$L=\pm \frac{G_0\sqrt{b-a}\sin l}{\sqrt{c-a{\sin }^{2}l-b{\cos }^{2}l}},G=G_0.$$

Эти поверхности называются сепаратрисами. Они сплошь заполнены траекториями, неограниченно приближающимися при $t\to \pm \mathrm{\infty }$ к траекториям периодических решений ${\mathrm{\Gamma }}_1$ и ${\mathrm{\Gamma }}_2$.

Если неустойчивые периодические решения невозмущенной задачи не вырождены, то они не исчезнут при добавлении возмущения ( $[1$, гл. III]), и через их траектории снова пройдут пары сепаратрис ( $[1$, гл. VII]). однако возмущенные сепаратрисы не обязательно совпадут. Это явление, обнаруженное впервые Пуанкаре $[13,\mathrm{\S }19]$, называется расщеплением сепаратрис. Оно коренным образом рознит поведение траекторий невозмущенной и полной систем. Из существования расщепленных сепаратрис вытекает, например, расходимость рядов многочисленных вариантов теории возмущений. Таким образом, расщепление сепаратрис также является динамическим эффектом, препятствующим интегрируемости уравнений динамики.

Невырожденность периодических решений (5.1) задачи Эйлера-Пуансо, установленная в $\mathrm{\S }1$, позволяет рассмотреть задачу о расщеплении сепаратрис (5.2) при малых значениях параметра $\mu$.

Будем считать постоянные вращения (5.1) невертикальными. В противном случае эти вращения вырождаются в положения равновесия приведенной системы, и задача о сепаратрисах теряет смысл.

Рассмотрим поведение асимптотических поверхностей (5.2) при малых $\mu$ в случае, когда центр тяжести тела лежит на средней оси инерции. При этом согласно формуле (5.1) гл. II возмущающая функция ${\mathcal{H}}_1$ представима следующим образом:
$${\mathcal{H}}_1=\frac{H}{G}\sqrt{1-\frac{L^2}{G^2}}\cos l+\sqrt{1-\frac{H^2}{G^2}}(\frac{L}{G}\cos l\cos g-\sin l\sin g).$$

Теорема 6. Если центр тяжести тела находится на средней оси инерции, то асимптотические поверхности (5.2) расщепляются при малых значениях параметра $\mu eq0$.

ДоКазатЕЛЬСтво.
Для определенности рассмотрим случай, когда в первом уравнении системы (5.2) стоит знак плюс. В другом случае доказательство аналогично.

Уравнения асимптотической поверхности, проходящей через траекторию возмущенного периодического решения ${\mathrm{\Gamma }}_1$, можно представить в виде
$$L=\frac{\partial S}{\partial l},G=\frac{\partial S}{\partial g},S=S_0+\mu S_1+\dots ,$$

где $S$ — функция от $l$ и $g$, удовлетворяющая уравнению
$${\mathcal{H}}_0(l,\frac{\partial S}{\partial l},\frac{\partial S}{\partial g})+\mu {\mathcal{H}}_1(l,g,\frac{\partial S}{\partial l},\frac{\partial S}{\partial g})={\mathcal{H}}_0(=b{G}_0^2/2)$$
(см. $[1$, гл. VII $]$ ). Когда $\mu =0$
$$S=S_0=G_{0}g+{\int }_0^l\frac{\sqrt{b-a}{G}_0\sin x}{\sqrt{c-a{\sin }^{2}x-b{\cos }^{2}x}}dx.$$

Что касается функции $S_1$, то она должна удовлетворять уравнению
$$\begin{array}{c}(a{\sin }^{2}l+b{\cos }^{2}l)(G_0\frac{\partial S_1}{\partial g}-L\frac{\partial S_1}{\partial l})+\\ +cL\frac{\partial S_1}{\partial l}+\frac{H}{G_0}\sqrt{1-\frac{L^2}{G_0^2}}\cos l+\\ +\sqrt{1-\frac{H^2}{G_0^2}}(\frac{L}{G_0}\cos l\cos g-\sin l\sin g)=0.\end{array}$$

Здесь $L$, согласно формуле (5.2), — функция от $l$. Функцию $S_1$ будем искать в виде
$$S_1=X(l)\sin g+Y(l)\cos g+Z(l)+sg,s=\text{ const. }$$

Коэффициенты $X,Y$ и $Z$ удовлетворяют следующей системе уравнений:
$$\begin{array}{c}(c-a{\sin }^{2}l-b{\cos }^{2}l)L\frac{dX}{dl}-G_0(a{\sin }^{2}l+b{\cos }^{2}l)Y=\\ =\sqrt{1-\frac{H^2}{G_0^2}}\sin l\\ (c-a{\sin }^{2}l-b{\cos }^{2}l)L\frac{dY}{dl}+\\ +G_0(a{\sin }^{2}l+b{\cos }^{2}l)X=-\sqrt{1-\frac{H^2}{G_0^2}}\frac{L}{G_0}\cos l,\\ (c-a{\sin }^{2}l-b{\cos }^{2}l)L\frac{dZ}{dl}=\\ =-\frac{H}{G_0}\sqrt{1-\frac{L^2}{G_0^2}}\cos l-G_{0}s(a{\sin }^{2}l+b{\cos }^{2}l).\end{array}$$

Для того, чтобы производная $dZ/dl$ не имела особенности при $l=0$, следует положить $s=-H/G_0^{2}b$. Два первых уравнения этой системы удобно записать в форме
$$\begin{array}{c}\frac{dX}{dl}-f(l)Y={\phi }_1,\frac{dY}{dl}+f(l)X={\phi }_2,\\ f(l)=\frac{a{\sin }^{2}l+b{\cos }^{2}l}{\sqrt{b-a}\sin l\sqrt{c-a{\sin }^{2}l-b{\cos }^{2}l}},\\ {\phi }_1=\sqrt{1-\frac{H^2}{G_0^2}}\frac{\sin l}{L(c-a{\sin }^{2}l-b{\cos }^{2}l)},\\ {\phi }_2=-\sqrt{1-\frac{H^2}{G_0^2}}\frac{\cos l}{G_0(c-a{\sin }^{2}l-b{\cos }^{2}l)}.\end{array}$$

Введем комплекснозначные функции $\psi =X+iY$ и $\phi ={\phi }_1+$ $+i{\phi }_2$. Уравнения (5.3) предстанут в следующем виде:
$$\frac{d\psi }{dl}+if(l)\psi =\phi (l)$$

Так как это уравнение линейно по $\psi$, его общее решение есть
$$\psi =e^{-i\vartheta (l)}{\int }_{\alpha }^l{e}^{i\vartheta (x)}\phi (x)dx,\vartheta =\int f(x)dx.$$

Здесь $\alpha$ — произвольная постоянная. Интеграл $\int f(x)dx$ можно вычислить. Он равен
$$\begin{array}{c}\vartheta (x)=\arcsin \sqrt{\frac{b-a}{c-a}}\cos x+\\ +\frac{b}{\sqrt{(b-a)(c-b)}}\ln \frac{\sqrt{c-a}\sin x}{\sqrt{c-a{\sin }^{2}x-b{\cos }^{2}x}+\sqrt{c-b}\cos x}.\end{array}$$

Поскольку функция $\psi (l)$ должна быть аналитична при $l=0$, а $\exp -i\vartheta (l)$ имеет особенность в этой точке, в формуле (5.4) постоянную $\alpha$ надо положить равной нулю.

Аналогично можно записать уравнения для асимптотической поверхности, проходящей через траекторию возмущенного периодического решения ${\mathrm{\Gamma }}_2$ :
$$\begin{array}{rl}L& =\frac{\partial S^{\prime }}{\partial l},G=\frac{\partial S^{\prime }}{\partial g},S^{\prime }=S_0^{\prime }+\mu S_1^{\prime }+\dots ,\\ S_0^{\prime }& =G_{0}g+{\int }_{\pi }^l\frac{\sqrt{b-a}{G}_0\sin x}{\sqrt{c-a{\sin }^{2}x-b{\cos }^{2}x}}dx,\\ S_1^{\prime }& =X^{\prime }(l)\sin g+Y^{\prime }(l)\cos g+Z^{\prime }(l)+s^{\prime }g,\\ {\psi }^{\prime }& =X^{\prime }+i{Y}^{\prime }=e^{-i\vartheta (l)}{\int }_{\pi }^l{e}^{i\vartheta (x)}\phi (x)dx.\end{array}$$

Предположим, что эти сепаратрисы совпадают. Тогда, очевидно, $\psi ={\psi }^{\prime }$ и, следовательно, интеграл
$$I={\int }_0^{\pi }{e}^{i\vartheta (x)}\phi (x)dx$$

должен равняться нулю. Учитывая равенство
$$\begin{array}{c}\exp i\arcsin \sqrt{\frac{b-a}{c-a}}\cos x=\\ =\frac{1}{\sqrt{c-a}}(\sqrt{c-a{\sin }^{2}x-b{\cos }^{2}x}+i\sqrt{b-a}\cos x),\end{array}$$

запишем этот интеграл в явном виде:
$$\begin{array}{c}I=\frac{1}{G_0^2}\sqrt{1-\frac{H^2}{G_0^2}}\sqrt{\frac{c-a}{b-a}}\times \\ \times {\int }_0^{\pi }{\left(\frac{\sqrt{c-a}\sin x}{\sqrt{c-a{\sin }^{2}x-b{\cos }^{2}x}+\sqrt{c-b}\cos x}\right)}^{i\beta }\times \\ \times \frac{dx}{c-a{\sin }^{2}x-b{\cos }^{2}x}\end{array}$$

где $\beta =\frac{b}{\sqrt{(b-a)(c-b)}}$. Выполним замену переменной по формуле
$$x=\mathrm{arcctg}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{c-a}{c-b}}\frac{1-t^2}{t},0<t<\mathrm{\infty }.$$

Тогда
$$I=\frac{2\sqrt{1-\frac{H^2}{G_0^2}}}{G_0\sqrt{(c-b)(b-a)}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{t^{i\beta }}{1+t^2}dt.$$

Интеграл в этой формуле легко вычисляется с помощью вычетов. Действительно, после замены переменной по формуле $t=e^x$ этот интеграл запишется следующим образом:
$$J={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{t^{i\beta }}{1+t^2}dt={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{i\beta x}}{e^x+e^{-x}}dx.$$

Рассмотрим на комплексной плоскости полосу $0⩽\mathrm{Im}z⩽\pi$. В этой полосе мероморфная функция
$$f(z)=\frac{e^{i\beta z}}{e^z+e^{-z}}$$

имеет простой полюс в точке $z=i\pi /2$ с вычетом
$$\underset{\begin{array}{c}z=\frac{\pi }{2}i\end{array}}{\mathrm{res}}f(z)={2\pi i\frac{e^{i\beta z}}{\frac{d}{dz}(e^z+e^{-z})}|}_{z=\frac{\pi }{2}i}=\pi e^{-\pi \beta /2}.$$

Рассмотрим замкнутый прямоугольный контур $\mathrm{\Gamma }$ (рис. 12). Очевидно, что
$$\underset{\lambda \to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{\lambda }^{\lambda +i\pi }f(z)dz=\underset{\lambda \to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-\lambda +i\pi }^{-\lambda }f(z)dz=0.$$

Так как
$$f(z+i\pi )=-e^{-\pi \beta }f(z),$$

то

Рис. 12
$${\int }_{\lambda +i\pi }^{-\lambda +i\pi }f(z)dz=e^{-\pi \beta }{\int }_{-\lambda }^{\lambda }f(z)dz.$$

Согласно теореме Коши о вычетах [5],
$$\underset{\lambda \to \mathrm{\infty }}{lim}{\oint }_{\mathrm{\Gamma }}f(z)dz=J(1+e^{-\pi \beta })=\pi e^{-\pi \beta /2},$$

откуда
$$J=\frac{\pi }{e^{\pi \beta /2}+e^{-\pi \beta /2}}.$$

Следовательно, $Ieq0$. Полученное противоречие доказывает справедливость теоремы.
ЗАМЕчАниЕ. «Величины» расщепления
$${\mathrm{\Delta }}_L=\frac{\partial S}{\partial l}-\frac{\partial S^{\prime }}{\partial l},{\mathrm{\Delta }}_G=\frac{\partial S}{\partial g}-\frac{\partial S^{\prime }}{\partial g}$$

аналитически зависят от координат центра масс тела $x,y,z$. Поскольку доказано, что ${\mathrm{\Delta }}_{L}ot\equiv 0$ и ${\mathrm{\Delta }}_{G}ot\equiv 0$ при $x=z=0,yeq0$, то сепаратрисы расщепляются при почти всех положениях центра масс.