Рассмотрим каноническую систему с $n+1$ степенями свободы, функция Гамильтона которой
\[
\mathscr{H}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}, J\right)
\]

аналитична по всем своим переменным и не содержит в явном виде координаты $\psi$, сопряженной с $J$. Полезно рассмотреть систему с $n$ степенями свободы, гамильтониан которой есть функция (3.1), где $J$ считается параметром. Такую систему назовем приведенной.

Система канонических уравнений с гамильтонианом (3.1) предполагается интегрируемой по Лиувиллю: существуют $n+1$ независимых первых интегралов в инволюции
\[
\mathscr{F}_{1}=\mathscr{H}, \mathscr{F}_{2}, \ldots, \mathscr{F}_{n}, \mathscr{F}_{n+1}=J,
\]

аналитических по всем каноническим переменным. Тогда приведенная система при каждом значении $J$ будет также интегрируемой, так как $n$ функций
\[
\mathscr{F}_{1}=\mathscr{H}, \mathscr{F}_{2}, \ldots, \mathscr{F}_{n}
\]

независимы, не содержат $\psi$ и находятся в инволюции.

Будем предполагать, что в фазовом пространстве приведенной системы совместные уровни интегралов (3.2) компактны, и на этих уровнях функции (3.2) независимы. Тогда эти $n$-мерные инвариантные многообразия суть $n$-мерные торы $\mathbf{T}^{n}$, которые несут на себе квазипериодические движения. Таким образом, в этом случае качественная картина движения в приведенной системе ясна. Для того, чтобы дать полный анализ системы с гамильтонианом (3.1), достаточно знать поведение циклической координаты $\psi$.

В некоторой окрестности $n$-мерного тора $\mathbf{T}^{n}$, где интегралы независимы, можно перейти к переменным действие-угол приведенной задачи. Эта оюрестность диффеоморфна прямому произведению $D \times \mathbf{T}^{n}$, где $D$ – область $\mathbf{R}^{n}$. Переменные действие $I=\left(I_{1}, \ldots, I_{n}\right)$ постоянны во все время движения и принимают значения из области $D$, а переменные угол $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}$ суть угловые координаты на $n$-мерном тоpe $\mathbf{T}^{n}$, равномерно меняющиеся со временем. В переменных действие-угол $I_{i}, \varphi_{i},(i=1,2, \ldots, n)$ функция Гамильтона (3.1) не зависит от $\varphi_{i}$, т.е.
\[
\mathscr{H}=\mathscr{H}\left(I_{1}, \ldots, I_{n} ; J\right) .
\]

Ясно, что
\[
\dot{\psi}=\Phi\left(J, I_{i}, \varphi_{i}\right)
\]

будет квазипериодической функцией времени с $n$ частотами, и поставленная задача сводится к вопросу о поведении интеграла
\[
\int_{0}^{t} \Phi\left(J, I_{i}, \omega_{i} t+\varphi_{i}^{0}\right) d t
\]

где $\omega_{i}=\partial \mathscr{H} / \partial I_{i}$ – частоты приведенной системы.
Теорема 1. Iредположим, что при $J=J_{0}$ приведенная система невырождена, т.е.
\[
\left|\frac{\partial^{2} \mathscr{H}}{\partial I_{i} \partial I_{j}}\right|
ot \equiv 0 .
\]

Пусть начальные условия $\left(I_{i}^{0}, \varphi_{i}^{0}\right)$ выбираются из указанной выше области $D \times \mathbf{T}^{n}$. Тогда в области $D \times \mathbf{T}^{n}$ существует непрерывная функиия $f(I, \varphi)$ такая, что для всех $t$
\[
\begin{array}{c}
\psi=\psi^{0}+\lambda t+f\left(I^{0}, \omega t+\varphi^{0}\right)-f\left(I^{0}, \varphi^{0}\right) \\
\lambda=(2 \pi)^{-n} \int_{0}^{2 \pi} \ldots \int_{0}^{2 \pi} \Phi\left(J_{0}, I_{1}^{0}, \ldots, I_{n}^{0}, \varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}\right) d \varphi_{1} \ldots d \varphi_{n} .
\end{array}
\]

ЗамЕчаниЕ. Функция $f(I, \varphi)$ на самом деле аналитична.
ДоКазатЕльСТво.
Рассмотрим для простоты случай, когда $n=2$. В общем случае доказательство аналогично. Пусть
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{F}_{1}=\mathscr{H}=\mathscr{H}_{0}\left(I, J_{0}\right)+\left(J-J_{0}\right) \mathscr{H}_{1}\left(I, \varphi, J_{0}\right)+\ldots, \\
\mathscr{F}_{2}=\mathscr{F}=\mathscr{F}_{0}\left(I, J_{0}\right)+\left(J-J_{0}\right) \mathscr{F}_{1}\left(I, \varphi, J_{0}\right)+\ldots
\end{array}
\]

Тогда
\[
\dot{\psi}=\Phi=\left.\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial J}\right|_{J=J_{0}}=\mathscr{H}_{1}=H_{0}+\sum_{m
eq 0} H_{m} e^{i(m, \varphi)} .
\]

Так как $I=I^{0}, \varphi=\omega t+\varphi^{0}$, то
\[
\begin{array}{c}
\psi=\lambda t+\psi^{0}+\sum_{m
eq 0} \frac{H_{m}}{i(m, \omega)}\left\{e^{i(m, \varphi)}-e^{i\left(m, \varphi^{0}\right)}\right\}, \\
\lambda=H_{0}=(2 \pi)^{-2} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \Phi d \varphi_{1} d \varphi_{2} .
\end{array}
\]

Функция $\mathscr{F}$ – первый интеграл канонической системы с гамильтонианом $\mathscr{H}$. Следовательно,
\[
\left(\mathscr{H}_{0}, \mathscr{F}_{0}\right) \equiv 0, \quad\left(\mathscr{H}_{0}, \mathscr{F}_{1}\right)+\left(\mathscr{H}_{1}, \mathscr{F}_{0}\right) \equiv 0 .
\]

Если
\[
\mathscr{F}_{1}=\sum_{m} F_{m}(I) e^{i(m, \varphi)},
\]

то
\[
(m, \omega) F_{m}=\left(m, \frac{\partial F_{0}}{\partial I}\right) H_{m}
\]

(ср. с доказательством леммы Пуанкаре из $\S 1$ гл. I). Рассмотрим линейную систему уравнений
\[
\begin{array}{l}
\frac{m_{1} H_{m}}{(m, \omega)} \frac{\partial \mathscr{F}_{0}}{\partial I_{1}}+\frac{m_{2} H_{m}}{(m, \omega)} \frac{\partial \mathscr{F}_{0}}{\partial I_{2}}=F_{m}, \\
\frac{m_{1} H_{m}}{(m, \omega)} \frac{\partial \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{1}}+\frac{m_{2} H_{m}}{(m, \omega)} \frac{\partial \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{2}}=H_{m}
\end{array}
\]

относительно величин $m_{1} H_{m} /(m, \omega), m_{2} H_{m} /(m, \omega) ;(m, \omega
eq 0)$. Ее определитель
\[
\Delta=\frac{\partial\left(\mathscr{H}_{\mathbf{0}}, \mathscr{F}_{0}\right)}{\partial\left(I_{1}, I_{2}\right)}
eq 0
\]

в области $D$. Если $m_{1}=0$, то положим
\[
\frac{H_{m}}{(m, \omega)}=\frac{H_{m} \frac{\partial \mathscr{F}_{0}}{\partial I_{1}}-F_{m} \frac{\partial \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{1}}}{m_{2} \Delta},
\]

если $m_{2}=0$, то
\[
\frac{H_{m}}{(m, \omega)}=\frac{-H_{m} \frac{\partial \mathscr{F}_{0}}{\partial I_{2}}+F_{m} \frac{\partial \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{2}}}{m_{1} \Delta},
\]

если же $m_{1}
eq 0$ и $m_{2}
eq 0$, то можно использовать любое из соотношений (3.4)-(3.5). Поскольку ряды $\sum\left|H_{m}\right|, \sum\left|F_{m}\right|$ сходятся, то при $I \in D$, таких, что $(m, \omega)
eq 0$, для всех $m \in \mathbf{Z} \times \mathbf{Z}$, ряд
\[
\sum \frac{H_{m}}{i(m, \omega)} e^{i(m, \varphi)}
\]

сходится к некоторой непрерывной функции $f(I, \varphi)$. В этом случае из формулы (3.3) следует, что
\[
\psi=\psi_{0}+\lambda t+f\left(I^{0}, \varphi\right)-f\left(I^{0}, \varphi^{0}\right) .
\]

Так как приведенная система невырождена, то ее нерезонансные торы всюду плотны [4]. По непрерывности равенство (3.6) справедливо для всех $I^{0} \in D$.