Угол прецессии $\psi$ определяется из равенства
\[
\dot{\psi}=\frac{x_{1} x_{4}+x_{2} x_{5}}{1-x_{6}^{2}}=-\frac{x_{3} x_{6}}{4\left(1-x_{6}^{2}\right)} .
\]

Если выполнены условия леммы 2 , то $\dot{\psi}=\Psi$ – аналитическая функция от равномерно изменяющихся переменных $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$. В других случаях $\Psi$ имеет особенность в точках на $\mathbf{T}^{2}$, где $x_{6}^{2}=1$. Пусть $x_{6}^{2}=1$ при $t=t^{\prime}$. Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, когда $I_{1}
eq 0$, получим
\[
\lim _{t \rightarrow t^{\prime}} \Psi(t)=\mp \frac{I_{2}}{2 I_{1}} \quad\left(x_{6}(t) \rightarrow \pm 1\right) .
\]

Теорема 3. Пусть $I_{1}
eq 0, I_{1}
u^{2}
eq 4 I_{2}^{2}$. Если частоты $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ соизмеримы, то линия узлов обладает средним движением. Если же $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ несоизмеримы, то линия узлов обладает главным движением, зависящим только от $I_{1}, I_{2}$.

ДоКаЗаТЕЛЬСтво.
Если отношение частот $\omega_{1} / \omega_{2}$ рационально, то $\dot{\psi}-$ непрерывная периодическая функция времени (в точках, где $x_{6}= \pm 1$, она полагается равной $\mp I_{2} / 2 I_{1}$ ). Следовательно, $\psi=$ $=\lambda t+O(1)$.

Рассмотрим случай, когда отношение $\omega_{1} / \omega_{2}$ иррационально. Если $I_{1}
u^{2}<4 I_{2}^{2}$, то $\Psi\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)$ непрерывна на $\mathbf{T}^{2}$, и заключение теоремы вытекает из теоремы об усреднении [4]. Если же $I_{1}
u^{2}>4 I_{2}^{2}$, то, как при доказательстве теоремы 2 , введем функцию
\[
F\left(\varphi_{2}, t\right)=\int_{0}^{t} \Psi\left(\omega_{1} \tau+\varphi_{1}^{0}, \omega_{2} \tau+\varphi_{2}\right) d \tau, \quad \varphi_{2} \in S^{1}, \quad t \in\left[0,2 \pi / \omega_{1}\right] .
\]

Для доказательства ее ограниченности снова рассмотрим окрестности $U_{i}$ точек $a_{1}, \ldots, a_{4}$. В областях $U_{i}$, где $x_{6}$ близко к 1 , запишем тождество
\[
\dot{\psi}=-\dot{\varphi}+f, \quad f=\frac{x_{3}\left(4+3 x_{6}\right)}{4\left(1+x_{6}\right)} .
\]

Когда $m(t) \in U_{i}$, то интеграл по времени от $f$ ограничен (так как $f$ непрерывна в $U_{i}$ ) вместе с интегралом от $\dot{\varphi}$. Аналогично рассматривается движение в других окрестностях, где $x_{6}$

близко к -1 . Вне $U_{1}, \ldots, U_{4}$ функция $\Psi$ ограничена, следовательно, ограничено колебание $\boldsymbol{F}$. Объединяя сказанное, получим, что $F\left(\varphi_{2}, t\right)$ ограничена на $S^{1} \times\left[0,2 \pi / \omega_{1}\right]$. Для завершения доказательства осталось применить теорему Вейля о равномерном распределении.

Предложение 2. Если $I_{1}
u^{2}
eq 4 I_{2}^{2}$, то функция $\Psi\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)$ интегрируема по Лебегу на $\mathbf{T}^{2}\left\{\varphi_{1}, \varphi_{2} \bmod 2 \pi\right\}$.
ДоказаТЕЛЬСТВо.
Если $I_{1}
u^{2}<4 I_{2}^{2}$, то $\Psi$ непрерывна на $\mathrm{T}^{2}$ и утверждение очевидно. В случае, когда $I_{1}
u^{2}>4 I_{2}^{2}$, функция $\Psi$ непрерывна всюду, кроме точек $a_{1}, \ldots, a_{4}$, где $x_{6}^{2}=1$. Поэтому достаточно доказать интегрируемость $\Psi$ в малых окрестностях $U_{i}$ точек $a_{1}, \ldots, a_{4}$. Так как $I_{1}
u^{2}
eq 4 I_{2}^{2}$, то за локальные координаты в $U_{i}$ можно взять переменные $x_{4}$ и $x_{5}$. Якобиан преобразования $\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right) \rightarrow\left(x_{4}, x_{5}\right)$
\[
\frac{\partial\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)}{\partial\left(x_{4}, x_{5}\right)}
\]

аналитичен по $x_{4}, x_{5}$. По формуле замены переменных
\[
\iint_{U_{i}} \Psi\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right) d \varphi_{1} d \varphi_{2}=\iint_{U_{i}} \Psi\left(x_{4}, x_{5}\right) \frac{\partial\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)}{\partial\left(x_{4}, x_{5}\right)} d x_{4} d x_{5} .
\]

Воспользуемся равенством
\[
\Psi=-\frac{x_{3} x_{6}}{4\left(x_{4}^{2}+x_{5}^{2}\right)} .
\]

Функции $x_{3}$ и $x_{6}$ аналитичны по $x_{4}$ и $x_{5}$ в $U_{i}$, причем $x_{3}=0$, когда $x_{4}=x_{5}=0$. Следовательно, подынтегральная функция в переменных $x_{4}, x_{5}$ имеет вид
\[
F=f\left(x_{4}, x_{5}\right) /\left(x_{4}^{2}+x_{5}^{2}\right)
\]

где $f$ – аналитическая функция в $U_{i}$ и $f(0,0)=0$. В полярных координатах $(r, \varphi): x_{4}=r \cos \varphi, x_{5}=r \sin \varphi$.
\[
\iint_{U_{i}} F d x_{4} d x_{5}=\iint_{U_{i}} \frac{f}{r} d r d \varphi
\]

Так как $f / r$ непрерывна и ограничена в проколотой окрестности точки $a_{i}$, то $F$ интегрируема по Лебегу в области $U_{1}, \ldots, U_{4}$.
Теорема 4. При малых $
u$
\[
\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \Psi\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right) d \varphi_{2} d \varphi_{2}=0 .
\]

Для доказательства этой теоремы потребуется
Лемма 3. Іусть сужение функции $f\left(x_{1}, \ldots, x_{6}\right)$ на инвариантный тор $\mathbf{T}^{2}$ интегрируемо по Лебегу. Тогда
\[
\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right) d \varphi_{1} d \varphi_{2}=\oint \frac{f}{V_{4}} d \sigma,
\]

где $V_{4}$ – четырехмерный объем параллелепипеда, построенного на векторах $\operatorname{grad} I_{i}(i=1, \ldots, 4)$ как на сторонах, а $d \sigma$ элемент площади на $\mathbf{T}^{2}$ как поверхности в $\mathbf{R}^{6}\left\{x_{1}, \ldots, x_{6}\right\}$.
ДоКаЗательСтво.
В некоторой окрестности инвариантного тора $\mathbf{T}^{2}\left\{\varphi_{1}, \varphi_{2}\right.$ $\bmod 2 \pi\}$ в $\mathbf{R}^{6}$ можно сделать обратимую замену переменных
\[
x_{i}=x_{i}\left(I_{1}, \ldots, I_{4}, \varphi_{1}, \varphi_{2}\right) \quad(i=1, \ldots, 6) .
\]

В новых переменных $I, \varphi$ уравнения движения имеют вид (когда $I_{3}=0$ ) $\dot{I}_{i}=0, \dot{\varphi}_{j}=\Phi_{j}\left(I_{1}, \ldots, I_{4}\right) ; i=1, \ldots, 4 ; j=$ $=1,2$. Эти уравнения имеют интегральный инвариант с плотностью
\[
\rho=M \frac{\partial\left(x_{1}, \ldots, x_{6}\right)}{\partial\left(I_{1}, \ldots, I_{4}, \varphi_{1}, \varphi_{2}\right)},
\]

где $M$ – плотность интегрального инварианта в переменных $x_{1}, \ldots, x_{6}$. Так как $M \equiv 1$, а $\rho=1$, когда $I_{3}=0$, то в этом случае
\[
\frac{\partial\left(x_{1}, \ldots, x_{6}\right)}{\partial\left(I_{1}, \ldots, I_{4}, \varphi_{1}, \varphi_{2}\right)}=1 \text {. }
\]

Рассмотрим векторы
\[
\begin{aligned}
\xi_{i} & =\left(\frac{\partial x_{1}}{\partial I_{i}}, \ldots, \frac{\partial x_{6}}{\partial I_{i}}\right) ; \quad i=1, \ldots, 4, \\
\eta_{j} & =\left(\frac{\partial x_{1}}{\partial \varphi_{j}}, \ldots, \frac{\partial x_{6}}{\partial \varphi_{j}}\right) ; \quad j=1,2 .
\end{aligned}
\]

Очевидно, что
\[
\begin{aligned}
\left(\operatorname{grad} I_{i}, \xi_{j}\right) & =\delta_{i j} ; \quad i, j=1, \ldots, 4, \\
\left(\operatorname{grad} I_{i}, \eta_{k}\right) & =0 ; \quad i=1, \ldots, 4 ; \quad k=1,2,
\end{aligned}
\]
( $\delta_{i j}$ – символ Кронекера). Представим векторы $\xi_{i}$ в виде $\xi_{i}^{\prime}+\xi_{i}^{\prime \prime}$, где $\xi_{i}^{\prime}$ ортогональны $\eta_{1}, \eta_{2}$, а $\xi_{i}^{\prime \prime}$ разлагаются по $\eta_{1}$ и $\eta_{2}$. Тогда
\[
V_{6}\left(\xi_{1} \ldots \xi_{4} \eta_{1} \eta_{2}\right)=\left|\frac{\partial\left(x_{1}, \ldots, x_{6}\right)}{\partial\left(I_{1}, \ldots, I_{4} \varphi_{1} \varphi_{2}\right)}\right|=V_{4}\left(\xi_{i}^{\prime}\right) V_{2}\left(\eta_{j}\right)=1 .
\]

Здесь через $V_{n}\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)$ обозначен $n$-мерный объем параллелепипеда, построенного на векторах $a_{1}, \ldots, a_{n}$ как на сторонах. Так как снова
\[
\left(\operatorname{grad} I_{i}, \xi_{j}^{\prime}\right)=\delta_{i j},
\]

то
\[
V_{4}\left(\operatorname{grad} I_{i}\right) V_{4}\left(\xi_{j}^{\prime}\right)=1 .
\]

Учитывая (4.1), получим, что
\[
V_{4}\left(\operatorname{grad} I_{i}\right)=V_{2}\left(\eta_{j}\right) .
\]

Следовательно,
\[
\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f d \varphi_{1} d \varphi_{2}=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \frac{f V_{2}\left(\eta_{1}, \eta_{2}\right)}{V_{4}\left(\operatorname{grad} I_{i}\right)} d \varphi_{1} d \varphi_{2}=\oint \frac{f d \sigma}{V_{4}},
\]

так как по определению элемента площади $d \sigma=$ $=V_{2}\left(\eta_{1}, \eta_{2}\right) d \varphi_{1} d \varphi_{2}$.

ДоКаЗательСТВо теоремЫ 4.
Рассмотрим преобразование $\alpha: \mathbf{R}^{6} \rightarrow \mathbf{R}^{6}$, определенное формулой $y=\alpha(x)$, где $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{6}\right)$, а $y=$ $=\left(-x_{1},-x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5},-x_{6}\right)$. Отображение $\alpha$ – линейное opтогональное преобразование – произведение трех зеркальных отражений относительно координатных гиперплоскостей. При малых $
u$ каждый из двух инвариантных торов, составляющих совместный уровень интегралов, переходит в себя (см. доказательство леммы 1). Так как $\alpha: \mathbf{T}^{2} \rightarrow \mathbf{T}^{2}$ сохраняет площадь, то якобиан этого преобразования равен единице и, следовательно,
\[
\oint_{\mathbf{T}^{2}} \frac{\Psi(\alpha(x))}{V_{4}(\alpha(x))} d \sigma=\oint \frac{\Psi(x)}{V_{4}(x)} d \sigma .
\]

По формуле Грама
\[
V_{4}\left(\operatorname{grad} I_{k}\right)=\sqrt{\operatorname{det}\left\|\left(\operatorname{grad} I_{i} \operatorname{grad} I_{j}\right)\right\|} ; \quad i, j, k=1, \ldots, 4 .
\]

Используя это соотношение, можно показать, что $V_{4}(\alpha(x))=$ $=V_{4}(x)$. Так как $\Psi(\alpha(x))=-\Psi(x)$, то из (4.2) следует равенство
\[
\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \Psi\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right) d \varphi_{1} d \varphi_{2}=\oint_{\mathbf{T}^{2}} \frac{\Psi d \sigma}{V_{4}}=0 .
\]

Следствие. Если $
u$ мало и отношение частот $\omega_{1} / \omega_{2}$ иррационально, то главное движение линии узлов равно нулю.

Действительно, по теореме о равномерном распределении $[6,65]$
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{\Psi(t)}{t}=\lambda=\frac{1}{4 \pi^{2}} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \Psi\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right) d \varphi_{1} d \varphi_{2}=0 .
\]

Замечание. Пусть $I_{2}
eq 0$ и $
u$ мало. Тогда главное движение линии узлов $\lambda$ равно нулю. Будем увеличивать значения параметра $
u$. При этом, очевидно, коэффициент $\lambda$ будет равен нулю по крайней мере до тех тор, пока интегралы (1.1) независимы, и функция $\dot{\psi}=\Psi$ не имеет аналитических особенностей (т. е. $I_{1}
u^{2}<4 I_{2}^{2}$ ).