Лемма 2.Если в начальный момент времени $I_{1}
eq 2 I_{2}^{2}+I_{3}$, то существует $\varepsilon>0$ такое, что
\[
|\cos \vartheta|<1-\varepsilon
\]

для всех $t \in \mathbf{R}$.
ДоКазатЕЛЬСТво.
Предположим, что в некоторый момент времени $x_{6}^{2}=1$. Тогда $x_{4}=x_{5}=0$ и, следовательно,
\[
x_{3}= \pm 2 I_{2}, \quad x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=I_{3}\left(I_{3}\right), \quad 2\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)+x_{3}^{2}=2 I_{1} .
\]

Значит, в этом случае $2 I_{3}+4 I_{2}^{2}=2 I_{1}$. Но этого не может быть согласно предположению.

Таким образом, в отличиеот случая Горячева- Чаплыгина, лишь в исключительных случаях ось динамической симметрии волчка Ковалевской может сколь угодно близко подходить к вертикали. Всюду ниже будем считать, что $I_{1}
eq 2 I_{2}^{2}+I_{3}$.

Предложение 1. Собственное вращение волчка Ковалевской обладает средним движением $\lambda=m_{1} \omega_{1}+m_{2} \omega_{2}$; $m_{1}, m_{2} \in \mathbf{Z}$. (См. доказательство предложения 1 гл. VII).

Найдем $m_{1}$ и $m_{2}$ при достаточно малых значениях параметра $
u$ и малых значениях постоянной площадей $I_{2}$. Рассмотрим случай, когда начальный момент времени $x_{3}>0$. Случай $x_{3}<0$ рассматривается аналогично (при $
u=0$ в точках, где $x_{3}=0$, первые интегралы зависимы).

Подсчитаем значение $\lambda$ при $
u=0$. Так как при $
u=0$ частоты $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ не зависят от $I_{2}$, то $\lambda$ в этом случае тоже

не зависит от $I_{2}$. Так что постоянную интеграла площадей $I_{2}$ можно считать равной нулю. Тогда
\[
\begin{array}{c}
\dot{\varphi}=x_{3}-\frac{x_{6}\left(x_{1} x_{4}+x_{2} x_{6}\right)}{1-x_{6}^{2}}=x_{3} \frac{2-x_{6}^{2}}{2\left(1-x_{6}^{2}\right)}, \\
x_{3}=\frac{L}{C}, \quad x_{6}=-\sqrt{1-\frac{L^{2}}{G^{2}}} \cos g, \quad \dot{g}=\frac{G}{2 C} .
\end{array}
\]

Здесь $L, G, g$ – специальные канонические переменные. Следовательно,
\[
\lambda=\frac{1}{2 \pi} \frac{L}{G} \int_{0}^{2 \pi} \frac{2-\left(1-\frac{L^{2}}{G^{2}}\right) \cos ^{2} g}{2\left\{1-\left(1-\frac{L^{2}}{G^{2}}\right) \cos ^{2} g\right\}} d g=\frac{L}{2 C}+\frac{G}{2 C} .
\]

Так как при $
u=0$ гамильтониан задачи Ковалевской равен
\[
\mathscr{H}=\frac{G^{2}}{4 C}+\frac{L^{2}}{4 C},
\]

то
\[
i=\Omega_{1}=\frac{L}{2 C}=\text { const, } \quad \dot{g}=\Omega_{2}=\frac{G}{2 C}=\text { const. }
\]

Следовательно, $\lambda=\Omega_{1}+\Omega_{2}>0$. Выразим теперь частоты $\Omega_{1}$, $\Omega_{2}$ через частоты $\omega_{1}, \omega_{2}$, определяемые формулой (1.9). Для этого найдем сначала связь между числами вращения $\Omega_{1} / \Omega_{2}$ и $\omega_{1} / \omega_{2}=\tau_{1} / \tau_{2}$. При $
u=0$
\[
\begin{array}{c}
\tau_{1}=\int_{-\infty}^{0} \frac{d z}{\left(z-I_{1}-I_{3}\right)\left(z-I_{1}+I_{3}\right) \sqrt{-z}}= \\
=\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{\sqrt{x}\left[\left(x+I_{1}\right)^{2}-I_{3}^{2}\right]}=\frac{\pi}{2 I_{3}}\left(\frac{1}{\sqrt{I_{1}-I_{3}}}-\frac{1}{\sqrt{I_{1}+I_{3}}}\right) .
\end{array}
\]

Выражение для периода $\tau_{2}$ при $
u=0$ теряет смысл, поэтому

мы найдем
\[
\begin{array}{c}
\lim _{
u \rightarrow 0} \tau_{2}=\lim _{
u \rightarrow 0} \int_{I_{1}+\sqrt{I_{3}^{2}-
u^{2}}}^{I_{1}+I_{3}} \frac{1}{\sqrt{z\left(z-I_{1}+\sqrt{I_{3}^{2}-
u^{2}}\right)}} \times \\
\times \frac{d z}{\sqrt{\left(z-I_{1}+I_{3}\right)\left(I_{1}+I_{3}-z\right)\left(z-I_{1}-\sqrt{I_{3}^{2}-
u^{2}}\right)}}=\frac{\pi}{2 I_{3} \sqrt{I_{1}+I_{3}}} .
\end{array}
\]

При вычислении этого предела было использовано следующее утверждение: если функция $f(x)$ непрерывна в окрестности точки $x=b$, то
\[
\lim _{a \rightarrow b} \int_{a}^{b} \frac{f(x) d x}{\sqrt{(b-x)(x-a)}}=\pi f(b)
\]
(ср. с формулой (2.1) главы II).
Итак,
\[
\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}=\frac{\tau_{1}}{\tau_{2}}=\sqrt{\frac{I_{1}+I_{3}}{I_{1}-I_{3}}}-1 .
\]

Поскольку
\[
I_{3}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\frac{G^{2}-L^{2}}{4 C^{2}}, \quad I_{1}=I_{3}+\frac{x_{3}^{2}}{2}=\frac{G^{2}+L^{2}}{4 C^{2}},
\]

To
\[
\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}=\frac{G}{L}-1=\frac{\Omega_{2}}{\Omega_{1}}-1 .
\]

Уравнения (1.9) и (2.1) являются уравнениями одной и той же динамической системы. Поэтому существует диффеоморфизм двумерного тора, переводящий уравнения (1.9) в уравнения (2.1). Покажем, что любое такое преобразование является линейным и унимодулярным. Действительно, любой диффеоморфизм
\[
l=l\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right), \quad g=g\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)
\]

имеет вид
\[
l=a \varphi_{1}+b \varphi_{2}+f\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right), \quad g=c \varphi_{1}+d \varphi_{2}+h\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right),
\]

где $a, b, c, d$ – некоторые целье числа, $a d-b c= \pm 1$, а $f$ и $h-$ периодические функции переменных $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ с периодом $2 \pi$. Разложим функции $f$ и $h$ в сходящиеся двойные ряды Фурье. Пусть, например,
\[
f=\sum_{-\infty}^{\infty} f_{k_{1}, k_{2}} e^{i\left(k_{1} \varphi_{1}+k_{2} \varphi_{2}\right)} .
\]

Коэффициенты $f_{k_{1}, k_{2}}$ этого ряда, как и частоты $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ зависят от параметров $I_{1}, I_{2}, I_{3}$, которые «нумеруют» инвариантные торы задачи Ковалевской. Так как
\[
i=a \omega_{1}+b \omega_{2}+\sum_{-\infty}^{\infty} f_{k_{1}, k_{2}} i\left(k_{1} \omega_{1}+k_{2} \omega_{2}\right) e^{i\left(k_{1} \varphi_{1}+k_{2} \varphi_{2}\right)} \equiv \Omega_{1},
\]

и выражения $k_{1} \omega_{1}+k_{2} \omega_{2}
ot \equiv 0$ при $\left|k_{1}\right|+\left|k_{2}\right|
eq 0$, то $f_{k_{1}, k_{2}} \equiv 0$, если $\left|k_{1}\right|+\left|k_{2}\right|
eq 0$. Следовательно, $f=f_{00}=$ const. Аналогично доказывается, что $h=h_{00}=$ const. Таким образом, диффеоморфизм (2.3) имеет вид $l=a \varphi_{1}+b \varphi_{2}+f_{00}, g=c \varphi_{1}+d \varphi_{2}+h_{00}$. В переменных $l^{\prime}=l-f_{00}, g^{\prime}=g-h_{00}$ это преобразование будет однородным унимодулярным преобразованием. Что и требовалось доказать.
Итак,
\[
\begin{array}{c}
i=\Omega_{1}=a \omega_{1}+b \omega_{2}, \quad \dot{g}=\Omega_{2}=c \omega_{1}+d \omega_{2} \\
\Gamma=\frac{\Omega_{1}}{\Omega_{2}}=\frac{a \gamma+b}{c \gamma+d}, \quad \gamma=\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}} .
\end{array}
\]

Лемма 3. Если $\gamma$ – трансиендентное число и
\[
\frac{a \gamma+b}{c \gamma+d}=\frac{a^{\prime} \gamma+b^{\prime}}{c^{\prime} \gamma+d^{\prime}}
\]

где $S=\left\|\begin{array}{cc}a & b \\ c \text { d }\end{array}\right\|, S^{\prime}=\left\|\begin{array}{cc}a^{\prime} & b^{\prime} \\ c^{\prime} & d^{\prime}\end{array}\right\|$ – унимодуларные матрицы с иелочисленными коэффициентами, то либо $S=S^{\prime}$, либо $S=-S^{\prime}$.

ДоКаЗатЕльство.
Из (2.4) следует, что $\gamma$ удовлетворяет квадратному уравнению с целыми коэффициентами
\[
\left(a c^{\prime}-a^{\prime} c\right) \gamma^{2}+\left(b c^{\prime}-b^{\prime} c+a d^{\prime}-a^{\prime} d\right) \gamma+\left(b d^{\prime}-b^{\prime} d\right)=0 .
\]

Так как $\gamma$ – трансцендентно, то $a c^{\prime}=a^{\prime} c, b c^{\prime}+a d^{\prime}=b^{\prime} c+$ $+a^{\prime} d, b d^{\prime}=b^{\prime} d$. Если $c^{\prime}=0$, то $a^{\prime}=0$ и, следовательно, $c=0$. Аналогично, если $d^{\prime}=0$, то $d=0$. Пусть $c^{\prime}
eq 0$, тогда $a=$ $=c a^{\prime} / c$. Если $d^{\prime}
eq 0$, то $b=b^{\prime} d / d^{\prime}$ и
\[
\frac{a^{\prime} d^{\prime}-b^{\prime} c^{\prime}}{c^{\prime}} c+\frac{b^{\prime} c^{\prime}-a^{\prime} d^{\prime}}{d^{\prime}} d=0 .
\]

Так как $a^{\prime} d^{\prime}-b^{\prime} c^{\prime}
eq 0$, то $c=c^{\prime} d / d^{\prime}$ и, следовательно, $a=$ $=a^{\prime} d / d^{\prime}$. Определитель
\[
\left|\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}
a^{\prime} d / d^{\prime} & b^{\prime} d / d^{\prime} \\
c^{\prime} d / d^{\prime} & d
\end{array}\right|=\frac{d^{2}}{{d^{\prime}}^{2}}\left(a^{\prime} d^{\prime}-b^{\prime} c^{\prime}\right)= \pm \frac{d^{2}}{d^{\prime 2}}= \pm 1,
\]

значит, $d= \pm d^{\prime}$. Но тогда $a= \pm a^{\prime}, b= \pm b^{\prime}, c= \pm c^{\prime}$ и $S= \pm S^{\prime}$. Если $c^{\prime}=0$, то $d^{\prime}
eq 0$ и $a=a^{\prime} d / d^{\prime}, b=b^{\prime} d / d^{\prime}, c=0$. Тогда
\[
\left|\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}
a^{\prime} d / d^{\prime} & b^{\prime} d / d^{\prime} \\
0 & d
\end{array}\right|=\frac{a^{\prime} d^{2}}{d^{\prime}}= \pm \frac{d^{2}}{d^{\prime 2}}= \pm 1 .
\]

Откуда $d= \pm d^{\prime}$ и $a= \pm a^{\prime}, b= \pm b^{\prime}$. Значит, и в этом случае $S= \pm S^{\prime}$. Аналогично рассматривается оставшийся случай, когда $d^{\prime}=0$.

Если $\gamma(x)$ – непостоянная непрерывная функция, которая удовлетворяет соотношению (2.4), то снова $S= \pm S^{\prime}$. Это вытекает из всюду плотного множества трансцендентных чисел и непрерывности функции $\gamma(x)$.
В рассматриваемой нами задаче
\[
\frac{\Omega_{2}}{\Omega_{1}}=\frac{\omega_{2}+\omega_{1}}{\omega_{1}}
\]

Следовательно, матрица $S$ линейного преобразования системы (1.9) к системе (2.1) совпадает с одной из матриц
\[
\left\|\begin{array}{cc}
-1 & -1 \\
0 & -1
\end{array}\right\|, \quad\left\|\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{array}\right\| .
\]

В первом случае $\Omega_{2}=-\omega_{1}-\omega_{2}, \Omega_{1}=-\omega_{1}$ и $\lambda=-2 \omega_{1}-$ $-\omega_{2}<0$. Этот случай следует исключить, так как $\lambda>0$. Во втором случае $\Omega_{2}=\omega_{1}+\omega_{2}, \Omega_{1}=\omega_{1}$ и $\lambda=2 \omega_{1}+\omega_{2}>0$. Итак,
\[
\lambda=\frac{\pi}{2 \Lambda}\left(\frac{2}{\tau_{1}}+\frac{1}{\tau_{2}}\right) \text {. }
\]

Аналогично доказывается, что при $
u=0, I_{2}=0$ и $x_{3}<0$
\[
\lambda=-\frac{\pi}{2 \Lambda}\left(\frac{2}{\tau_{1}}+\frac{1}{\tau_{2}}\right) \text {. }
\]

Так как отношение периодов $\tau_{1} / \tau_{2}$ непостоянно при $
u=0$ и $I_{2}=0$, то формулы (2.5) и (2.6) справедливы при достаточно малых значениях этих параметров (ср. с доказательством теоремы 2 гл. II).