Рассмотрим задачу о вынужденных колебаниях математического маятника, описываемых уравнениями
\[
\dot{q}=p, \quad \dot{p}=-\omega^{2}(t) \sin q,
\]

где $q$ — естественная угловая координата материальной точки, $\omega(t+\tau)=\omega(t), t \in \mathbf{R}([6$, гл. 4]). Эти уравнения имеют канонический вид с функцией Гамильтона
\[
\mathscr{H}=\frac{p^{2}}{2}-\omega^{2}(t) \cos q .
\]

Такими уравнениями описываются, в частности, колебания маятника в периодически меняющемся поле тяжести.

Предположим, что «частота» $\omega$ мало отличается от некоторой постоянной величины $\omega_{0}$ :
\[
\omega^{2}(t)=\omega_{0}^{2}(1-\mu \cos
u t),
\]

где $\mu$ — малый параметр ( $\mu \ll 1),
u=2 \pi / \tau=$ const — частота вынуждающей силы (подробности см. в [6, гл. 4]).

Когда $\mu=0$, имеем интегрируемый случай — математический маятник. В этой интегрируемой задаче можно перейти к переменным действие-угол $I, \varphi$. Они определяются из следующих соотношений:
\[
\begin{array}{c}
I=\frac{1}{2 \pi} \oint \sqrt{2\left(\mathscr{H}_{0}+\omega_{0}^{2} \cos q\right)} d q, \quad \mathscr{H}_{0}=\mathscr{H}_{0}(I) ; \\
\varphi=\omega \int_{0}^{q} \frac{d x}{\sqrt{\mathscr{H}_{0}(I)+\omega_{0}^{2} \cos x}}, \quad \omega(I)=\frac{\partial \mathscr{H}_{0}}{\partial I} .
\end{array}
\]

Возмущающая функция $\mathscr{H}_{1}$ равна $\cos q \cos
u t$. Для того чтобы разложить $\mathscr{H}_{1}$ в кратный ряд Фурье по угловым переменным $\varphi, t$, заменим во второй формуле соотношений (4.1) $x$ на $2 u$. Тогда
\[
\varphi=2 \omega \int_{0}^{q / 2} \frac{d u}{\sqrt{a-b \sin ^{2} u}} ; \quad a=\mathscr{H}_{0}+\omega_{0}^{2}, \quad b=2 \omega_{0}^{2},
\]

или
\[
\varphi=\frac{2 \omega}{\sqrt{a}} \int_{0}^{q / 2} \frac{d u}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} u}} ; \quad k^{2}=\frac{b}{a}=\frac{2 \omega_{0}^{2}}{\mathscr{H}_{0}+\omega_{0}^{2}} .
\]

Отсюда $[7,8]$
\[
\begin{array}{c}
\sin \frac{q}{2}=\operatorname{sn} \frac{\sqrt{a}}{2 \omega} \varphi, \quad \cos \frac{q}{2}=\operatorname{cn} \frac{\sqrt{a}}{2 \omega} \varphi, \\
\cos q=\operatorname{cn}^{2} \frac{\sqrt{a}}{2 \omega} \varphi-\operatorname{sn}^{2} \frac{\sqrt{a}}{2 \omega} \varphi .
\end{array}
\]

Так как
\[
\begin{aligned}
\omega^{-1}=\frac{\partial I}{\partial \mathscr{H}_{0}} & =\frac{1}{2 \pi} \oint \frac{d q}{\sqrt{\mathscr{H}_{0}+\omega_{0}^{2} \cos q}}=\frac{1}{\pi} \oint \frac{d u}{\sqrt{a-b \sin ^{2} u}}= \\
& =\frac{1}{\pi \sqrt{a}} \oint \frac{d u}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} u}}=\frac{2 K}{\pi \sqrt{a}}
\end{aligned}
\]

то
\[
\cos q=\operatorname{cn}^{2} \frac{K}{\pi} \varphi-\operatorname{sn}^{2} \frac{K}{\pi} \varphi .
\]

Действительный период эллиптических функций $\operatorname{sn}^{2} x$ и $\operatorname{cn}^{2} x$ равен $2 \mathbf{K}[7,8]$, следовательно, функция $\cos q$ периодична по $\varphi$ с периодом $2 \pi$.
Разложение функции $\mathscr{H}_{1}$ в двойной ряд Фурье имеет вид
\[
\mathscr{H}_{1}=\sum_{-\infty}^{\infty} H_{m, 1}(I) e^{i(m \varphi+
u t)}+\sum_{-\infty}^{\infty} H_{m,-1}(I) e^{i(m \varphi-
u t)} .
\]

Коэффициенты $H_{m, 1}, H_{m,-1}$ легко вычислить, используя известную формулу Якоби [8, с. 415]:
\[
(k \mathbf{K})^{2} \operatorname{sn}^{2} \frac{\mathbf{K} x}{\pi}=\mathbf{K}^{2}-\mathbf{K E}-2 \pi^{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n q^{n}}{1-q^{2 n}} \cos n x .
\]

Обозначения в этой формуле общепринятые; см., например, $[7,8]$.

Вековое множество $\widetilde{\mathscr{B}}$ рассматриваемой задачи состоит из тех значений $I$, при которых $\pm n \omega+
u=0$ и $H_{ \pm n, 1}=$ $=\bar{H}_{\mp n,-1}
eq 0$. Нетрудно показать, что бесконечно много коэффициентов $H_{n, 1}(I)=\bar{H}_{-n,-1}(I)$ отличны от нуля. Обозначим через $I_{c}$ значение переменной действие, соответствующей движению по сепаратрисам. Так как
\[
\omega^{-1}(I)=\frac{1}{2 \pi} \oint \frac{d q}{\sqrt{\mathscr{H}_{0}(I)+\omega_{0}^{2} \cos q}},
\]

то $\omega(I) \rightarrow 0$ тогда и только тогда, когда $I \rightarrow I_{c}$. Следовательно, $\widetilde{\mathscr{B}}$ состоит из бесконечного множества точек, имеющих только

одну предельную точку $I=I_{c}$. Поэтому вековое множество $\widetilde{\mathscr{B}}$ является ключевым множеством для класса $A\left(I^{\prime}, I^{\prime \prime}\right)$ тогда и только тогда, когда $I_{c} \in\left(I^{\prime}, I^{\prime \prime}\right)$.

Однаго гамильтопиан $\mathscr{H}$ не аналитичен в области $\left(I^{\prime}, I^{\prime \prime}\right) \times$ $\times \mathbf{T}^{2}\{\varphi, t \bmod 2 \pi\} \times(-\varepsilon, \varepsilon)$. Докажем это. Пусть
\[
\mathbf{K}(k)=\int_{0}^{\pi / 2} \frac{d \varphi}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \varphi}}, \quad k^{\prime}=\sqrt{1-k^{2}} .
\]

Хорошо известно $[7,8]$, что
\[
\lim _{k^{\prime} \rightarrow 0}\left\{\mathbf{K}(k)-\ln \frac{4}{k^{\prime}}\right\}=0 .
\]

Очевидно, что функция $\mathscr{H}_{0}$ непрерывно дифференцируема, причем
\[
\mathscr{H}_{0}\left(I_{c}\right)=\omega_{0}^{2},\left.\quad \frac{d \mathscr{H}_{0}}{d I}\right|_{I=I_{c}}=0 .
\]

Пусть $I>I_{c}$. Согласно (4.2)
\[
\frac{d \mathscr{H}_{0}}{d I}=\frac{\pi \sqrt{\mathscr{H}_{0}+\omega_{0}^{2}}}{2 K\left(\frac{2 \omega_{0}^{2}}{\mathscr{H}_{0}+\omega_{0}^{2}}\right)} .
\]

Положим
\[
\mathscr{H}_{0}=\omega_{0}^{2} h, \quad J=I-I_{c} .
\]

Тогда
\[
h(0)=1, \quad h^{\prime}(0)=0, \quad h^{\prime}=\frac{\pi \omega_{0} \sqrt{h+1}}{2 K\left(\frac{2}{h+1}\right)} .
\]

Последнее равенство с учетом соотношения (4.3) можно представить в виде
\[
h^{\prime}=\frac{c f(J)}{\ln (h-1)+g(J)},
\]

где $c=$ const $(c
eq 0)$, функция $f(J)$ непрерывна, $f(0)
eq 0$, a $g(J)$ ограничена. Предположим, что функция $h(J)$ аналитическая. Так как $h(0)=1, h^{\prime}(0)=0$, то ее разложение в степенной ряд имеет вид
\[
h=1+\alpha_{n} J^{n}+\alpha_{n+1} J^{n+1}+\ldots ; \quad \alpha_{n}
eq 0, \quad n \geqslant 2 .
\]

Функция $h(J)$ монотонно возрастает, следовательно, $\alpha_{n}>0$. Подставляя разложение (4.5) в формулу (4.4) и деля обе части на $J^{n-1}$, получим
\[
n \alpha_{n}+\ldots=\frac{c f(J)}{J^{n-1}\left[\ln \left(\alpha_{n} J^{n}+\ldots\right)+g(J)\right]},
\]

или
\[
n \alpha_{n}+\ldots=\frac{c \int(J)}{J^{n-1} \ln J^{n}+J^{n-1} g_{1}(J)},
\]

где функция $g_{1}(J)$ снова является ограниченной при $J>0$. Перейдем в этой формуле к пределу при $J \rightarrow 0$. Предел левой части равен $n \alpha_{n}$, а правой — бесконечности, так как $f(0)
eq 0$ и при $n \geqslant 2$
\[
\lim _{J \rightarrow 0} J^{n-1} \ln J^{n}=\lim _{J \rightarrow 0} n J^{n-1} \ln J=0 .
\]

Полученное противоречие доказывает неаналитичность функции $\mathscr{H}_{0}(I)$.

Таким образом, из-за аналитических особенностей теорему 2 в рассматриваемой задаче непосредственно применить нельзя. Тем не менее можно доказать следующее утверждение: не существует первого интеграла этой задачи, аналитического на множестве $D \times \mathbf{T}^{1}\{t \bmod 2 \pi\} \times(-\varepsilon, \varepsilon)$, где $D-$ область на фазовом цилиндре $\{p, q \bmod 2 \pi\}$, содержащая обе сепаратрисы.
Действительно, пусть такой интеграл существует и есть
\[
\mathscr{F}(p, q, t, \mu)=\mathscr{F}_{0}(p, q, t)+\mu \mathscr{F}_{1}(p, q, t)+\ldots
\]

Из невырожденности невозмущенной задачи легко следует, что $\mathscr{F}_{0}$ не зависит от $t$. Использовав лемму 4 и взаимную

однозначность перехода к переменным действие-угол внутри сепаратрис и вне их, получим, что $\partial \mathscr{F}_{0} / \partial p=\partial \mathscr{F}_{0} / \partial q=0$ на инвариантных кривых невозмущенной задачи, которые расположены на цилиндре $\{p, q \bmod 2 \pi\}$ и отвечают переменным действие $I \in \widetilde{\mathscr{B}}$. Множество всех таких инвариантных кривых в области $D$ является ключевым для класса $A(D)$. Поэтому $\partial \mathscr{F}_{0} / \partial p=\partial \mathscr{F}_{0} / \partial q \equiv 0$ в $D$, т. е. $\mathscr{F}_{0}=$ const. Эту константу можно считать равной нулю. Тогда $\mathscr{F}_{1}+\mu \mathscr{F}_{2}+\ldots$ тоже первый интеграл задачи с гамильтонианом $\mathscr{H}$. Как и выше, получим, что $\mathscr{F}_{1}$ не зависит от $t$ и является константой. Этот процесс можно продолжить сколь угодно далеко и прийти к заключению, что все функции $\mathscr{F}_{k}$ — постоянные величины. Тогда $\mathscr{F}$ будет просто постоянной. Это доказывает изложенное выше утверждение.