K настоящему времени в динамике известно довольно много интегрируемых задач. Решение всех таких задач, имеющих $n$ степеней свободы, основано на существовании $n$ первых независимых интегралов в инволюции. В этих случаях согласно теореме Лиувилл [2] уравнения движения решаются в квадратурах. Можно показать [4], что существование полного набора интегралов 6 инволюции влечет следующую картину поведения траекторий в $2 n$-мерном фазовом пространстве. Все фазовое пространство разбивается на области, расслоенные совместными уровнями первых интегралов на замкнутые $п$-мерные инвариантные многообразия. Если эти многообразия компактны, то они суть $n$-мерные торы, несущие на себе квазиериодические движения.

Отыскание случаев интегриремости уравнений динамики было в основном делом XIX в. (Якоби, Лиувилль, Ковалевская и др.). Но с появлением работ Пуанкаре стало ясно, что уравнения динамики в общем случае неинтегрируемы: интегралы не только неизвестны, но и не существуют вовсе, так как траектории в целом не ложатся на инвариантные многообразия [9].

До исследований Пуанкаре в классических работах Брунса и Пенлеве $[10,11]$ был получен ряд результатов отрицательного характера, касающихся существования новых алгебраических интегралов уравнений задачи трех тел. Однако эти изяцные отрицательные результаты не имеют «какого-либо значения в динамике» $[12$, с. 120]. Свойство интегралов быть алгебраческими в очень сильной степени зависит от выбора независимых переменных, что не соответствует инвариантной природе уравнений динамики.

Теорема Пуанкаре о несуществовании аналитических интегралов была доказана впервые в знаменитом мемуаре «O проблеме трех тел и об уравнениях динамики» [13] с использованием невырожденных периодических решений. Другое доказательство неинтегрируемости, данное в пятой главе «Новых методов небесной механики» [1], отличается от первого, как замечает сам Іуанкаре, только формой. В том и другом случае использутся по существу тот факт, что резонансные торы общего положения невозмущенной задачи распадаются при возмущении.

Более того, основная идея доказательства и более поздней теоремы Зигеля о неинтегриремости гамильтоновых систем вблизи положений устойчивого равновесия [14] тоже восходит к Пуанкаре. Рассуждения основаны на подробном исследовании некоторых множеств долгопериодических решений канонических систем дифференциальных уравнений.

В работах Пуанкаре говорится о несуществовании «однозначных интегралов». По существу Пуанкаре заимствовал этот термин из известных работ Абеля и Якоби, касающихся обращения эллиптических и гиперэллиптических интегралов. однако к функциям комплексного переменного термин Пуанкаре не имеет прямого отношения. Это обстоятельство «является часто причиной непонимания физиками-теоретиками результатов Пуанкаре» [12, с. 120]. Вопрос о существовании однозначных интегралов в смысле теории функций комплексного переменного мы рассмотрим в главе $\mathrm{V}$.