Теорема 1. Периодические решения невозмущенной задачи – невертикальные постоянные вращения вокруг главных осей инерции – не исчезают при добавлении возмущения, а при малых $\mu$ переходят в периодические решения возмущенной задачи, аналитически зависящие от малого параметра $\mu$. Они существуют на каждом ненулевом уровне интеграла энергии.
Следовательно, на почти всех трехмерных уровнях энергии приведенная возмущенная система имеет шесть периодических решений при малых значениях $\mu$.
ДоКаЗатЕльСТВо.
В оюрестности невертикальных равномерных вращений гамильтониан $\mathscr{H}=\mathscr{H}_{0}+\mu \mathscr{H}_{1}$ является аналитической функцией. Значит, можно воспользоваться результатами $\S 1$. В качестве интеграла, аналитического по независимым переменным и малому параметру, можно взять интеграл энергии.
Рассмотрим сначала возмущение периодического решения (2.1). Нетрудно показать, что линейные уравнения
\[
\dot{L}_{1}=\frac{B-A}{A B} G_{0}^{2} l_{1}, \quad \dot{G}_{1}=0, \quad \dot{l}_{1}=\frac{A-C}{A C} L_{1}, \quad \dot{g}_{1}=\frac{G_{1}}{A}
\]
суть уравнения в вариациях для «порождающего» решения (2.1). Они легко интегрируются
\[
\begin{array}{c}
G_{1}=G_{1,0}, \quad g_{1}=\frac{G_{1,0}}{A} t+g_{1,0}, \quad L_{1}=A_{1} \sin \omega t+B_{1} \cos \omega t \\
l_{1}=A_{2} \sin \omega t+B_{2} \cos \omega t \\
\omega^{2}=\frac{(A-B)(A-C)}{B C}\left(\frac{G_{0}}{A}\right)^{2}>0 \\
B_{1}=L_{1,0}, \quad B_{2}=l_{1,0} \\
A_{1}=\frac{B-A}{A B} \frac{G_{0}^{2}}{\omega} l_{1,0}, \quad A_{2}=\frac{A-C}{A C} \frac{L_{1,0}}{\omega} .
\end{array}
\]
Заметим, что
\[
\frac{A_{1} A_{2}}{l_{1,0} L_{1,0}}=\frac{(B-A)(A-C)}{A^{2} B C}\left(\frac{G_{0}}{\omega}\right)^{2}=-1 .
\]
Матрица монодромии уравнений (2.4)
\[
X(T)=\left\|\begin{array}{cccc}
\cos \omega T & 0 & \frac{A_{1}}{l_{1,0}} \sin \omega T & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
\frac{A_{2}}{l_{1,0}} \sin \omega T & 0 & \cos \omega T & 0 \\
0 & \frac{2 \pi}{G_{0}} & 0 & 1
\end{array}\right\| .
\]
Так как $\dot{g}=\partial \mathscr{H} / \partial G
eq 0$ в окрестности периодического решения (2.1), то, применяя теорему Пуанкаре ( $\S 1$ ), надо образовать матрицу $Y=X(T)-E$ и, вычеркивая последний столбец
и вторую строку, убедиться в том, что определитель полученной матрицы $V$ отличен от нуля. Можно показать, что это условие выполнено, следовательно, у системы (2.3) существуют периодические решения, аналитически зависящие от $\mu$, период которых в точности равен $T=2 \pi A / G_{0}$.
Действительно, определитель матрицы $V$ равен
\[
4 \pi G_{0}^{-1}(\cos \omega T-1) .
\]
Для того, чтобы этот определитель был отличен от нуля, нужно потребовать выполнения условия $\omega T
eq 2 \pi k, k \in \mathbf{Z}$, или, что то же самое,
\[
(A-B)(A-C) / B C
eq k^{2} .
\]
Это неравенство справедливо всегда. В противном случае
\[
A=B+C+\left(k^{2}-1\right) B C / A .
\]
При $k
eq 0$ последнее соотношение противоречит неравенству треугольника $A<B+C$, а при $k=0$ легко вытекает из условия $A>B>C$. Таким образом, $|V|
eq 0$.
Установим, что периодические решения возмущенной задачи существуют на любом ненулевом уровне интеграла энергии. Для этого составим следующую матрицу пятого порядка
\[
Z=\left|\begin{array}{ll}
Y & \varphi \\
\psi & 0
\end{array}\right|,
\]
где $\varphi$ – вектор-столбец правой части невозмущенной системы уравнений, а $\psi$ – строка
\[
\left(\frac{\partial \mathscr{H}_{0}}{\partial L}, \frac{\partial \mathscr{H}_{0}}{\partial G}, \frac{\partial \mathscr{H}_{0}}{\partial l}, \frac{\partial \mathscr{H}_{0}}{\partial g}\right),
\]
в которую подставлено решение (2.1) при $t=T$. Можно показать, что ранг матрицы $Z$ равен четырем, поэтому согласно результатам $\S 1$ периодические решения возмущенной задачи существуют при любом значении полной энергии
\[
h=\left.\mathscr{H}_{0}\right|_{L=0, G=G_{0}, l= \pm \pi / 2}=\frac{G_{0}^{2}}{2 A}
eq 0 .
\]
Действительно, вычеркивая из $Z$ последний столбец и вторую строку, получим матрицу, определитель которой равен
\[
-\left(G_{0} / A\right)^{2}(\cos \omega T-1) .
\]
Как было показано выше, эта величина никогда в нуль не обращается.
Для равномерных вращений вокруг большей оси инерции теорема доказывается точно так же.
Осталось рассмотреть возмущения постоянных вращений вокруг средней оси инерции (2.2). Уравнения в вариациях для этого решения следующие:
\[
\dot{L}_{1}=\frac{A-B}{A B} G_{0}^{2} l_{1}, \quad \dot{G}_{1}=0, \quad i_{1}=\frac{B-A}{B C} L_{1}, \quad \dot{g}_{1}=\frac{G_{1}}{B} .
\]
Решения этих линейных уравнений с начальными условиями $L_{1,0}, G_{1,0}, l_{1,0}, g_{1,0}$ суть
\[
\begin{array}{c}
L_{1}=A_{1} \operatorname{sh} \Omega t+B_{1} \operatorname{ch} \Omega t, \quad G_{1}=G_{1,0}, \\
l_{1}=A_{2} \operatorname{sh} \Omega t+B_{2} \operatorname{ch} \Omega t, \quad g_{1}=\frac{G_{1,0}}{B} t+g_{1,0},
\end{array}
\]
где
\[
\begin{array}{c}
\Omega^{2}=\frac{(A-B)(B-C)}{A C}\left(\frac{G_{0}}{B}\right)^{2}, \quad A_{1}=\frac{A-B}{A B} \frac{G_{0}^{2}}{\Omega} l_{1,0} \\
B_{1}=L_{1,0}, \quad A_{2}=\frac{B-C}{B C} \frac{L_{1,0}}{\Omega}, \quad B_{2}=l_{1,0} \quad\left(\frac{A_{1} A_{2}}{l_{1,0} L_{1,0}}=1\right) .
\end{array}
\]
Матрица монодромии
\[
X(T)=\left\|\begin{array}{cccc}
\operatorname{ch} \Omega T & 0 & \frac{A_{1}}{l_{1,0}} \operatorname{sh} \Omega T & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
\frac{A_{2}}{L_{1,0}} \operatorname{sh} \Omega T & 0 & \operatorname{ch} \Omega T & 0 \\
0 & \frac{2 \pi}{G_{0}} & 0 & 1
\end{array}\right\| .
\]
Образуем матрицу $Y=X(T)-E$ и, вычеркивая из нее последний столбец и вторую строку, получим матрицу с определителем
\[
\frac{4 \pi}{G_{0}}\left(\operatorname{ch} \frac{2 \pi B \Omega}{G_{0}}-1\right) .
\]
Определитель равен нулю только в том случае, если
\[
(A-B)(B-C)=0 \text {. }
\]
Но этого не может быть из-за условия $A>B>C$.
Следовательно, при малых $\mu$ существуют периодические решения возмущенной системы, аналитически зависящие от этого параметра, которые при $\mu=0$ совпадают с равномерными вращениями вокруг средней оси эллипсоида инерции. Существование периодических решений при фиксированной постоянной интеграла энергии доказывается так же, как для рассмотренных выше случаев.
