Рассмотрим динамическую систему с $n+1$ степенями свободы, гамильтониан которой в некоторых канонических переменных $q_{1}, \ldots, q_{n+1}, p_{1}, \ldots, p_{n+1}$ имеет вид
\[
\mathscr{H}=\frac{1}{2 \sum_{i=1}^{n} A_{i}\left(q_{i}\right)} \sum_{i=1}^{n}\left[\frac{p_{i}^{2}}{B_{i}\left(q_{i}\right)}+p_{n+1}^{2} C_{i}\left(q_{i}\right)+D_{i}\left(q_{i}\right)\right] .
\]

Функции $A_{i}, B_{i}, C_{i}$ и $D_{i}$ будем считать дважды непрерывно дифференцируемыми, причем
\[
\sum A_{i}\left(q_{i}\right), \quad B_{1}\left(q_{1}\right), \ldots, B_{n}\left(q_{n}\right)
\]

никогда в нуль не обращаются.

Отметим, что если $C_{j} \equiv 0(j=1, \ldots, n)$, то $\mathscr{H}$ – гамильтониан обычной лиувиллевой системы с $n$ степенями свободы.

Координата $q_{n+1}$ – циклическая, следовательно, $p_{n+1}=$ = const. Каноническая система с гамильтонианом $\mathscr{H}$, в котором координата $p_{n+1}$ – фиксированная постоянная, будет приведенной.

Система с функцией Гамильтона (5.1) интегрируется разделением переменных. Действительно, обозначая постоянную интеграла энергии $\mathscr{H}$ через $h$, будем иметь
\[
\frac{p_{i}^{2}}{2 B_{i}\left(q_{i}\right)}+p_{n+1}^{2} C_{i}\left(q_{i}\right)+D_{i}\left(q_{i}\right)-h A_{i}\left(q_{i}\right)=\alpha_{i} ; \quad i=1, \ldots, n
\]

где постоянные $\alpha_{i}$ подчинены условию $\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{n}=0$. Отсюда
\[
p_{i}=\sqrt{2 B_{i}\left(\alpha_{i}+h A_{i}-D_{i}-p_{n+1}^{2} C_{i}\right)} .
\]

Выписать полный набор интегралов в инволюции как полной, так и приведенной системы не представляет труда. Исследуем сначала поведение решений приведенной системы. Из уравнений Гамильтона
\[
\dot{q}_{i}=\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial p_{i}}=\frac{p_{i}}{B_{i} \sum_{j} A_{j}}, \quad i=1, \ldots, n
\]

с учетом соотношений (5.2) будем иметь замкнутую систему для определения переменных $q_{1}, \ldots, q_{n}$ :
\[
\begin{array}{c}
\dot{q}_{i}=\frac{\sqrt{F_{i}\left(q_{i}\right)}}{\sum_{j=1}^{n} A_{j}\left(q_{i}\right)}, \quad i=1, \ldots, n, \\
F_{i}=2\left(\alpha_{i}+h A_{i}-D_{i}-p_{n+1}^{2} C_{i}\right) / B_{i} .
\end{array}
\]

В действительном движении переменнье $q_{i}$ изменяются в областях, где $F_{i}(x) \geqslant 0$. Ограничимся рассмотрением случая, когда координаты $q_{i}$ изменяются в интервалах $\left[a_{i}, b_{i}\right]$, где $a_{i}, b_{i}$ – соседние корни функции $F_{i}$, между которыми $F_{i}>0$.

Это равносильно рассмотрению решений приведенной системы, лежащих на компактных совместных уровнях первых интегралов.

Покажем, что если корень $a_{i}\left(b_{i}\right)$ кратный (т. е. $F_{i}^{\prime}\left(a_{i}\right)=0$ $\left(F_{i}^{\prime}\left(b_{i}\right)=0\right)$ ), то переменная $q_{i}$ совершает лимитационное движение. Пусть, например, $F_{i}^{\prime}\left(b_{i}\right)=0$. Положим,
\[
M=\max _{a_{i} \leqslant x \leqslant b_{i}}\left|F_{i}^{\prime \prime}(x)\right|>0, \quad N=\min _{a_{j} \leqslant q_{j} \leqslant b_{j}}\left|\sum A_{j}\left(q_{j}\right)\right|>0 .
\]

IIо теореме о среднем
\[
F_{i}\left(q_{i}\right) \leqslant \frac{M}{2}\left(q_{i}-b_{i}\right)^{2} \quad q_{i} \in\left[a_{i}, b_{i}\right] .
\]

Из уравнения (5.3) следует, что
\[
\frac{d t}{d q_{i}} \geqslant \sqrt{\frac{2}{M}} \frac{N}{b_{i}-q_{i}}, \quad t-t_{0} \geqslant \frac{N \sqrt{2}}{M} \int_{q_{i_{0}}}^{q_{i}} \frac{d x}{b_{i}-x} .
\]

Следовательно, $t \rightarrow \infty$, когда $q_{i} \rightarrow b_{i}$, или, что то же самое, $q_{i}(t) \rightarrow b_{i}$, когда $t \rightarrow \infty$.

Будем рассматривать случай, когда корни $a_{i}, b_{i}$ простые. Это, очевидно, эквивалентно случаю, когда первые интегралы независимы на своих совместных уровнях. По теореме Арнольда [4] эти уровни будут $n$-мерными торами, которые несут на себе условно-периодические решения.

В этом случае уравнения (5.3) можно упростить. Сделаем замену переменных $q_{i} \rightarrow \psi_{i} \bmod 2 \pi$, по формуле (ср. с $\S 2$ гл. VII):
\[
\varphi_{i}=\frac{\pi}{\tau_{i}} \int_{a_{i}}^{q_{i}} \frac{d x}{\sqrt{F_{i}(x)}}, \quad \tau_{i}=\int_{a_{i}}^{b_{i}} \frac{d x}{\sqrt{F_{i}(x)}} \quad i=1, \ldots, n .
\]

В новых переменных уравнения (5.3) будут иметь следующий вид:
\[
\dot{\varphi}_{i}=\frac{\pi}{\tau_{i} \sum_{j} f_{j}\left(\varphi_{j}\right)}, \quad f_{j}\left(\varphi_{j}\right)=F_{j}\left(q_{j}\left(\varphi_{j}\right)\right) .
\]

Применяя теорему о приведении уравнений на $n$-мерных торах (гл. VII), систему (5.5) можно привести к следующей:
\[
\dot{\varphi}_{i}=\frac{\pi}{\tau_{i} \Lambda}, \quad \Lambda=(2 \pi)^{-1} \sum_{j=1}^{n} \int_{0}^{2 \pi} f_{i}(x) d x .
\]

Новые переменные $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}$ являются угловыми переменными на инвариантных $n$-мерных торах приведенной системы, равномерно изменяющимися со временем. Существование таких переменных вытекает из теоремы Арнольда об интегрируемых гамильтоновых системах.

Нам осталось исследовать поведение циклической переменной $q_{n+1}$. Из уравнения Гамильтона
\[
\dot{q}_{n+1}=\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial p_{n+1}}=p_{n+1} \frac{\sum_{i=1}^{n} C_{i}\left(q_{i}\right)}{\sum_{i=1}^{n} A_{i}\left(q_{i}\right)}
\]

будем иметь
\[
q_{n+1}=q_{n+1}^{0}+p_{n+1} \int_{0}^{t} \frac{\sum C_{i}\left(q_{i}(t)\right)}{\sum A_{i}\left(q_{i}(t)\right)} d t,
\]

где функции $q_{i}(t)$ являются решениями системы (5.3).
В общем случае приведенная система невырождена, и по теореме $1 \S 3$ координата $q_{n+1}=\Lambda t+O(1)$, где $\Lambda$ (= const) зависит от постоянных первых интегралов $\left(h, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}, p_{n+1}\right)$, а ограниченный остаток есть $n$-частотная квазипериодическая функция времени. Мы дадим сейчас доказательство этой формулы без предположения о невырожденности приведенной системы.

Сделаем замену времени $t=t(\tau)$ вдоль фиксированного решения по формуле
\[
\frac{d t}{d \tau}=\sum_{i=1}^{n} A_{i}\left(q_{i}\right) .
\]

Мы предположили, что выражение $\sum A_{i}$ никогда в нуль не обращается, следовательно, $t$ является монотонной функцией $\tau$, и замена времени обратима. Тогда
\[
q_{n+1}=p_{n+1} \int_{0}^{\tau}\left\{\sum_{i=1}^{n} C_{i}\left(q_{i}(s)\right)\right\} d s,
\]

где $q_{i}(\tau)$ определяется из уравнений
\[
\frac{d q_{i}}{d \tau}=\sqrt{F_{i}\left(q_{i}\right)} .
\]

Переменные $q_{i}$ являются периодическими функциями $\tau$ с периодом $2 \tau_{i}$ (см. формулу (5.4)). Следовательно, функции $C_{i}\left(q_{i}(\tau)\right)$ тоже периодические с тем же периодом.
Из (5.7) следует, что
\[
q_{n+1}=p_{n+1}\left\{\sum_{i} \frac{1}{2 \tau_{i}} \int_{0}^{2 \tau_{i}} C_{i}\left(q_{i}(s)\right) d s\right\} \tau+O(1) .
\]

Так как
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2 \tau_{i}} \int_{0}^{2 \tau_{i}} C_{i}\left(q_{i}(\tau)\right) d \tau=\frac{1}{\tau_{i}} \int_{0}^{\tau_{i}} C_{i}\left(q_{i}(\tau)\right) d \tau= \\
=\frac{1}{\tau_{i}} \int_{a_{i}}^{b_{i}} \frac{C_{i}\left(q_{i}\right) d q_{i}}{\sqrt{F_{i}\left(q_{i}\right)}}=\oint \frac{C_{i} d q_{i}}{\sqrt{F_{i}}} / \oint \frac{d q_{i}}{\sqrt{F_{i}}},
\end{array}
\]

где
\[
\oint \frac{f(x) d x}{\sqrt{F_{i}(x)}}=\int_{a_{i}}^{b_{i}} \frac{f d x}{\sqrt{F_{i}}}-\int_{b_{i}}^{a_{i}} \frac{f d x}{\sqrt{F_{i}}}=2 \int_{a_{i}}^{b_{i}} \frac{f d x}{\sqrt{F_{i}}},
\]

то
\[
q_{n+1}=p_{n+1}\left(\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}\right) \tau+O(1), \lambda_{i}=\oint \frac{C_{i} d q_{i}}{\sqrt{F_{i}}} / \oint \frac{d q_{i}}{\sqrt{F_{i}}} .
\]

Аналогично, из (5.6) получим равенство
\[
t=\left(\sum_{i=1}^{n}
u_{i}\right) \tau+O(1), \quad
u_{i}=\oint \frac{A_{i} d q_{i}}{\sqrt{F_{i}}} / \oint \frac{d q_{i}}{\sqrt{F_{i}}} .
\]

Из (5.8) и (5.9) следует, что
\[
q_{n+1}=p_{n+1} \frac{\sum \lambda_{i}}{\sum
u_{i}} t+O(1) .
\]

По теореме Боля об интегралах квазипериодических функций [64] ограниченный остаток в этой формуле есть $n$-частотная квазипериодическая функция времени.

Таким образом, формула $q_{n+1}=\Lambda t+O(1)$ доказана. Причем попутно мы получили выражение для среднего движения циклической переменной $q_{n+1}$ :
\[
\Lambda=p_{n+1} \frac{\sum_{i} \lambda_{i}}{\sum_{i}
u_{i}}
\]

ЗАМЕчАниЕ. Уравнения (5.3) имеют интегральный инвариант
\[
J(U)=\iint_{U} \ldots \int d q_{1} \ldots d q_{n}
\]

с плотностью
\[
M=\frac{\sum_{i} A_{i}\left(q_{i}\right)}{\prod_{i} \sqrt{F_{i}\left(q_{i}\right)}} .
\]

Так как $M>0(<0)$, то $J(U)$ задает некоторую жорданову меру, инвариантную относительно фазового потока системы (5.3). Нетрудно показать, что фазовое среднее функции $q_{n+1}$ по этой инвариантной мере
\[
\oint p_{n+1} \frac{\sum C_{i}}{\sum A_{i}} M d q_{1} \ldots d q_{n} / \oint M d q_{1} \ldots d q_{n}
\]

равно в точности $\Lambda$ (ср. с формулировкой теоремы $1 \S 3$ ).

Функции Гамильтона многих задач, важных в практических приложениях, имеют вид (5.1). Вот некоторые примеры:
1) Задача Лагранжа: движение точки вокруг протягивающего центра в однородном силовом поле (физический аспект этой задачи – эффект Штарка: воздействие однородного электрического поля на движение в атоме водорода [19]). В некоторых координатах
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{H}=\frac{1}{2 m\left(\xi^{2}+\eta^{2}\right)}\left\{p_{\xi}^{2}+p_{\eta}^{2}+\left(\xi^{-2}+\eta^{-2}\right) p_{\varphi}^{2}+c_{1}\left(\xi^{4}-\eta^{4}\right) c_{2}\right\} \\
m, c_{1}, c_{2}=\text { const. }
\end{array}
\]

Система с тремя степенями свободы; координата $\varphi$ циклическая.
2) Задача Баррара: движение точки в силовом поле, потенциал которого в сферических координатах $(r, \vartheta, \varphi)$ имеет вид
\[
\mathscr{U}(r, \vartheta)=\frac{c_{1}}{r}+\frac{c_{2} \sin \vartheta}{r^{2}},
\]

где $c_{1}, c_{2}=$ const.
Гамильтониан этой задачи есть
\[
\mathscr{H}=\frac{1}{2 m r^{2}}\left\{r^{2} p_{r}^{2}+p_{\vartheta}^{2}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{\cos ^{2} \vartheta}+c_{1} r+c_{2} \sin \vartheta\right\} .
\]

Здесь циклической координатой является $\varphi$.
3) Обобщенная задача двух неподвижных центров. Функция Гамильтона в сжатых сфероидальных координатах имеет следующий вид:
\[
\begin{aligned}
\mathscr{H} & =\frac{1}{2 m c_{1}\left(\operatorname{sh}^{2} v+\cos ^{2} u\right)}\left\{p_{u}^{2}+p_{v}^{2}+p_{w}^{2}\left(\sin ^{-2} u-\operatorname{ch}^{-2} v\right)+\right. \\
& \left.+c_{2}\left(\operatorname{sh} v-c_{3} \cos u\right)\right\} ; \quad m, c_{1}, c_{2}, c_{3}=\text { const. }
\end{aligned}
\]

Система с тремя степенями свободы; координата $w$ является циклической.

Потенциалы двух последних задач хорошо приближают потенциал Земли (которая считается осесимметричной). Поэтому в этих приближениях искусственные спутники Земли вращаются вокруг оси симметрии по закону $\lambda t+O(1)$.