Нетрудно установить, что функция Гамильтона в этом случае в специальных канонических переменных $L, G, l, g$ имеет вид
\[
\mathscr{H}=\frac{G^{2}}{8 C}+\frac{3 L^{2}}{8 C}+\mu\left(\frac{L}{G} \sin l \cos g+\cos l \sin g\right),
\]

где $C$ – момент инерции относительно оси динамической симметрии, а $\mu$ – параметр Пуанкаре. Функцию (1.1) можно переписать следующим образом:
\[
\mathscr{H}=\frac{G^{2}}{8 C}+\frac{3 L^{2}}{8 C}+\frac{\mu}{2}\left[\left(\frac{L}{G}+1\right) \sin (l+g)+\left(\frac{L}{G}-1\right) \sin (l-g)\right] .
\]

Сделаем каноническое преобразование к новым переменным $q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}$, производящая функция которого равна
\[
S\left(l, g, p_{1}, p_{2}\right)=(l+g) p_{1}+(l-g) p_{2} .
\]

Формулы преобразования следующие:
\[
L=p_{1}+p_{2}, \quad G=p_{1}-p_{2}, \quad q_{1}=l+g, \quad q_{2}=l-g .
\]

В новых переменных гамильтониан (1.1) будет равен
\[
\mathscr{H}=\frac{p_{1}^{3}-p_{2}^{3}}{2 C\left(p_{1}-p_{2}\right)}+\mu\left(\frac{p_{1}}{p_{1}-p_{2}} \sin q_{1}+\frac{p_{2}}{p_{1}-p_{2}} \sin q_{2}\right) .
\]

Полагая это выражение равным $h$ и умножая на $\left(p_{1}-p_{2}\right)$, мы видим, что оно разделяется:
\[
h\left(p_{1}-p_{2}\right)=\frac{p_{1}^{3}-p_{2}^{3}}{2 C}+\mu\left(p_{1} \sin q_{1}+p_{2} \sin q_{2}\right) .
\]

Отсюда следует, что
\[
\frac{p_{1}^{3}}{2 C}+\mu p_{1} \sin q_{1}-h p_{1}=\Gamma, \quad \frac{p_{2}^{3}}{2 C}-\mu p_{2} \sin q_{2}-h p_{2}=\Gamma,
\]

где $\Gamma=$ const. Функция $\Gamma$, являющаяся первым интегралом уравнений движения, в специальных канонических переменных имеет вид
\[
\Gamma=\frac{L\left(G^{2}-L^{2}\right)}{8 C}+\frac{\mu^{2}\left(G^{2}-L^{2}\right)}{2 G} \sin l \cos g .
\]

Нетрудно показать, что в традиционных переменных Эйлера-Пуассона $p, q, r, \gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$
\[
\Gamma=2 C^{2} I_{2}, \quad I_{2}=r\left(p^{2}+q^{2}\right)-
u p \gamma_{3} \quad(
u=\mu / C) .
\]

Отметим, что $I_{2}$ есть интеграл Горячева – Чаплыгина (см. [36]).
Выпишем теперь замкнутую систему уравнений для изменения $p_{1}$ и $p_{2}$.
\[
\dot{p}_{1}=-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial q_{1}}=\frac{\mu p_{1}}{p_{1}-p_{2}} \cos q_{1}, \quad \dot{p}_{2}=-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial q_{2}}=\frac{\mu p_{2}}{p_{1}-p_{2}} \cos q_{2} .
\]

Или, учитывая (1.2)
\[
\begin{array}{l}
\dot{p}_{1}=\frac{\sqrt{\mu^{2} p_{1}^{2}-\left(\Gamma+h p_{1}-p_{1}^{3} / 2 C\right)^{2}}}{p_{1}-p_{2}}, \\
\dot{p}_{2}=\frac{\sqrt{\mu^{2} p_{1}^{2}-\left(\Gamma+h p_{1}-p_{1}^{3} / 2 C\right)^{2}}}{p_{1}-p_{2}} .
\end{array}
\]

Положим $p_{1}=C s_{1}, p_{2}=C s_{2}, \mu=C
u, \Gamma=2 C^{2} I_{2}, h=C I_{1} / 2$. Тогда уравнения (1.3) в переменных $s_{1}, s_{2}$ примут следующий вид:
\[
\begin{array}{c}
\dot{s}_{1}=\frac{\sqrt{\Phi\left(s_{1}\right)}}{2\left(s_{1}-s_{2}\right)}, \quad \dot{s}_{2}=\frac{\sqrt{\Phi\left(s_{2}\right)}}{2\left(s_{1}-s_{2}\right)}, \\
\Phi(z)=4
u^{2} z^{2}-\left(z^{3}-I_{1} z-4 I_{2}\right)^{2} .
\end{array}
\]

Эти уравнения равносильны системе
\[
\frac{d s_{1}}{\sqrt{\Phi\left(s_{1}\right)}}-\frac{d s_{2}}{\sqrt{\Phi\left(s_{2}\right)}}=0, \quad \frac{2 s_{1} d s_{1}}{\sqrt{\Phi\left(s_{1}\right)}}-\frac{2 s_{2} d s_{2}}{\sqrt{\Phi\left(s_{2}\right)}}=d t .
\]

Уравнения (1.5) полностью аналогичны уравнениям С.В.Ковалевской, полученным при исследовании найденного ею случая.

Если с самого начала мы рассмотрим каноническое преобразование с производящей функцией
\[
S\left(l, g, p_{1}, p_{2}\right)=(l+g) p_{1}-(l-g) p-2
\]

и проделаем все необходимые вычисления, то получим вместо уравнений (1.3) систему для $p_{1}$ и $p_{2}$.
\[
\begin{array}{c}
\dot{p}_{1}=\frac{\sqrt{F_{1}\left(p_{1}\right)}}{p_{1}-p_{2}}, \quad \dot{p}_{2}=\frac{\sqrt{F_{2}\left(p_{2}\right)}}{p_{1}-p_{2}}, \\
F_{1}(z)=F_{2}(-z)=\mu^{2} z^{2}-\left(\Gamma+h z-z^{3} / 2 C\right)^{2} .
\end{array}
\]

Положим снова $p_{1}=C u, p_{2}=C v, \mu=C
u, \Gamma=2 C^{2} I_{2}, h=$ $=C I_{1} / 2$. Тогда в новых переменных $u, v$ уравнения (1.6) примут вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{d u}{\sqrt{\Phi_{1}(u)}}-\frac{d v}{\sqrt{\Phi_{2}(v)}}=0, \quad \frac{2 u d u}{\sqrt{\Phi_{1}(u)}}+\frac{2 v d v}{\sqrt{\Phi_{2}(v)}} d t \\
\Phi_{1}(z)=\Phi_{2}(-z)=
u^{2} z^{2}-\left(4 I_{2}+I_{1} z-z^{3}\right)^{2} .
\end{array}
\]

Эта система уравнений совпадает с уравнениями С. А. Чаплыгина [36]. Действительно,
\[
u-v=\frac{p_{1}-p_{2}}{C}=\frac{L}{C}=r, \quad u v=\frac{p_{1} p_{2}}{C^{2}}=\frac{G^{2}-L^{2}}{4 C^{2}}=4\left(p^{2}+q^{2}\right) .
\]

Именно с помощью этих соотношений С. А. Чаплыгин вводил свои переменные. Наш вывод уравнений (1.7) проясняет геометрию виртуозных аналитических вычислений С. А. Чаплыгина, причем попутно мы получили более симметричную систему (1.5).

ЗАмЕчАниЕ. Г. В. Колосов давно нашел комплекснозначное каноническое преобразование, не включающее параметр А. Пуанкаре, которое разделяет переменные в случае Горячева- Чаплыгина [86]. В этой же работе им получены уравнения вида (1.5). Эти уравнения были затем выведены Марколонго способом С. А. Чаплыгина [87].

Однако преобразование Г.В. Колосова содержит комплексные величины, что сильно затрудняет применение его результатов при исследовании действительных движений волчка Горячева – Чаплыгина.