Переменные Эйлера-Пуассона $p, q, r, \gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$ для симметрии формул будем всюду обозначать соответственно через $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{6}$. Уравнения Эйлера-Пуассона в случае Горячева-Чаплыгина можно привести к виду [30]:
\[
\begin{array}{ll}
4 \dot{x}_{1}=3 x_{2} x_{3}, & \dot{x}_{4}=x_{3} x_{5}-x_{2} x_{6}, \\
4 \dot{x}_{2}=-3 x_{1} x_{3}+
u x_{6}, & \dot{x}_{5}=x_{1} x_{6}-x_{3} x_{4}, \\
\dot{x}_{3}=
u x_{5}, & \dot{x}_{6}=x_{2} x_{4}-x_{1} x_{5} .
\end{array}
\]

Здесь $
u=\operatorname{Pr} / C, P$ – вес тела, $r$ – расстояние от центра масс до точки подвеса, $C$ – момент инерции относительно оси динамической симметрии. Эти уравнения имеют четыре независимых интеграла
\[
\begin{array}{c}
I_{1}=4\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)+x_{3}^{2}+2
u x_{4}, \quad I_{2}=x_{3}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)-
u x_{1} x_{6}, \\
I_{3}=4\left(x_{1} x_{4}+x_{2} x_{2}\right)+x_{3} x_{6} \quad\left(I_{3}=0\right), \\
I_{4}=x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2} \quad\left(I_{4}=1\right) .
\end{array}
\]

Обозначим через $E\left(I_{1}, I_{2}\right)$ совместные уровни четырех интегралов (2.1) в шестимерном фазовом пространстве уравнений Эйлера-Пуассона. Всюду ниже рассматриваются только такие постоянные интегралов $I_{1}$ и $I_{2}$, при которых функции (2.1) независимы на $E\left(I_{1}, I_{2}\right)$. В частности, исключаются случаи, когда $I_{1}=1_{2}=0$. Остальные постоянные образуют множество нулевой меры. Если интегралы (2.1) независимы, то $E$ гладкое двумерное многообразие. На $E$ естественным образом возникает классическая динамическая система [6]: $\left(E, g_{E}, \sigma\right)$, где $g_{E}^{t}$ – сужение на многообразие $E$ однопараметрической группы сдвигов по траекториям уравнений Эйлера-Пуассона,

$\sigma$ – жорданова мера на $E$, инвариантная относительно $g_{E}^{t}$ (ее существование вытекает из теоремы Якоби о последнем множителе [36]). Задачей настоящего параграфа является изучение таких систем.

Сначала исследуем топологические свойства многообразия $E$. На $E$ нет особых точек системы дифференциальных уравнений Эйлера-Пуассона. Действительно, особые точки отвечают стационарным врашениям (или относительным равновесиям) тела. Нетрудно проверить, однако, что на этих решениях интегралы энергии и момента зависимы. А такие случаи здесь условились не рассматривать.

Многообразие $E$ ориентируемо. Значит, каждая связная компонента $E$ является двумерным тором (как всякое связное, ориентируемое, компактное двумерное многообразие, допускающее касательное векторное поле без особых точек; см., например, [62]).

Естественно поставить вопрос о количестве связных компонент многообразия $E$. Частичный ответ на этот вопрос дает

Лемма 1. Если м мало, то $E$ – объединение двух торов. ДоКазательСтво.

Пусть сначала $
u=0$. Тогда совместные уровни функций $I_{1}$ и $I_{2}$ в трехмерном пространстве $\mathbf{R}^{3}\left\{x_{1}, x_{2}, x_{3}\right\}$ – две окружности $S_{i}^{1}(i=1,2)$, лежащие в разных плоскостях $x_{3}=$ $=$ const. Каждой точке $\left\{x_{1}^{0}, x_{2}^{0}, x_{3}^{0}\right\}$ на $S_{i}(i=1,2)$ соответствует окружность, высекаемая на сфере Пуассона
\[
\left\{x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}=1\right\}
\]

интегралом площадей
\[
4\left(x_{1}^{0} x_{4}+x_{2}^{0} x_{5}\right)+x_{3}^{0} x_{6}=0 .
\]

Так как положение этой окружности непрерывно зависит от точки $\left\{x_{1}^{0}, x_{2}^{0}, x_{3}^{0}\right\}$, то при $
u=0$ многообразие $E$ состоит из двух связных компонент. Если $
u
eq 0$, но мало, то по теореме Морса [45] совместные уровни будут диффеоморфны уровню при $
u=0$ и, следовательно, иметь столько же компонент связности.

Замечание. Будем увеличивать $
u$. Тогда, по той же теореме Mорса, количество связных компонент может измениться только тогда, когда интегралы (1.1) станут зависимыми.

На каждом двумерном инвариантном торе $T^{2}$ можно выбрать угловые переменные $\varphi_{1}, \varphi_{2} \bmod 2 \pi$, в которых уравнения движения имеют вид
\[
\dot{\varphi}_{1}=\omega_{1}, \quad \dot{\varphi}_{2}=\omega_{2},
\]

где $\omega_{1}, \omega_{2}$ – постоянные, зависящие от $I_{1}$ и $I_{2}$. Уравнения (2.2) задают на $\mathbf{T}^{2}$ условно-периодическое движение с двумя частотами $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$. Для их вычисления воспользуемся переменными $s_{1}, s_{2}$, которые связаны с переменными Эйлера-Пуассона следующим образом:
\[
x_{3}=s_{1}+s_{2}, \quad 4\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)=-s_{1} s_{2} .
\]

Переменные Эйлера-Пуассона можно выразить через $s_{1}, s_{2}$, воспользовавшись интегралами (2.1). В § 1 показано, что в новых переменных уравнения движения приобретут вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{s}_{1}=\frac{\sqrt{\Phi\left(s_{1}\right)}}{2\left(s_{1}-s_{2}\right)}, \quad \dot{s}_{2}=\frac{\sqrt{\Phi\left(s_{2}\right)}}{2\left(s_{1}-s_{2}\right)}, \\
\Phi(z)=4
u^{2} z^{2}-\left(z^{3}-I_{1} z-4 I_{2}\right)^{2} .
\end{array}
\]

Переменные $s_{1}$ и $s_{2}$ изменяются в интервалах $\left[a_{1}, b_{1}\right]$ и $\left[a_{2}, b_{2}\right]$, где многочлен $\Phi(z) \leqslant 0$. Если $I_{2}
eq 0$, то пересечение $\left[a_{1}, b_{1}\right] \cap$ $\cap\left[a_{2}, b_{2}\right]$ пусто. В противном случае переменные $s_{1}$ и $s_{2}$ могут совпадать, а так как $s_{1} s_{2} \leqslant \mathbf{0}$, то при некоторых начальных данных на $\mathbf{T}^{2}$ имеет место равенство $s_{1}=s_{2}=0$. Следовательно, $x_{1}=x_{2}=x_{3}=0$ и $I_{2}=0$.

Числа $a_{i}, b_{i}(i=1,2)$ – простые корни многочлена $\Phi(z)$, так как в противном случае на соответствующем инвариантном торе существовали бы асимптотические движения. Но этого быть не может в силу предположения о независимости интегралов (2.1).

Пусть начальные условия для $s_{1}, s_{2}$ лежат внутри интервалов $\left[a_{1}, b_{1}\right]$ и $\left[a_{2}, b_{2}\right]$, и в начальный момент времени оба радикала в уравнениях (2.3) положительны. Предположим для

определенности, что $s_{1} \geqslant s_{2}$. Тогда в последующие моменты времени переменные $s_{1}$ и $s_{2}$ возрастают. Это будет происходить до тех пор, пока $s_{1}\left(s_{2}\right)$ не достигнет $b_{1}\left(b_{2}\right)$ – корня многочлена $\Phi(z)$. Заметим, что это произойдет за конечный промежуток времени, так как интеграл
\[
\int_{z_{0}}^{\alpha} \frac{d z}{\sqrt{\Phi(z)}}
\]

где $\alpha$ – простой корень $\Phi(z)$ – сходится. Пусть, например, $s_{1}$ достигло значения $b_{1}$. Тогда радикал в первом уравнении (2.3) меняет знак, и в последующие моменты времени $s_{1}$ убывает. Это происходит опять до тех пор, пока $s_{1}\left(s_{2}\right)$ не достигнет корня многочлена $\Phi(z)$. И так далее.
Введем угловые переменные $\psi_{1}, \psi_{2} \bmod 2 \pi$ по формулам
\[
\begin{array}{c}
\psi_{i}=\frac{\pi}{\tau_{i}} \int_{a_{i}}^{s_{i}} \frac{d s}{\sqrt{\Phi(s)}}, \\
\tau_{i}=\int_{a_{i}}^{b_{i}} \frac{d s}{\sqrt{\Phi(s)}}, \quad s_{i} \in\left[a_{i}, b_{i}\right] ; \quad i=1,2 .
\end{array}
\]

В новых переменных уравнения (2.3) запишутся следующим образом:
\[
\dot{\psi}_{i}=\frac{\pi}{2 \tau_{i}\left[s_{1}\left(\psi_{1}\right)-s_{2}\left(\psi_{2}\right)\right]}, \quad i=1,2,
\]

где $s_{i}(z)$ – действительные гиперэллиптические функции с периодом $2 \pi$, определяемые из соотношений (2.4). Уравнения вида (2.5) часто встречаются при исследовании интегрируемых динамических систем, и поэтому мы рассмотрим некоторые общие свойства таких уравнений, заданных на $n$ мерном торе $\mathbf{T}^{n}\left\{q_{1}, \ldots, q_{n} \bmod 2 \pi\right\}$ :
\[
\dot{q}_{i}=\lambda_{i} / F\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right) ; \quad \lambda_{i}=\text { const }, \quad F>0 .
\]

Без ущерба общности можно считать все $\lambda_{i}$ отличными от

нуля. Положим
\[
\Lambda=\frac{1}{(2 \pi) n} \int_{0}^{2 \pi} \ldots \int_{0}^{2 \pi} F\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right) d q_{1} \ldots d q_{n} .
\]

Теорема 1. Іредположим, что существует аналитическое (гладкое) решение $R\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$ уравнения в частных производных
\[
\lambda_{1} \frac{\partial R}{\partial q_{1}}+\ldots+\lambda_{n} \frac{\partial R}{\partial q_{n}}=F-\Lambda
\]

периодичное по каждому аргу.иенту с периодом $2 \pi$. Тогда существует обратимая аналитическая (гладкая) замена переменных $q \rightarrow \varphi$, приводящая систему (2.6) к виду
\[
\dot{\varphi}_{i}=\omega_{i}=\frac{\lambda_{i}}{\Lambda}=\mathrm{const} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

ДоКаЗатЕЛЬСТВо.
Покажем, что такой заменой является аналитическое (гладкое) преобразование
\[
\varphi_{i}=q_{i}+\frac{\lambda_{i}}{\Lambda} R\left(q_{i}, \ldots, q_{n}\right), \quad i=1, \ldots, n .
\]

Действительно, координаты $\varphi_{i}$ – угловые переменные на $\mathbf{T}^{n}$, изменяющиеся по $\bmod 2 \pi$. Далее,
\[
\dot{\varphi}_{i}=\dot{q}_{i}+\frac{\lambda_{i}}{\Lambda} \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial R}{\partial q_{j}} \dot{q}_{j}=\frac{\lambda_{i}}{\Lambda}=\omega_{i}=\text { const. }
\]

Так как
\[
\frac{\partial\left(\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}\right)}{\partial\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)}=\left|\begin{array}{ccc}
1+\frac{\lambda_{1}}{\Lambda} \frac{\partial R}{\partial q_{i}} & \ldots & \frac{\lambda_{1}}{\Lambda} \frac{\partial R}{\partial q_{n}} \\
\ldots & \ldots & \ldots \\
\frac{\lambda_{n}}{\Lambda} \frac{\partial R}{\partial q_{1}} & \ldots & 1+\frac{\lambda_{n}}{\Lambda} \frac{\partial R}{\partial q_{n}}
\end{array}\right|=\frac{F}{\Lambda}
eq 0,
\]

то замена переменных (2.7) невырождена.

Пусть, например,
\[
F=\sum_{i=1}^{n} f_{i}\left(q_{i}\right)
\]

где $f_{i}(x)$ – периодические функции с периодом $2 \pi$. В этом случае функция $R$ существует и равна
\[
R=\sum_{i=1}^{n} \frac{F_{i}\left(q_{i}\right)-I_{i} q_{i}}{\lambda_{i}}, \quad F_{i}(x)=\int_{0}^{x} f_{i}(t) d t, \quad I_{i}=\frac{1}{2 \pi} F_{i}(2 \pi) .
\]

Соответствующая замена переменных есть
\[
\varphi_{i}=q_{i}+\frac{\lambda_{i}}{\Lambda} \sum_{j=1}^{n} \frac{F_{j}\left(q_{j}\right)-I_{j} q_{j}}{\lambda_{i}}, \quad \Lambda=\sum_{j=1}^{n} I_{j} .
\]

В частности, уравнения (2.5) обратимой заменой переменных $\left(\psi_{1}, \psi_{2}\right) \rightarrow\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)$ приводятся к виду
\[
\dot{\varphi}_{i}=\frac{\pi}{2 \tau_{i} \Lambda} \quad(i=1,2), \quad \Lambda=\frac{1}{2 \pi}\left(\int_{0}^{2 \pi} s_{1}(x) d x-\int_{0}^{2 \pi} s_{2}(y) d y\right)
eq 0 .
\]

Уравнения (2.8) определяют на $T^{2}\left\{\varphi_{1}, \varphi_{2} \bmod 2 \pi\right\}$ условно-периодическое движение. Отношение частот (число вращения) равно $\gamma=\tau_{1} / \tau_{2}$, т. е. отношению периодов гиперэллиптического интеграла
\[
\int_{z_{0}}^{z} \frac{d z}{\sqrt{\Phi(z)}} .
\]

Число вращения $\gamma$ зависит, конечно, от $I_{1}$ и $I_{2}$. Эта функция непостоянна, по крайней мере, при малых значениях параметpa $
u$.