Переменные Эйлера-Пуассона $p,q,r,{\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3$ для симметрии формул будем всюду обозначать соответственно через $x_1,x_2,\dots ,x_6$. Уравнения Эйлера-Пуассона в случае Горячева-Чаплыгина можно привести к виду [30]:
$$\begin{array}{ll}4{\dot{x}}_1=3x_2{x}_3,& {\dot{x}}_4=x_3{x}_5-x_2{x}_6,\\ 4{\dot{x}}_2=-3x_1{x}_3+u{x}_6,& {\dot{x}}_5=x_1{x}_6-x_3{x}_4,\\ {\dot{x}}_3=u{x}_5,& {\dot{x}}_6=x_2{x}_4-x_1{x}_5.\end{array}$$

Здесь $u=\mathrm{Pr}/C,P$ — вес тела, $r$ — расстояние от центра масс до точки подвеса, $C$ — момент инерции относительно оси динамической симметрии. Эти уравнения имеют четыре независимых интеграла
$$\begin{array}{c}{I}_1=4(x_1^2+x_2^2)+x_3^2+2u{x}_4,I_2=x_3(x_1^2+x_2^2)-u{x}_1{x}_6,\\ I_3=4(x_1{x}_4+x_2{x}_2)+x_3{x}_6(I_3=0),\\ I_4=x_4^2+x_5^2+x_6^2(I_4=1).\end{array}$$

Обозначим через $E(I_1,I_2)$ совместные уровни четырех интегралов (2.1) в шестимерном фазовом пространстве уравнений Эйлера-Пуассона. Всюду ниже рассматриваются только такие постоянные интегралов $I_1$ и $I_2$, при которых функции (2.1) независимы на $E(I_1,I_2)$. В частности, исключаются случаи, когда $I_1=1_2=0$. Остальные постоянные образуют множество нулевой меры. Если интегралы (2.1) независимы, то $E$ гладкое двумерное многообразие. На $E$ естественным образом возникает классическая динамическая система [6]: $(E,g_E,\sigma )$, где $g_E^t$ — сужение на многообразие $E$ однопараметрической группы сдвигов по траекториям уравнений Эйлера-Пуассона,

$\sigma$ — жорданова мера на $E$, инвариантная относительно $g_E^t$ (ее существование вытекает из теоремы Якоби о последнем множителе [36]). Задачей настоящего параграфа является изучение таких систем.

Сначала исследуем топологические свойства многообразия $E$. На $E$ нет особых точек системы дифференциальных уравнений Эйлера-Пуассона. Действительно, особые точки отвечают стационарным врашениям (или относительным равновесиям) тела. Нетрудно проверить, однако, что на этих решениях интегралы энергии и момента зависимы. А такие случаи здесь условились не рассматривать.

Многообразие $E$ ориентируемо. Значит, каждая связная компонента $E$ является двумерным тором (как всякое связное, ориентируемое, компактное двумерное многообразие, допускающее касательное векторное поле без особых точек; см., например, [62]).

Естественно поставить вопрос о количестве связных компонент многообразия $E$. Частичный ответ на этот вопрос дает

Лемма 1. Если м мало, то $E$ — объединение двух торов. ДоКазательСтво.

Пусть сначала $u=0$. Тогда совместные уровни функций $I_1$ и $I_2$ в трехмерном пространстве ${\mathbf{R}}^3\{x_1,x_2,x_3\}$ — две окружности $S_i^1(i=1,2)$, лежащие в разных плоскостях $x_3=$ $=$ const. Каждой точке $\{x_1^0,x_2^0,x_3^0\}$ на $S_i(i=1,2)$ соответствует окружность, высекаемая на сфере Пуассона
$$\{x_4^2+x_5^2+x_6^2=1\}$$

интегралом площадей
$$4(x_1^0{x}_4+x_2^0{x}_5)+x_3^0{x}_6=0.$$

Так как положение этой окружности непрерывно зависит от точки $\{x_1^0,x_2^0,x_3^0\}$, то при $u=0$ многообразие $E$ состоит из двух связных компонент. Если $ueq0$, но мало, то по теореме Морса [45] совместные уровни будут диффеоморфны уровню при $u=0$ и, следовательно, иметь столько же компонент связности.

Замечание. Будем увеличивать $u$. Тогда, по той же теореме Mорса, количество связных компонент может измениться только тогда, когда интегралы (1.1) станут зависимыми.

На каждом двумерном инвариантном торе $T^2$ можно выбрать угловые переменные ${\phi }_1,{\phi }_{2}mod2\pi$, в которых уравнения движения имеют вид
$${\dot{\phi }}_1={\omega }_1,{\dot{\phi }}_2={\omega }_2,$$

где ${\omega }_1,{\omega }_2$ — постоянные, зависящие от $I_1$ и $I_2$. Уравнения (2.2) задают на ${\mathbf{T}}^2$ условно-периодическое движение с двумя частотами ${\omega }_1$ и ${\omega }_2$. Для их вычисления воспользуемся переменными $s_1,s_2$, которые связаны с переменными Эйлера-Пуассона следующим образом:
$$x_3=s_1+s_2,4(x_1^2+x_2^2)=-s_1{s}_2.$$

Переменные Эйлера-Пуассона можно выразить через $s_1,s_2$, воспользовавшись интегралами (2.1). В § 1 показано, что в новых переменных уравнения движения приобретут вид
$$\begin{array}{c}{\dot{s}}_1=\frac{\sqrt{\mathrm{\Phi }\left(s_1\right)}}{2(s_1-s_2)},{\dot{s}}_2=\frac{\sqrt{\mathrm{\Phi }\left(s_2\right)}}{2(s_1-s_2)},\\ \mathrm{\Phi }(z)=4u^2{z}^2-{(z^3-I_{1}z-4I_2)}^2.\end{array}$$

Переменные $s_1$ и $s_2$ изменяются в интервалах $[a_1,b_1]$ и $[a_2,b_2]$, где многочлен $\mathrm{\Phi }(z)⩽0$. Если $I_{2}eq0$, то пересечение $[a_1,b_1]\cap$ $\cap [a_2,b_2]$ пусто. В противном случае переменные $s_1$ и $s_2$ могут совпадать, а так как $s_1{s}_2⩽\mathbf{0}$, то при некоторых начальных данных на ${\mathbf{T}}^2$ имеет место равенство $s_1=s_2=0$. Следовательно, $x_1=x_2=x_3=0$ и $I_2=0$.

Числа $a_i,b_i(i=1,2)$ — простые корни многочлена $\mathrm{\Phi }(z)$, так как в противном случае на соответствующем инвариантном торе существовали бы асимптотические движения. Но этого быть не может в силу предположения о независимости интегралов (2.1).

Пусть начальные условия для $s_1,s_2$ лежат внутри интервалов $[a_1,b_1]$ и $[a_2,b_2]$, и в начальный момент времени оба радикала в уравнениях (2.3) положительны. Предположим для

определенности, что $s_1⩾s_2$. Тогда в последующие моменты времени переменные $s_1$ и $s_2$ возрастают. Это будет происходить до тех пор, пока $s_1\left(s_2\right)$ не достигнет $b_1\left(b_2\right)$ — корня многочлена $\mathrm{\Phi }(z)$. Заметим, что это произойдет за конечный промежуток времени, так как интеграл
$${\int }_{z_0}^{\alpha }\frac{dz}{\sqrt{\mathrm{\Phi }(z)}}$$

где $\alpha$ — простой корень $\mathrm{\Phi }(z)$ — сходится. Пусть, например, $s_1$ достигло значения $b_1$. Тогда радикал в первом уравнении (2.3) меняет знак, и в последующие моменты времени $s_1$ убывает. Это происходит опять до тех пор, пока $s_1\left(s_2\right)$ не достигнет корня многочлена $\mathrm{\Phi }(z)$. И так далее.
Введем угловые переменные ${\psi }_1,{\psi }_{2}mod2\pi$ по формулам
$$\begin{array}{c}{\psi }_i=\frac{\pi }{{\tau }_i}{\int }_{a_i}^{s_i}\frac{ds}{\sqrt{\mathrm{\Phi }(s)}},\\ {\tau }_i={\int }_{a_i}^{b_i}\frac{ds}{\sqrt{\mathrm{\Phi }(s)}},s_i\in [a_i,b_i];i=1,2.\end{array}$$

В новых переменных уравнения (2.3) запишутся следующим образом:
$${\dot{\psi }}_i=\frac{\pi }{2{\tau }_i[s_1\left({\psi }_1\right)-s_2\left({\psi }_2\right)]},i=1,2,$$

где $s_i(z)$ — действительные гиперэллиптические функции с периодом $2\pi$, определяемые из соотношений (2.4). Уравнения вида (2.5) часто встречаются при исследовании интегрируемых динамических систем, и поэтому мы рассмотрим некоторые общие свойства таких уравнений, заданных на $n$ мерном торе ${\mathbf{T}}^n\{q_1,\dots ,q_{n}mod2\pi \}$ :
$${\dot{q}}_i={\lambda }_i/F(q_1,\dots ,q_n);{\lambda }_i=\text{ const },F>0.$$

Без ущерба общности можно считать все ${\lambda }_i$ отличными от

нуля. Положим
$$\mathrm{\Lambda }=\frac{1}{(2\pi )n}{\int }_0^{2\pi }\dots {\int }_0^{2\pi }F(q_1,\dots ,q_n)d{q}_1\dots d{q}_n.$$

Теорема 1. Іредположим, что существует аналитическое (гладкое) решение $R(q_1,\dots ,q_n)$ уравнения в частных производных
$${\lambda }_1\frac{\partial R}{\partial q_1}+\dots +{\lambda }_n\frac{\partial R}{\partial q_n}=F-\mathrm{\Lambda }$$

периодичное по каждому аргу.иенту с периодом $2\pi$. Тогда существует обратимая аналитическая (гладкая) замена переменных $q\to \phi$, приводящая систему (2.6) к виду
$${\dot{\phi }}_i={\omega }_i=\frac{{\lambda }_i}{\mathrm{\Lambda }}=\mathrm{const}(i=1,2,\dots ,n).$$

ДоКаЗатЕЛЬСТВо.
Покажем, что такой заменой является аналитическое (гладкое) преобразование
$${\phi }_i=q_i+\frac{{\lambda }_i}{\mathrm{\Lambda }}R(q_i,\dots ,q_n),i=1,\dots ,n.$$

Действительно, координаты ${\phi }_i$ — угловые переменные на ${\mathbf{T}}^n$, изменяющиеся по $mod2\pi$. Далее,
$${\dot{\phi }}_i={\dot{q}}_i+\frac{{\lambda }_i}{\mathrm{\Lambda }}\sum _{j=1}^n\frac{\partial R}{\partial q_j}{\dot{q}}_j=\frac{{\lambda }_i}{\mathrm{\Lambda }}={\omega }_i=\text{ const. }$$

Так как
$$\frac{\partial ({\phi }_1,\dots ,{\phi }_n)}{\partial (q_1,\dots ,q_n)}=\left|\begin{array}{ccc}1+\frac{{\lambda }_1}{\mathrm{\Lambda }}\frac{\partial R}{\partial q_i}& \dots & \frac{{\lambda }_1}{\mathrm{\Lambda }}\frac{\partial R}{\partial q_n}\\ \dots & \dots & \dots \\ \frac{{\lambda }_n}{\mathrm{\Lambda }}\frac{\partial R}{\partial q_1}& \dots & 1+\frac{{\lambda }_n}{\mathrm{\Lambda }}\frac{\partial R}{\partial q_n}\end{array}\right|=\frac{F}{\mathrm{\Lambda }}eq0,$$

то замена переменных (2.7) невырождена.

Пусть, например,
$$F=\sum _{i=1}^n{f}_i\left(q_i\right)$$

где $f_i(x)$ — периодические функции с периодом $2\pi$. В этом случае функция $R$ существует и равна
$$R=\sum _{i=1}^n\frac{F_i\left(q_i\right)-I_i{q}_i}{{\lambda }_i},F_i(x)={\int }_0^x{f}_i(t)dt,I_i=\frac{1}{2\pi }{F}_i(2\pi ).$$

Соответствующая замена переменных есть
$${\phi }_i=q_i+\frac{{\lambda }_i}{\mathrm{\Lambda }}\sum _{j=1}^n\frac{F_j\left(q_j\right)-I_j{q}_j}{{\lambda }_i},\mathrm{\Lambda }=\sum _{j=1}^n{I}_j.$$

В частности, уравнения (2.5) обратимой заменой переменных $({\psi }_1,{\psi }_2)\to ({\phi }_1,{\phi }_2)$ приводятся к виду
$${\dot{\phi }}_i=\frac{\pi }{2{\tau }_i\mathrm{\Lambda }}(i=1,2),\mathrm{\Lambda }=\frac{1}{2\pi }({\int }_0^{2\pi }{s}_1(x)dx-{\int }_0^{2\pi }{s}_2(y)dy)eq0.$$

Уравнения (2.8) определяют на $T^2\{{\phi }_1,{\phi }_{2}mod2\pi \}$ условно-периодическое движение. Отношение частот (число вращения) равно $\gamma ={\tau }_1/{\tau }_2$, т. е. отношению периодов гиперэллиптического интеграла
$${\int }_{z_0}^z\frac{dz}{\sqrt{\mathrm{\Phi }(z)}}.$$

Число вращения $\gamma$ зависит, конечно, от $I_1$ и $I_2$. Эта функция непостоянна, по крайней мере, при малых значениях параметpa $u$.