Рассмотрим в прямом произведении $D \times \mathbf{T}^{n}$, где $D$ – область в $\mathbf{R}^{k}\left\{I_{1}, \ldots, I_{k}\right\}, \mathbf{T}^{n}\left\{\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n} \bmod 2 \pi\right\}-n$-мерный тор, следующую систему уравнений с непрерывными правыми частями:
\[
\dot{I}_{j}=0, \quad \dot{\varphi}_{i}=\omega_{i}\left(I_{1}, \ldots, I_{k}\right) ; \quad i=1, \ldots, n ; \quad j=1, \ldots, k .
\]

Они немедленно интегрируются:
\[
\begin{array}{l}
I=I^{0}, \quad \varphi=\omega t+\varphi^{0}, \quad I=\left(I_{1}, \ldots, I_{k}\right), \\
\varphi=\left(\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}\right), \quad \omega=\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right) .
\end{array}
\]

Пусть $f(I, \varphi)$ – непрерывная функция на $D \times \mathbf{T}^{n}$. Положим
\[
\begin{array}{c}
\lambda(I)=(2 \pi)^{-n} \int_{0}^{\pi} \ldots \int_{0}^{2 \pi} f(I, \varphi) d \varphi, \\
g(I, \varphi)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(I, \omega t+\varphi) d t .
\end{array}
\]

По теореме об усреднении [4] предел всегда существует. Между временными $g\left(I, \varphi^{0}\right)$ и пространственными $\lambda(I)$ средними известны соотношения $[4,20]$ :
1) для всех $I$ функция $g(I, \varphi)$ непрерывна по $\varphi \in \mathbf{T}^{n}$ и
\[
(2 \pi)^{-n} \int_{0}^{2 \pi} \ldots \int_{0}^{2 \pi} g(I, \varphi) d \varphi=\lambda(I) ;
\]
2) если при $I=I^{0}$ частоты $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ независимы, то $g\left(I^{0}, \varphi\right)=\lambda\left(I^{0}\right)$ для всех $\varphi \in \mathbf{T}^{n}$.
В общем случае функция $g(I, \varphi)$ разрывна на $D \times \mathbf{T}^{n}$.
Теорема 5. Пусть при $I=I^{0}$ частоты $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n} p a$ ционально независимы. Тогда равномерно по $\varphi \in \mathbf{T}^{n}$
\[
\lim _{I \rightarrow I^{0}} g(I, \varphi)=\lambda\left(I^{0}\right) .
\]

Таким образом, функция $g(I, \varphi),(I, \varphi) \in D \times \mathbf{T}^{n}$, непрерывна на нерезонансных торах и, вообще говоря, разрывна в точках, лежащих на резонансных торах. Эта функция напоминает классический пример функции Римана, непрерывной в иррациональных и разрывной в рациональных точках [66]. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 5.

Для любого $\varepsilon>0$ существует окрестность $U_{1}$ точки $I^{0} \in D$ и два тригонометрических полинома $P_{1}$ и $P_{2}$ от $\varphi$, такие, что
\[
\begin{array}{c}
P_{1}(\varphi)<f(I, \varphi)<P_{2}(\varphi) \quad \forall(I, \varphi) \in U_{1} \times \mathbf{T}^{n}, \\
(2 \pi)^{-n} \int_{0}^{2 \pi} \ldots \int_{0}^{2 \pi}\left(P_{2}-P_{1}\right) d \varphi<\varepsilon .
\end{array}
\]

Действительно, для любого $\varepsilon>0$ существует окрестность $U_{1}$ точки $I^{0}$ такая, что
\[
\left|f(I, \varphi)-f\left(I^{0}, \varphi\right)\right|<\varepsilon / 4 \quad \forall(I, \varphi) \in U_{1} \times \mathbf{T}^{n} .
\]

По теореме Вейерштрасса об апроксимации [46] существует тригонометрический полином $P(\varphi)$, для которого
\[
\left|f\left(I^{0}, \varphi\right)-P(\varphi)\right|<\varepsilon / 4 \quad \forall \varphi \in \mathbf{T}^{n} .
\]

Положим $P_{1}=P-\varepsilon / 2, P_{2}=P+\varepsilon / 2$. Тогда $P_{1}$ и $P_{2}$ удовлетворяют (5.1) и (5.2).

Пусть $N$ – степень $P_{1}$ и $P_{2}$. Так как при $I=I^{0}$ частоты $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ независимы, то в некоторой окрестности $U_{2} \subset D$ точки $I^{0}$ справедливы неравенства
\[
\begin{array}{c}
|(k, \omega(I))|=\left|\sum_{i=1}^{n} k_{1} \omega_{i}(I)\right|>\varepsilon>0 ; \\
k=\left(k_{1}, \ldots, k_{n}\right) ; \quad \varepsilon=\mathrm{const},
\end{array}
\]

где $k_{i}$ – целье числа, $0<|k|=\sum_{i=1}^{n}\left|k_{i}\right| \leqslant N$.
Для любого тригонометрического полинома
\[
f=\sum_{|k| \leqslant N} f_{k} e^{i(k, \varphi)}
\]

существует полином $g(\varphi)$ такой, что
\[
\dot{g}=\frac{\partial g}{\partial \varphi_{1}} \omega_{1}+\ldots+\frac{\partial g}{\partial \varphi_{n}} \omega_{n}=f-f_{0} .
\]

Действительно, можно положить
\[
g(\varphi)=\sum_{0<|k| \leqslant N} \frac{f_{k}}{i(k, \omega)} e^{i(k, \varphi)} .
\]

Из (5.3) следует, что
\[
\int_{0}^{t} f\left(\omega t+\varphi^{0}\right) d t=f_{0} t+g\left(\omega t+\varphi^{0}\right)-g\left(\varphi^{0}\right)
\]

Отсюда
\[
\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f\left(\omega t+\varphi^{0}\right) d t=f_{0}=(2 \pi)^{-n} \int_{0}^{2 \pi} \ldots \int_{0}^{2 \pi} f(\varphi) d \varphi .
\]

В нашем случае
\[
\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} P_{i}\left(\omega t+\varphi^{0}\right) d t=\Lambda_{i}=(2 \pi)^{-n} \int_{0}^{2 \pi} \ldots \int_{0}^{2 \pi} P_{i} d \varphi ; \quad i=1,2 .
\]

Из (5.1) следует, что для всех $T>0$ и всех $I \in U_{1}$
\[
\frac{1}{T} \int_{0}^{T} P_{1} d t<\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(I, \omega t+\varphi) d t<\frac{1}{T} \int_{0}^{T} P_{2} d t .
\]

Переходя к пределу при $T \rightarrow \infty$, получим для $I \in U=U_{1} \cap U_{2}$ неравенство
\[
\Lambda_{1} \leqslant g(I, \varphi) \leqslant \Lambda_{2} .
\]

С другой стороны, интегрируя по $\varphi$ соотношение (5.1) при $I=I^{0}$, будем иметь
\[
\Lambda_{1} \leqslant \lambda\left(I^{0}\right)<\Lambda_{2} .
\]

Так как $0<\Lambda_{1}-\Lambda_{2}<\varepsilon$, то из (5.4) и (5.5) вытекает неравенство
\[
\left|g(I, \varphi)-\lambda\left(I^{0}\right)\right|<\varepsilon \quad \forall(I, \varphi) \in U \times \mathbf{T}^{n} .
\]

Возвращаясь к исследованию волчка Горячева-Чаплыгина, рассмотрим случай, когда $I_{1}
u^{2}<4 I_{2}^{2}$ и $
u$ мало. В этом случае $\Psi, \omega_{1}, \omega_{2}$ аналитичны по $I, \varphi: I=\left(I_{1}, I_{2}\right), \varphi=\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)$. Если для $I=I^{0}$ частоты $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ несоизмеримы, то по теореме 3 главное движение линии узлов $\lambda$ равно нулю. Однако на практике невозможно установить, рационально или нет отношение $\omega_{1} / \omega_{2}$. Теорема 5 утверждает, что независимо от соизмеримости частот число $\lambda$ мало, если $I$ близко к $I^{0}$.