Рассмотрим каноническую систему с двумя степенями свободы, гамильтониан которой есть
\[
\mathscr{H}_{0}\left(l, \widehat{g}, L, G, \widehat{H}^{0}\right)+\mu \mathscr{H}_{1}\left(l, g, L, G, H^{0}\right)
\]
(значение параметра $H^{0}$ зафиксировано).
Обозначим через $D$ область на кольце $K$, содержащую при некотором значении модуля момента $G^{\circ}
eq 0,\left|H^{\circ}\right|<G^{\circ}$ сепаратрисы неподвижных точек 3 и 4 (заштрихована на рис. 10). Очевидно, что эти сепаратрисы будут расположены в области $D$ при всех значениях $G$ из малого интервала ( $\left.\alpha_{1}, \alpha_{2}\right) \subset \mathbf{R}$, содержащего точку $G^{\circ}\left(\alpha_{2}>\alpha_{1}>0\right)$.

Теорема 2. В области $D \times$ $\times\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right) \times T^{1}\{g \bmod 2 \pi\} \times(-\varepsilon, \varepsilon)$
Рис. 10
нет аналитического интеграла канонических уравнений с гамильтонианом (3.1), независимого от интеграла энергии (3.1) и аналитического по параметру $\mu$.

Следствие 1. В фазовом пространстве переменных $L, l, G, g$ нет аналитического интеграла приведенной системы канонических уравнений движения несимметричного тяжелого твердого тела с неподвижной точкой, независимого от интеграла энергии $\mathscr{H}, 2 \pi$-периодического по угловым переменным $l, g$ и аналитического по параметру $\mu$ в окрестности значения $\mu=0$.

ДОКАЗаТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2.
Пусть
\[
\mathscr{F}=\mathscr{F}_{0}(L, l, G, g)+\mu_{\mathscr{F}_{1}}(L, l, G, g)+\ldots
\]

— первый интеграл приведенной канонической системы дифференциальных уравнений с гамильтонианом (3.1), аналитический в области
\[
D \times\left(\alpha_{2}, \alpha_{2}\right) \times \mathbf{T}^{1}\{g \bmod 2 \pi\} \times(-\varepsilon, \varepsilon) .
\]

Покажем, что функция $\mathscr{F}_{0}$ не зависит от угловой переменной $g$. Так как функция $\mathscr{F}_{0}$ – первый интеграл невозмущенной задачи, то она постоянна вдоль траекторий невозмущенной системы уравнений. На нерезонансных инвариантных торах интегрируемой задачи траектории всюду плотны [4], следовательно, непрерывная функция постоянна на каждом нерезонансном торе. Хорошо известно [4], что в невырожденной интегрируемой гамильтоновой системе нерезонансные торы всюду плотно заполняют фазовое пространство. Так как задача Эйлера-Пуансо невырождена (теорема 3 гл. III) и функция $\mathscr{F}_{0}$ непрерывна, то $\mathscr{F}_{0}$ постоянна на всех инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо. Очевидно, что для всех $g \in \mathbf{R}$ точки ( $L^{0}, l^{0}, G^{0}, g$ ) лежат на одном и том же инвариантном торе (см. §1). Следовательно,
\[
\mathscr{F}_{0}\left(L^{0}, l^{0}, G^{0}, g^{\prime}\right)=\mathscr{F}_{0}\left(L^{0}, l^{0}, G^{0}, g^{\prime \prime}\right)
\]

для всех $g^{\prime}, g^{\prime \prime} \in \mathbf{R}$. Значит, действительно, функция $\mathscr{F}_{0}$ не зависит от переменной $g$.

Докажем теперь, что функции $\mathscr{H}_{0}$ и $\mathscr{F}_{0}$ зависимы на множестве $D \times\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$. При каждом значении $G \in\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$ сепаратрисы гиперболических точек 3 и 4 делят область $D$ на четыре связные подобласти $D_{i}(i=1,2,3,4)$ (см. рис. 10). В каждой области $D_{i}$ каноническим преобразованием $(L, l) \rightarrow$ $\rightarrow\left(I_{1}, \varphi_{1}\right)$ можно ввести переменные действие-угол (см. §1 гл. II). Это преобразование зависит, конечно, от значения переменной $G$, которая сама является одной из переменных действие $\left(G=I_{2}\right)$. Тогда $I_{1}=I_{1}\left(L, l, I_{2}\right), \varphi_{1}=\varphi_{1}\left(L, l, I_{2}\right)$.
Введем в рассмотрение матрицу Якоби
\[
R=\left\|\begin{array}{lll}
\frac{\partial \mathscr{H}_{0}}{\partial L} & \frac{\partial \mathscr{H}_{0}}{\partial l} & \frac{\partial \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{2}} \\
\frac{\partial \mathscr{F}_{0}}{\partial L} & \frac{\partial \mathscr{F}_{0}}{\partial l} & \frac{\partial \mathscr{F}_{0}}{\partial I_{2}}
\end{array}\right\|=
\]

\[
=\left\|\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{1}} & \frac{\partial \mathscr{H}_{0}}{\partial \varphi_{1}} & \frac{\partial \mathscr{H}_{0}}{\partial I_{2}} \\
\frac{\partial \mathscr{F}_{0}}{\partial I_{1}} & \frac{\partial \mathscr{F}_{0}}{\partial \varphi_{1}} & \frac{\partial \mathscr{F}_{0}}{\partial I_{2}}
\end{array}\right\| \times\left\|\begin{array}{ccc}
\frac{\partial I_{1}}{\partial L} & \frac{\partial I_{1}}{\partial l} & \frac{\partial I_{1}}{\partial I_{2}} \\
\frac{\partial \varphi_{1}}{\partial L} & \frac{\partial \varphi_{1}}{\partial l} & \frac{\partial \varphi_{1}}{\partial I_{2}} \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right\| .
\]

Обозначим матрицу размером $2 \times 3$ в правой части равенства (3.3) через $\widetilde{R}$. Заметим, что $\partial \mathscr{H}_{0} / \partial \varphi_{1}=\partial \mathscr{F}_{0} / \partial \varphi_{1}=0$. Это вытекает из невырожденности задачи Эйлера-Пуансо и леммы Пуанкаре (см. $\S 1$ гл. 1). Пусть $\left(I_{1}, I_{2}\right) \in \mathscr{B} \cap \Delta_{a}^{0}$. Тогда ранг матрицы $\widetilde{R}$ равен 1 . Значит, при фиксированном значении переменной $I_{2}$, на инвариантных кривых отображения $S$ кольца $K$ на себя ( $\S 1$ настоящей главы), составляющих множество $\mathscr{B} \cap D$, матрица $R$ тоже имеет ранг 1 . Согласно лемме 1 множество $\mathscr{B} \cap D$ является ключевым для класса $A(D)$. Так как все миноры второго порядка матрицы Якоби $R$ при любом фиксированном значении $I_{2}$ являются аналитическими функциями в области $D$, то в области $D \times\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$ ранг $R$ равен 1 , то есть функции $\mathscr{H}_{0}$ и $\mathscr{F}_{0}$ зависимы.

Предположим теперь, что функции (3.1) и (3.2) независимы. Пусть $J(L, l, G, g, \mu)$ – ненулевой минор второго порядка матрицы Якоби функций $\mathscr{H}$ и $\mathscr{F}$. Функция $J$ аналитична в области
\[
D \times\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right) \times \mathbf{T}^{1}\{g \bmod 2 \pi\} \times(-\varepsilon, \varepsilon) .
\]

Разложим ее в сходящийся степенной ряд:
\[
J=J_{0}+\mu J_{1}+\ldots
\]

Так как функции $\mathscr{H}_{0}$ и $\mathscr{F}_{0}$ зависимы, то $J_{0} \equiv 0$. Предположим, что в разложении (3.4) коэффициент при $\mu^{p}(p \geqslant 1)$ не равен тождественно нулю.

В области $D \times\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right),(L, l) \in D, G \in\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$ отлична от нуля производная
\[
\frac{\partial \mathscr{H}_{0}}{\partial G}=G\left(a \sin ^{2} l+b \cos ^{2} l\right) .
\]

Следовательно, равенство
\[
\mathscr{H}_{0}(L, l, G)=\mathscr{H}_{0}
\]

можно разрешить относительно $G$ и подставить полученное выражение в $\mathscr{F}_{0}$. В результате получим функцию
\[
\mathscr{F}_{0}=\mathscr{F}_{0}\left(L, l, G\left(L, l, \mathscr{H}_{0}\right)\right) .
\]

Покажем, что эта функция не зависит от $L$ и $l$. Действительно,
\[
\frac{d \mathscr{F}_{0}}{d L}=\frac{\partial \mathscr{F}_{0}}{\partial L}+\frac{\partial \mathscr{F}_{0}}{\partial G} \frac{\partial G}{\partial L}=0,
\]

так как
\[
\frac{\partial G}{\partial L}=-\frac{\partial \mathscr{H}_{0}}{\partial L} / \frac{\partial \mathscr{H}_{0}}{\partial G} .
\]

Аналогично доказывается, что $\partial \mathscr{F}_{0} / \partial l=0$.
Таким образом, $\mathscr{F}_{0}=\mathscr{R}\left(\mathscr{H}_{0}\right)$, где $\mathscr{R}(x)$ – функция, аналитическая в интервале $\left(h^{\prime}, h^{\prime \prime}\right), 0<h^{\prime}<h^{\prime \prime}$
\[
h^{\prime}=\min _{\substack{(L, l) \in D \\ G \in\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)}} \mathscr{H}_{0}, \quad h^{\prime \prime}=\max _{\substack{(L, l) \in D \\ G \in\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)}} \mathscr{H}_{0} .
\]

Отметим, что при фиксированных значениях переменных $L=L^{0}$ и $l=l^{0}$ минимальное и максимальное значение функции $\mathscr{H}_{0}\left(L^{0}, l^{0}, G\right)$ достигается в точках $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ и только в них.

При $\mu \in\left(-\varepsilon^{\prime}, \varepsilon^{\prime}\right), \varepsilon^{\prime}$ – достаточно малое положительное число, функция ( $\mathscr{R}-\mathscr{H}$ ) аналитична в области $D^{\prime} \times\left(\alpha_{1}^{\prime}, \alpha_{2}^{\prime}\right) \times$ $\times \mathbf{T}^{1}\{g \bmod 2 \pi\}$, где $\alpha_{1}^{\prime}>\alpha_{1}, \alpha_{2}^{\prime}<\alpha_{2}$, а $D^{\prime} \subset D, \overline{D^{\prime}} \subset D-$ некоторая область кольца $K$, содержащая при всех $G \in\left(\alpha_{1}^{\prime}, \alpha_{2}^{\prime}\right)$ обе сепаратрисы.
Рассмотрим функцию
\[
\mathscr{F}^{\prime}=\frac{\mathscr{F}-\mathscr{R}(\mathscr{H})}{\mu},
\]

аналитическую в области
\[
D^{\prime} \times\left(\alpha_{1}^{\prime}, \alpha_{2}^{\prime}\right) \times \mathbf{T}^{1}\{g \bmod 2 \pi\} \times\left(-\varepsilon^{\prime}, \varepsilon^{\prime}\right) .
\]

Эта функция – первый интеграл канонической системы с гамильтонианом (3.1), и ее можно разложить в сходящийся степенной ряд
\[
\mathscr{F}^{\prime}=\mathscr{F}^{\prime}{ }_{0}+\mu \mathscr{F}_{1}^{\prime}+\ldots
\]

Снова получим, что $\mathscr{F}_{0}^{\prime}$ не зависит от переменной $g$ и функции $\mathscr{H}_{0}$ и $\mathscr{F}_{0}^{\prime}$ зависимы. Так как
\[
\mathscr{F}=\mathscr{R}(\mathscr{H})+\mu \mathscr{F}_{0}^{\prime}+\mu^{2} \mathscr{F}^{\prime}{ }_{1}+\ldots,
\]

то разложение минора $J$ в степенной ряд начинается с членов порядка $\mu^{2}$. Значит, $J_{1} \equiv 0$.

Повторяя эту операцию $p$ раз, мы придем к заключению, что разложение (3.4) начинается с членов порядка $\mu^{p+1}$, а не $\mu^{p}$, как предполагалось выше.

Замечание 1. Нетрудно доказать, что система с функцией Гамильтона (3.1) не допускает даже частных аналитических интегралов, аналитически зависящих от $\mu$, при ограничениях на постоянную энергии (ср. с § 3,4 главы I).

Замечание 2. Теорема 1 фактически утверждает, что канонические уравнения задачи о вращении тяжелого несимметричного твердого тела с неподвижной точкой не допускают, кроме интегралов энергии и площадей, третьего аналитического интеграла, находящегося в инволюции с интегралом площадей. Последнее условие можно отбросить, но это потребует более громоздкого доказательства (ср. с $[1$, п. 86]).

ЗамЕчAHUE 3. Рассмотрим каноническую систему с функцией Гамильтона
\[
\mathscr{H}=\mathscr{H}_{0}+\mu \mathscr{H}_{1}+\mu^{2} \mathscr{H}_{2}+\ldots,
\]

где $\mathscr{H}_{0}+\mu \mathscr{H}_{1}$ – гамильтониан задачи о вращении несимметричного тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, а $\mathscr{H}_{2}, \mathscr{H}_{3}, \ldots$ – произвольные аналитические функции в фазовом пространстве переменных $L, l, G, g, 2 \pi$-периодические по углам $l, g$. Если
\[
\mathscr{F}=\mathscr{F}_{0}+\mu \mathscr{F}_{1}+\mu^{2} \mathscr{F}_{2}+\ldots
\]
– первый аналитический интеграл такой системы, то
\[
\frac{d \mathscr{F}}{d t}=(\mathscr{H}, \mathscr{F})=\left(\mathscr{H}_{0}, \mathscr{F}_{0}\right)+\mu\left[\left(\mathscr{H}_{0}, \mathscr{F}_{1}\right)+\left(\mathscr{H}_{1}, \mathscr{F}_{0}\right)\right]+\ldots \equiv 0
\]

и, следовательно,
\[
\left(\mathscr{H}_{0}, \mathscr{F}_{0}\right) \equiv 0, \quad\left(\mathscr{H}_{0}, \mathscr{F}_{1}\right)+\left(\mathscr{H}_{1}, \mathscr{F}_{0}\right) \equiv 0, \ldots
\]

При доказательстве теоремы 1 мы использовали только два первых равенства, куда входят функции $\mathscr{H}_{0}$ и $\mathscr{H}_{1}$. Значит, теорема 1 справедлива для более общих систем канонических уравнений с гамильтонианом вида (3.5).