Теорема 2. Если $A=B
eq C$, то два периодических решения невозмущенной приведенной задачи – невертикальные постоянные вращения вокруг оси симметрии в противоположных направлениях – не исчезают при добавлении возмущения, а переходят при малых $\mu$ в периодические решения возмущенной задачи, аналитически зависящие от параметра $\mu$. Они существуют на любом ненулевом уровне интеграла энергии.

Доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоремы 1.

Замечание 1. Случай $A=B=C$ не рассматривается, ибо он относится к числу интегрируемых.

ЗАМЕчАнИЕ 2. В рассматриваемой задаче известен ряд частных случаев интегрируемости [36]. В основном это периодические решения, выраженные в конечном виде через известные функции. Некоторые из них (например, решения Бобылева-Стеклова) при малых значениях параметра $\mu$ представляют собой частные случаи периодических решений, существование которых доказывается теоремами 1 и 2.

Нетрудно вычислить характеристические показатели постоянных вращений вокруг главных осей эллипсоида инерции. Например, мультипликаторы (собственные числа матрицы монодромии) постоянного вращения вокруг меньшей оси

равны
\[
\begin{array}{c}
\lambda_{1,2}=1, \quad \lambda_{3,4}=\cos \omega T \pm i \sin \omega T=e^{ \pm i \omega T}, \\
\omega=\sqrt{\frac{(A-B)(A-C)}{B C}} \frac{G_{0}}{A} .
\end{array}
\]

Следовательно, характеристические показатели этого периодического решения равны
\[
\alpha_{1,2}=0, \quad \alpha_{3,4}= \pm i \omega .
\]

Аналогичные формулы справедливы для показателей постоянных вращений вокруг средней и большей осей инерции:
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{1,2}=0, \quad \alpha_{3,4}= \pm \sqrt{\frac{(A-B)(B-C)}{A C}} \frac{G_{0}}{B}, \\
\alpha_{1,2}=0, \quad \alpha_{3,4}= \pm i \sqrt{\frac{(A-C)(B-C)}{A B}} \frac{G_{0}}{C} .
\end{array}
\]

Таким образом, в случае несимметричного тела вращения вокруг большей и меньшей осей являются решениями эллиптического типа, а вращения вокруг средней оси инерции имеют гиперболический тип. Несложно показать, что в случае $A=B
eq C$ вращения вокруг оси динамической симметрии – эллиптические, а вращения вокруг любой оси из экваториальной плоскости эллипсоида инерции вырождены. Если $A=B=C$, то любое равномерное вращение является вырожденным.